АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 5, с. 552-558
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 539.3:534.26
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНОВ НЕОДНОРОДНОСТИ ПЛОСКОГО УПРУГОГО СЛОЯ С ЗАДАННЫМИ ЗВУКООТРАЖАЮЩИМИ СВОЙСТВАМИ © 2015 г. Н. В. Ларин, С. А. Скобельцын, Л. А. Толоконников
Тульский государственный университет Тула, пр. Ленина 92 E-mail: tolokonnikovla@mail.ru
Рассматривается задача об определении линейных законов неоднородности плоского упругого слоя, имеющего наименьшее отражение при заданном угле падения плоской звуковой волны. На основе аналитического решения прямой задачи построен функционал, выражающий интенсивность отражения, и предложен алгоритм его минимизации. Получены аналитические выражения, описывающие механические параметры неоднородного слоя.
Ключевые слова: отражение и прохождение звуковых волн, упругий неоднородный плоский слой, законы неоднородности.
DOI: 10.7868/S0320791915050147
Изменение звукоотражающих характеристик тела в определенных направлениях можно осуществить с помощью покрытия в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя. Такое покрытие можно реализовать с помощью системы однородных упругих слоев с различными значениями механических параметров (плотности и упругих постоянных). Рассеяние звуковых волн плоскими, цилиндрическими и сферическими телами с неоднородными по толщине покрытиями было исследовано в работах [1—4].
Возникает задача подобрать такое неоднородное покрытие, чтобы тело обладало заданными звукоотражающими свойствами.
Отражение и прохождение звуковых волн через плоский неоднородный изотропный упругий слой рассмотрено в работе [5]. Работа [6] посвящена изучению прохождения звуковых волн через трансверсально-изотропный неоднородный упругий слой. В [7] решена задача об отражении и преломлении плоской звуковой волны неоднородным упругим слоем, материал которого обладает анизотропией общего вида. Прохождение звука через неоднородный анизотропный слой, граничащий с вязкими жидкостями, изучено в [8]. В [9] рассмотрено прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой.
Идентификации упругих характеристик непрерывно-неоднородных тел по известным физическим полям внутри исследуемых объектов посвящены работы [10, 11]. Задачи об определении свойств одномерных неоднородных объектов решены в [12—14]. Восстановление характеристик упругого слоя, произвольно меняющихся по
глубине, рассматривалось в [15]. Задачи о восстановлении свойств изотропного и ортотропного неоднородных по толщине слоев по известному полю смещений на границе слоя при анализе установившихся колебаний решены в [16—18].
Настоящая работа посвящена нахождению законов неоднородности плоского изотропного упругого слоя, которые обеспечивали бы требуемое звукоотражение.
Рассмотрим неоднородный изотропный плоский слой толщиной 2Н. Полагаем, что модули упругости X и ц материала неоднородного слоя описываются дифференцируемыми функциями координаты г, а плотность р — непрерывной функцией координаты г: р = р(г), ^ = Нг), Ц = Ц(г)- При этом система прямоугольных координат х, у, г выбрана таким образом, что ось х лежит в средней плоскости слоя, а ось г направлена вниз по нормали к поверхности слоя (рис. 1). Поверхности слоя граничат
с идеальными однородными жидкостями, которые имеют плотности р1, р 2 и скорости звука c1, c2 соответственно.
Пусть из полупространства z <-h на упругий слой падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой равен
¥0 = A exp{i[k1Xx + ku(z + h) - rot]}, где A0 — амплитуда волны; k1x = k1 sin 0 0, k1z = k1cos 0 0 — проекции волнового вектора падающей волны k на оси координат х и г соответственно; k1 = ю/ c1 — волновое число в полупространстве z < -h; ю — круговая частота; 90 — угол падения плоской волны, составляемый нормалью к фронту волны с осью г. Считаем, что волновой вектор kj лежит в плоскости хг. Временной множитель exp(-i® t) в дальнейшем опускаем.
Потенциалы скоростей отраженной от слоя и прошедшей через слой волн и проекции вектора смещения u в упругом слое записываются в виде [6]
W = A exp{i[k1xX - ku(z + h)]},
W 2 = A2 exp{ i[k2xX + k2z (z - h)]}, Ux = U1(z)exp(ik1xx), uy = 0, uz = U3(z)exp(ik1xx), где k2x, k2z — проекции волнового вектора k2 на
оси х и г; k2x + k22z = k2; k2 = ю/ c2 — волновое число в полупространстве z > h. При этом согласно закону Снеллиуса [19] k2x = k1x.
Введем безразмерные величины
7* _ — Р* _ i ' г h
*
Р _ А
Р0
А 0
И
* U, U * (j _ 1,3),
U = (U*,U3*)r, A = ' 1
0
0 а^* + 2|i*/
B =
C =
Er =
(r = 1,2).
ц*' р(а^* + ц*)^ ур(а^* + ц*) а^*' + 2ц*'), >р* + р2(а^* + 2ц*) рц*' ^ ар^*' ур* + р2Ц*у Б = (0,- 2/4)Юр 1 ц с)г, ' 0 рц* уар^* (-1)
Здесь а = X0/ц0, р = ¡к1хк, у = р0ю2 Л2/ц0,
аг = /ю2ргк/(&ггц0), штрихи обозначают дифференцирование по z*■ В дальнейшем индекс звездочка у всех безразмерных величин будем опускать.
Найдем приближенное аналитическое решение краевой задачи (2), (3) методом степенных рядов [11]. Решение системы (2) будем искать в виде
Uj(z) = £u(s)(z - a)s (j = 1,3),
(4)
s=0
ц 0 Л
где р0, А,0, |д0 — некоторые характерные величины.
Коэффициенты отражения А1 и прозрачности А2 определяются выражениями [6], которые с учетом обезразмеривания имеют вид
Л = А0 + уЛи3*(-1), А2 = -у^из*(1). (1)
Функции и*(г*) и и*(г*) являются решением краевой задачи для системы линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка [9].
Для изотропного неоднородного упругого слоя эта задача записывается следующим образом:
Ли" + ви + си = 0, (2)
(Ли' + Еи)= Б, (ли' + Еи)^ = 0, (3)
где
где а — некоторая точка отрезка [-1,1]. В качестве точки z = а выберем середину отрезка [-1,1].
Если на отрезке [-1,1] функция р(г) является дифференцируемой, а функции Х(г) и ц(г) имеют непрерывные производные до второго порядка включительно, то все коэффициенты системы (2) будут представлять собой функции, непрерывные вместе со своими первыми производными на [-1,1]. Тогда ряды (4) будут сходящимися на отрезке [-1,1] [20].
Предположим, что функции р(г), Х(г) и ц(г) аппроксимированы многочленами первой степени относительно переменной г, то есть будем рассматривать линейные законы неоднородности упругого слоя:
V0) +P(1)z,
ц(0)+А.
(5)
Р(г)
М(г) = М(0) + М(1)г, ц(г) Сведем краевую задачу (2), (3) к задачам с начальными условиями в точке г = 0. Найдем четыре линейно независимых решения системы дифференциальных уравнений (2). В качестве фундаментальных решений можно выбрать четыре решения
задачи Коши и т(г) (т = 1,2,3,4) системы (2) с начальными условиями, являющимися линейно независимыми.
Возьмем следующие начальные условия:
Um
lz=0
- 2m) ,
Umlz=0 = (53m,§4m) (m - 1 2 34)
rm\T
(6)
где и = (и1 , и3 ) ; т — порядковый номер задачи Коши; Ъу — символ Кронекера.
Каждую составляющую вектора ит будем искать в виде
um=YuUf'z (j=13).
(7)
s=0
Так как коэффициенты системы (2) при сделанных предположениях есть многочлены от г, то ряды (7) будут сходиться на отрезке [-1,1] [20].
Элементы матриц А, В, С выражаются через модули упругости и плотность. Поэтому с учетом (5) получаем следующие выражения для элементов матриц:
А = АТ + А^, В = в<0 + в«г, с^ = с(0) + ф,
(8)
где
A<? = P(k), Ak = Ak = 0, a22 = aX(k) + 2^(k), < =и(1), B22) = (1) + 2^(1), < = B22) = 0,
вк = В% = р(а^(к) + и(К)), С1(1) = ур(к) +р2(аХ(к) + 2ц(к)),
С(2> = Рц(1), с21) =арх(1), с1(2) = с211) = о, с22) = Ур(к) + рУк) (к = о, 1).
Подставляя (7) и (8) в уравнения (2) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени г, получаем систему двух уравнений
я
(5 + 1)(5 + 2)(А;!10)и1'ф+2) + А^и3т(5+2)) = (5 + 1 -
к=0
j(k)
(k)
¿(k+1)тт m(s+1-k) U1
-)(k)jT m(s+1-k)
- k)(s - k)(A1+1)Um("1_k) + Aia 1)U3'"("1_k)) +
+ (s + 1 - k)(B,-1k)U! 1_k) + B(K)U3'"("1_k)) +
U = X C'Um,
(9)
И=1
где Ст — произвольные постоянные.
Подставляя (9) в краевые условия (3), получим систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Ст (т = 1,2,3,4). Определив коэффициенты Ст, находим прибли-
женное аналитическое решение краевой задачи (2), (3)
4 да
и](г) = XстС/ = 1,3).
т=1 5 =0
В результате согласно (1) получаем аналитические выражения для коэффициентов отражения и прозрачности.
Построим функционал Ш, определенный на классе линейных функций р(г), Х(г), и выражающий коэффициент отражения по энергии
A1
i(k+1)тт m(s+1-k)4 1(2 U 3
-)(k)jT m(s+1-k)^ ii2 U 3
+ cfU^-k) + Cgu^-k) (i = 1,2),
где R = min {1, s}.
Эту систему разрешим относительно неизвест-
tt'(s+2) TTm(s+2) т">
ных Uj и U з .В результате получим рекуррентные соотношения для нахождения коэффициентов U'm(s+2) (s = 0,1,2,... ; j = 1,3). Рекуррентные соотношения позволяют вычислить все коэффициенты разложений (7) за исключением
Uj"(0) и U'm(X> (j = 1,3). Учитывая начальные условия (6), находим
Um(0) = 81m; U3m(0) = S2m;
U1m(1) =83m; U3"(1) — 84m (m = 1,2,3,4). Однородность системы (2) позволяет представить решение краевой задачи (2), (3) в виде линейной комбинации фундаментальных решений
ЛрД,^] =
Для оценки скорости сходимости степенного ряда при вычислении Ш были проведены расчеты на конкретных частотах для следующих линейных законов неоднородности материала плоского слоя:
р(г) = 0.85 + 0.25г, М(г) = 1.4 + 0.1г, ц(г) = 1.15 + 0.05г (вид зависимостей р(г), ^(г), ц(г) и значения к, р1, р2, с1, с2, р0, Х0, ц0 соответствуют характеристикам сред, используемым ниже при определении законов неоднородности).
Точность расчетов контролировалась по условию | ¥ъ - < 10-6, где Шп — значение величины Ш, рассчитанное с использованием аппроксимирующих многочленов степени п (п = 5,25). При выполнении этого условия расчет завершался и в качестве значения Ш бралось значение
Расчеты проводились для 90 = 10° и следующих значений волнового размера слоя 2к1Н: 1, 3, 5, 6, 24.3, 25. При этом значения 6 и 24.3 соответствуют резонансным частотам, что обнаружено в результате построения частотной характеристики. В результате значения з оказались равными 7, 8, 11, 11, 19, 19 соответственно. Расчеты показали, что с увеличением частоты колебаний увеличивается число учиты
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.