ОПТИКО-ФИЗИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
531.71.531.715:621.391.8
Определение зависимости погрешности измерения перемещений оптико-электронными приборами с многоэлементными приемниками излучения от соотношения сигнал—шум
В. П. СОЛДАТОВ
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва, Россия,
e-mail: yakush@miigaik.ru
Рассмотрен новый упрощенный подход к установлению приближенной функциональной связи между погрешностью измерений перемещений оптико-электронными приборами с многоэлементными приемниками излучения и соотношением сигнал—шум. Полученные приближенные формулы можно использовать для малоразмерных изображений как при точностных, так и энергетических расчетах таких приборов.
Ключевые слова: алгоритм центроиды, перемещение, соотношение сигнал—шум, многоэлементный приемник излучения.
The new simplified approach to determination of approximate functional dependence between the error of measurement of displacements by opto-electronic instruments with focal plane arrays and the signal—noise ratio is considered. The received approximate formulas can be used for small objects images for accuracy and radiant energy calculations of such instruments.
Key words: centroid algorithm, displacement, signal—noise ratio, focal plane array, sensor elements number.
При выполнении энергетических и точностных расчетов высокоточных оптико-электронных приборов (ОЭП) измерения перемещений объектов с многоэлементными приемниками излучения (МЭПИ) необходимо принимать во внимание энергетические соотношения сигнал—шум, от которых зависят многие метрологические характеристики [1]. Основой такой зависимости является фундаментальная связь между разрешающей способностью (минимальной погрешностью измерений), мощностями сигнала и шумов и временем измерений. На эту связь в ОЭП с МЭПИ влияют характер и форма распределения освещенности Е(х, у) в плоскости анализа и ее изменения в зависимости от координат х, у, г положения объекта, соотношения между размерами изображения объекта и периодом расположения элементов приемника вдоль координатных осей, внутренние шумы, внешние помехи и фон и т. д.
Функция, описывающая такую зависимость с учетом указанных факторов, может быть очень сложной, громоздкой и малопригодной для ее анализа, а также выбора схем проектируемых ОЭП и их оптимизации. Поэтому на начальных этапах проектирования часто возникает потребность в получении относительно грубой, но адекватной существу преобразований сигналов в ОЭП зависимости его погрешности измерений положения изображения в плоскости МЭПИ (например Ах) от соотношения сигнал—шум ц в случае допущений, упрощающих математический аппарат.
В соответствии с этим предположим, что внешние помехи и фон отсутствуют, распределение освещенности изображения объекта (излучателя) квадратной формы постоянное, сторона квадрата равна тройному периоду Ь расположения элементов (рисунок, а), чувствительность всех элементов
одинаковая, и они полностью освещены, а центр изображения совпадает с центром системы координат хОу МЭПИ. Тогда в самой неблагоприятной, с точки зрения точности измерений, гипотетической ситуации различные виды шума (геометрический, дробовый, тепловой и др.), а также флуктуации полезного сигнала, вызванные нестабильностью различных внутренних и внешних влияющих факторов, например освещенности, имеют противоположные знаки для элементов приемника, расположенных по разные стороны относительно координатной оси у—у прибора, являющейся осью симметрии МЭПИ. В этом случае при использовании алгоритма центроиды и указанных выше допущениях предельная погрешность измерения координаты х изображений объектов определяется соотношением
АХц = (3Ь(ЫС + Мш) - 3Ь(ЫС - МШ))/(9МС - 3ИШ),
где Мс — число электронов сигнала в элементах; Мш — предельное значение шума элементов, выраженное числом электронов.
Отсюда нетрудно показать, что предельная погрешность измерений
Ахц = 2Ь/(3ц - 1),
где ц = Мс /Ыш — отношение сигнал—шум в элементе.
Поскольку даже при минимальном соотношении ц = 2 вторым слагаемым в знаменателе при выполнении расчетов часто можно пренебречь, запишем
Ахц = 2Ь/(3ц).
Аналогичный расчет показывает, что при пяти облучаемых элементах в строке независимо от числа облучаемых элементов в столбцах МЭПИ рассматриваемая погрешность определяется как
Дхц = 6Ь/(5ц + 1),
а с точностью до величины второго порядка малости при ц > 2 имеем
Дхц = 1,2Ь/ц.
При дальнейшем аналитическом исследовании зависимости предельной погрешности измерений от соотношения сигнал—шум при принятых выше допущениях и произвольном числе т облучаемых элементов строки на основе метода математической индукции можно установить общую формулу для предельной относительной погрешности измерения положения объекта
Дх,,
тЫс
Щ -1) Л/Ш
/=1
(1)
где т! = 2/ - 1; / = 1, 2, 3, ... — произвольные целые числа.
Рассмотрим случаи, когда изображение объекта расположено симметрично относительно оси координат у—у в светочувствительной плоскости МЭПИ, проходящей через линию разделения соседних элементов (см. рисунок, б), и полностью засвечивается четное число элементов строки — 2, 4, 6 и т. д. При этом предельная погрешность измерения координат для т облучаемых элементов описывается аналогичной (1) приближенной формулой
Дхц / Ь ;
тц £(т/
-1)
(2)
где т■1 = 2/.
Из (2) при полном облучении двух, четырех и шести элементов получим соответственно предельные относительные погрешности измерения положения объекта (при указанных выше допущениях)
Дхц / Ь = 0,5/ц; ц-1; 1,5/ц.
Таким образом, в рассматриваемом случае при одинаковых значениях ц относительная предельная погрешность измерений положения объекта возрастает с увеличением числа облучаемых элементов МЭПИ. Тем не менее, этот рост незначителен при наиболее часто встречающихся на практике расфокусировках малоразмерных излучателей от 3x3 до 4x4 элемента [1 и др.], а иногда и до 5x5 элементов. Значения коэффициента пропорциональности К в приближенной зависимости Дхц = КЬ/ц изменяются от 0,67 до 1,2. Поэтому с достаточной для практики предварительных энергетических расчетов точностью значение этого коэффициента при малоразмерных излучателях можно принять равным единице.
Из аналогичного аналитического исследования ситуации, когда изображения объекта смещаются в плоскости его ана-
Примеры расположения квадратных изображений объектов (марок) относительно оси координат матрицы МЭПИ: а — х = у = 0, марка размером 3x3 элемента; б, в — соответственно х = у = 0 и х = Ь, у = 0, марка размером 2x2 элемента; 1 — фрагмент матрицы; 2 — квадратное изображение объекта (марка)
лиза на расстояние х (или у) в пределах 0 — Ь, следует, что коэффициент К также можно принять приближенно равным единице.
Рассмотрим другой неблагоприятный случай, когда облучаются только элементы МЭПИ, расположенные справа или слева от оси симметрии его светочувствительной площадки, например, при х = Ь (предполагаем, что остальные отмеченные выше допущения сохраняются). Тогда запишем соотношение для координаты хц при двух облучаемых в строке элементах (см. рисунок, в) и условии суммирования их шумов с разными знаками в виде
хц = (Ь(ЫС + Иш) + 3Ь(ЫС - Мш))/(4МС) = (2МС - ^ш)Ь/(2Мс),
откуда следует формула для вычисления относительной координаты изображения объекта
хц /Ь
1 - Иш /(2Лу.
Очевидно, что предельная относительная погрешность измерений в этом случае определяется соотношением
Ахц /Ь *
0,5ц
-1
Если облучены 3x3 элемента МЭПИ, расположенные по одну сторону координатной оси у—у, то можно аналогичным образом показать, что погрешность имеет вид
Ахц /Ь « 1,17/ц, а при облучении четырех элементов
Ахц /Ь =
1,75/ц.
В общем случае при произвольном значении т предельную погрешность измерений координат изображения (с учетом указанных выше допущений) можно оценить как
Ах,,
Ё х - ■
I=1
(3)
где х1 — координаты центров облучаемых элементов.
Таким образом, для оценки предельных погрешностей измерений координат изображений малоразмерных объектов в рамках изложенных выше допущений, а также определения коэффициента К анализатора изображения на основе МЭПИ, необходимого при проведении энергетических расчетов ОЭП, вполне возможно использовать предлагаемый подход, основанный на получении функции преобразования в виде упрощенной обобщенной зависимости вычисляемых координат изображений от соотношения сигнал—шум и геометрических параметров анализатора (в рассмотренных примерах этим параметром был шаг Ь расположения элементов МЭПИ вдоль оси х).
Отметим, что при отступлении формы изображения объекта от квадратной или прямоугольной (например, при круглой форме), точность выведенных формул несколько снижается из-за неравенства сигналов от отдельных элементов МЭПИ и отношений сигнал—шум в них. Та же ситуация возникает и при неравномерном распределении освещенности изображения. В рамках предложенного подхода эти факторы легко учесть в каждом конкретном случае. Но на первых стадиях проектирования ОЭП — синтезе и анализе схемы прибора — это необязательно. Такие уточнения обычно необходимы для корректировки и оптимизации схем построения ОЭП и выполнении окончательных точностных расчетов.
В связи с изложенным при проведении энергетических расчетов ОЭП с МЭПИ коэффициент Котн относительной чувствительности анализатора изображения [1] в случае малоразмерных излучателей (объектов) и небольших перемещений х изображений в пределах одного элемента может быть
К„.
= Ахц /Ь.
(4)
Это соотношение примерно справедливо, как показывают расчеты по (2), для изображений, занимающих не более 4x4 элемента МЭПИ. Для точечных изображений указанные ситуации достигаются путем их расфокусировки. Отметим также, что для пяти облучаемых элементов формула (4) справедлива с относительной погрешностью примерно 20 %.
При больших перемещениях х малоразмерных изображений, когда они находятся на одной стороне МЭПИ (см. рисунок, в), коэффициенты К увеличиваются быстрее, чем при малых х, в зависимости от числа облучаемых элементов, поэтому Котн = Ахц /(КЬ) уменьшаются. Значение К для конкретного т определяется из полученного с учетом
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.