МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 2 • 2008
УДК 539.376,539.374
© 2008 г. A.B. ХОХЛОВ
ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЕ СООТНОШЕНИЕ ДЛЯ РЕОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С ИЗВЕСТНОЙ ИСТОРИЕЙ НАГРУЖЕНИЯ. КРИВЫЕ ПОЛЗУЧЕСТИ И ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ
В статье предложено и изучено нелинейное определяющее соотношение для описания одномерных изотермических реологических процессов с монотонной историей нагружения в вязкоупругопластичных материалах. Оно выражает деформацию в любой момент времени через историю изменения напряжения и его производной с помощью двух интегральных операторов, содержит две материальные функции одного вещественного аргумента и десять материальных параметров, определяемых по результатам испытаний материала на ползучесть, длительную прочность и деформирование с постоянной скоростью нагружения.
При минимальных априорных ограничениях на материальные параметры модели выведены уравнения кривых деформирования, ползучести, релаксации и длительной прочности, аналитически исследованы зависимости их свойств от параметров и найдены необходимые ограничения на материальные параметры и функции, обеспечивающие адекватное описание механического поведения материалов (типичных качественных свойств экспериментальных кривых деформирования, ползучести, релаксации, длительной прочности).
Для моделирования длительной прочности при ползучести предложены два параметрических семейства критериев разрушения при монотонном одноосном деформировании, родственных деформационному критерию, но учитывающих историю нарастания деформации посредством специальных интегральных операторов, связывающих ее с мерой поврежденности. Доказано, что построенное определяющее соотношение в сочетании с предложенными критериями разрушения приводит к теоретическим кривым длительной прочности, обладающим такими же качественными свойствами, что и экспериментальные кривые большинства материалов.
Таким образом, анализ свойств предложенного определяющего соотношения показал, что оно позволяет адекватно моделировать не только отдельные эффекты реологического поведения вязкоупругопластичных материалов, но и целый их комплекс: зависимость деформации от напряжения и скорости его изменения, релаксацию, ползучесть, зависимость скорости ползучести от уровня напряжения, длительную прочность и затухание памяти материала.
1. Введение. Предлагаемое определяющее соотношение (ОС) выражает деформацию e(t) через историю изменения напряжения s(t) (0 < т < t) и s (т) и особенно удобно для моделирования процессов, в которых задается программа нагружения s(t), в частности, различных эффектов, связанных с ползучестью (ползучести при ступенчатом нагружении, длительной прочности и т.п.). Деформация не предполагается малой и
потому используется логарифмическая мера деформации е(0 = 1п[Д/)//(0)]. В дальнейшем будем считать (безразмерное) напряжение $({) неубывающей кусочно-непрерывно дифференцируемой положительной функцией (безразмерного) времени t > 0. Соответствующая деформация е(0 строится в виде результата композиции трех независимых нелинейных операторов /, Р и §, действующих по схеме s(t) ^ о(0 ^ е(0 ^ е(0:
о(t) = /(5(0), е(t) = Ро, е(t) = §(е(t)), Ро = Vо(t/^^[о, о]*¿р,«0[оГп (1.1)
где V, а, в, р, q, ю0, ю1, %, п - материальные параметры (они могут зависеть от температуры), /(х) и §(х), х > 0 - материальные функции. Априори они - произвольные неубывающие положительные функции с кусочно-непрерывными производными; в дальнейшем будет показано, что их можно определить по экспериментальным кривым ползучести и диаграммам деформирования материала. На материальные параметры (МП) налагаются минимальные априорные ограничения технического характера: V, а, р, q > 0, х е [0; 1]. Необходимые дополнительные ограничения (1.7) на МП, обеспечивающие качественно верное моделирование характерных особенностей механического поведения материалов (типичных свойств кривых деформирования, ползучести, релаксации, длительной прочности), будут выведены в дальнейшем.
Функцию о(0 будем называть квазинапряжением, поскольку текущее значение о(0 связано с напряжением з({) в тот же момент функцией /. Реологический оператор Р отображает историю нагружения о(т), 0 < т < t, в квазидеформацию £©, по которой находится деформация е(0 = §(е(0). В определение Р входят интегральные операторы и х, ю, отображающие о(т) в следующие функции переменной t > 0:
L Р,»0 [°]
¡■г ^1/р ft \1/q
р
М)
J|o(x)х! dx , S,iZiffli[a,á] = Jx™1 q(xlo(x)|q + (1-x)|xá(x)|q)dx
V0
(1.2)
Они задают семейства снабженных специальными весовыми множителями норм (квазинорм при р, q е (0; 1)) пространств Лебега Ьр[0; ^ и Соболева [0; t], зависящих от параметра t > 0. Параметр % е [0; 1] позволяет регулировать относительную величину вкладов о(т) и о (т) в значение оператора [о, о ]. Множитель т обеспечивает
справедливость леммы 1, на которую опирается вывод уравнений кривых ползучести
ю1 ю0 в л
и релаксации. Степенные множители т , т и г, не нарушая леммы 1, позволяют регулировать показатели асимптотики функций е(0 при t ^ +0 и t ^ ^ и моделировать эффект затухания памяти материала (при ю; > 0), т.е. обеспечить независимость асимптотического поведения теоретических кривых релаксации и ползучести при t ^ <» от конкретного закона изменения деформации (или напряжения) в стадии перехода от нулевого до заданного постоянного значения на любом конечном интервале времени. Такое определение затухания памяти (модели или материала) [1, 2] - более слабое требование, чем принятые в монографиях [3, 4], но зато его выполнение может быть проверено в испытаниях материала.
Цель введения в ОС (1.1) оператора ю , явно учитывающего скорость нагружения, - моделирование вязкоупругопластичных материалов, обладающих высокой чувствительностью к скорости нагружения, в частности, углеродных и керамических материалов при высоких температурах. ОС (1.1) представляется перспективным для описания поведения металлов и сплавов в состоянии сверхпластичности. Сверхпластичность - способность материалов к очень большой пластической деформации в
условиях сильной зависимости напряжения течения от скорости деформации, которая, как правило, наблюдается у металлов и сплавов с мелкозернистой структурой при достаточно высоких температурах [5]. В работе [6] сверхпластичность рассматривается как особый вид ползучести. Положив £ = 0, можно исключить Sq % ш из OC.
OC (1.1) сконструировано аналогично предложенному в работе [7] соотношению
s(t) = F(о(t)), o(t) = Re, Re = e(t)at\,x,rai[е' t > 0 (°)
где a, p, q > 0, £, п, в, X > 0, ю0, ю1 > -1. МП ОС (1.3) имеют другой физический смысл по сравнению с ОС (1.1) (в частности, комбинации параметров, отвечавшие в ОС (1.3) за ползучесть, будут отвечать в модели (1.1) за релаксацию и наоборот).
Основная идея - поменять ролями o(t) и e(t) в ОС (1.3), сохранив структуру оператора R, изученного в [1, 2, 7-9] и хорошо зарекомендовавшего себя в моделировании реологических процессов с известной историей деформирования, и выяснить, при каких (новых) ограничениях на МП ОС (1.1) оно обладает ценными свойствами ОС (1.3), обнаруженными ранее. Уверенность в том, что эти полезные свойства сохранятся при перемене ролей o(t) и e(t), основана, в частности, на доказанном в [1, 2] утверждении: при £ = 0 и d > 0 обратный оператор R-1 является интегральным и имеет в точности такую же структуру, что и оператор R. В этом случае точное обращение ОС (1.3) имеет как раз вид (1.1), где P = R-1, f = F , g(x) = x (в других случаях точное обращение ОС (1.3) на множестве всех кусочно-дифференцируемых процессов e(t) получить не удается). В дальнейшем при сопоставлении свойств ОС (1.3) и (1.1) их параметры, играющие одинаковую роль в конструкции операторов P и R, будем обозначать одними и теми же буквами, но со штрихами в случае ОС (1.3). Помимо перемены ролей o(t) и e(t) в ОС (1.1) есть существенное нововведение по сравнению с конструкцией ОС (1.3): в ОС (1.3) входит только одна материальная функция F, а в ОС (1.1) добавлена вторая МФ g. Точнее, МФ G(x), преобразующая деформацию e(t) в квазидеформацию e = G(e(t)), введена в ОС (1.3) в работе [9], чтобы получить возможность моделировать все типы кривых ползучести (КП), наблюдаемые в экспериментах, а не только степенные (при G(x) = x, т.е. e = e, теоретическая КП модели (1.3) имеет вид e = a(c)t", n < 1 [2, 7], и потому описывает только ползучесть с убывающей скоростью). Введение второй МФ G дает дополнительную степень свободы в описании результатов испытаний материала и позволяет адекватно моделировать материалы с КП произвольной формы (в том числе тех, механические свойства которых существенно зависят от времени в силу нарастания поврежденности или структурных превращений). В частности, это позволяет моделировать ограниченную ползучесть и получать ТКП, имеющие все три характерных участка: замедляющейся, установившейся и ускоряющейся ползучести [8, 9]. Эту же роль будет выполнять в ОС (1.1) МФ g. Она определяется из условия совпадения ТКП (4.1) с экспериментальной КП.
ОС (1.3) является обобщением предложенного в работе [10] соотношения
s (t) = F (о( t)), о( t) = A e
t ^ -п /p
PJ|e(x)| pdT
П > 0, a, p > 1, Pe[ 0; 1] (1.4)
полученного из модели Фитцжеральда [11] путем введения МФ Г и множителя Гв. В статьях [10, 11] приведено сравнение результатов расчетов по этим моделям-прототипам с данными экспериментов, показавшее их применимость к описанию некоторых аспектов поведения таких материалов, как твердое топливо и асфальтобетон. Это мотивирует систематическое изучение их обобщения (1.3) и ОС в обратной форме (1.1).
Наличие девяти материальных параметров и МФ Г(х) в ОС (1.3) представляет, как показано в [1, 2, 7-9], более широкие возможности по управлению свойствами модели
и по ее настройке за счет выбора значений МП с целью адекватного и всестороннего описания поведения реономных материалов. ОС (1.3) позволяет (в случае монотонных процессов деформирования е(0) описывать не только отдельные реологические эффекты, но и целый их комплекс: релаксацию, ползучесть, зависимость скорости ползучести от уровня напряжения, длительную прочность, затухание па
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.