ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 9, с. 1467-1485
УДК 519.615.5
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ И НЬЮТОНОВСКИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ОТЫСКАНИЯ ОСОБЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ
ЗАДАЧ1)
© 2007 г. M. Ю. Ерина*, А. Ф. Измаилов**
(* 117967 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН; ** 119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, ф-т ВМиК) e-mail: yerina@ccas.ru; izmaf@ccas.ru. Поступила в редакцию 28.03.2007 г.
Изучается устойчивость предложенного ранее способа построения определяющих систем для отыскания особых решений нелинейных уравнений (а также основанных на этом способе ньютоновских методов) по отношению к возмущениям оператора уравнения. Полученные результаты позволяют реализовать данный подход для нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Библ. 10. Табл. 4.
Ключевые слова: краевая задача, особое решение, определяющая система, регулярность, невырожденность, метод Гаусса-Ньютона, устойчивость.
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим краевую задачу
x = f( t, x), t e [0, 1 ], (1.1)
g(x(0), x(1)) = 0, (1.2)
где f: U x R" —► R" и g : IR" x R" —► R" - заданные отображения. Пусть % - открытое множество в R x IR". Введем множества
% i ] = % п([ 0, 1 ]x R"),
%0 = { x e R"| (0, x) e %}, % = {x e R"| (1, x )e %}
и будем предполагать, что отображение f непрерывно и дважды непрерывно дифференцируемо по второй переменной на %[0, 1], а g дважды непрерывно дифференцируемо на %0 x %1. Пусть, наконец, x (•) e C" [0, 1] - решение задачи (1.1), (1.2), график которого graphx = {(t, x (t))|t e [0, 1]} содержится в %.
Через (•) : [0, 1] —- IR" x " обозначим фундаментальную матрицу линеаризованного на функции x (•) уравнения (1.1), т.е. решение матричной начальной задачи
^ = f t, x(t))Y„ t e [0, 1 ], Y,(0) = E.
ПоложимX = C" [0, 1], Y = C"[0, 1], и рассмотрим одну из возможных операторных постановок задачи (1.1), (1.2):
9( x) = 0, (1.3)
где
9 : X Y x R", 9(x) = (x(•) -f(•, x(•)), g(x(0), x( 1))).
^Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 07-01-00270, 07-01-00416, 07-01-90102-Монг) и гранта президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (код проекта НШ-9344.2006.1).
Тогда х является решением уравнения (1.3), отображение 9 дважды непрерывно дифференцируемо в окрестности
© = { х (■) е X\graph х с <в }
точки х в X, причем биективность (а значит, и непрерывная обратимость) оператора F'(х) равносильна невырожденности матрицы
F1 е R"ХF1 = ^(х(0), х( 1)) + -Ц (х(0), х( 1 ))^1 (1) (1.4)
д х д х
(см., например, [1, утверждение 2.1.1]). Здесь и далее через dg/Эх0 обозначается частная производная отображения g по первому аргументу, а через dg/Эх1 - по второму.
Таким образом, решение х (■) задачи (1.1), (1.2) естественно назвать особым, если матрица F1 вырождена. Данная работа посвящена эффективным численным методам поиска особых решений нелинейных краевых задач. Один из наиболее естественных и продуктивных подходов к данной проблеме основан на введении так называемых определяющих систем (см. [2], [3]), которые, помимо исходных уравнений, включают в себя дополнительные связи, характеризующие структуру особенности в решении. При этом в естественных предположениях искомое решение должно быть регулярным (неособым) для определяющей системы, что дает возможность искать это решение применением к определяющей системе методов ньютоновского типа. В [2], [3] этот подход развивался для конечномерных систем нелинейных уравнений; его распространение на краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений становится возможным за счет естественной конечномерной редукции последних.
2. КОНЕЧНОМЕРНАЯ РЕДУКЦИЯ
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений допускают полную конечномерную редукцию с помощью общего приема методов стрельбы (см. [4]-[7]). Суть этих методов состоит в итеративном подборе начального условия такого, что отвечающее ему решение уравнения (1.1) удовлетворяет краевому условию (1.2).
А именно, применяя к уравнению (1.1) теорему о дифференцируемой зависимости решения начальной задачи от начальных условий и теорему единственности из [8], получаем следующее:
найдутся окрестность О точки х (0) в К" и непрерывно дифференцируемое и дважды непрерывно
дифференцируемое по второй переменной отображение ф : [0, 1] х О —К" такое, что Ух е О функция ф(-, х) является единственным решением начальной задачи
ф = Л *,ф), X е [0, 1 ], (2.1)
ф( 0) = х. (2.2)
Тогда Ух е [0, 1] имеем
ф(X, х(0)) = х(X), (2.3)
причем Ух е О, У^ е К" получим
|ф(X, х) = ¥ 1 (X, х), ^(X, х)£, = ¥2(X, х, £), (2.4)
ах д х
где ¥ХС, х) : [0, 1] —► К" х " - фундаментальная матрица линеаризованного на функции ф(-, х) уравнения (1.1), т.е. решение матричной начальной задачи
¥ = дх(X, ф(X, х))¥ь X е [0, 1 ], (2.5)
¥1 (0) = Е, (2.6)
а ¥2(-, х, : [0, 1] —► К" х " - решение матричной начальной задачи
¥2 = |-(Х,ф(Х, х))^2 + дЦ(Х,ф(Х, х))[%(X, х)№(X, х), X е [0, 1 ], (2.7) дх д х
^2 (0) = 0. (2.8)
Введем отображение
Р : О — К", Р(х) = g(х, Ф( 1, х)) (2.9) и будем рассматривать уравнение
Р( х) = 0. (2.10)
Отображение Р дважды непрерывно дифференцируемо на О, причем из (2.4) следует, что Ух е О,
^ е К"
Р(х) = Щ(х,Ф( 1, х)) + -Ц(х,Ф( 1, х))%(1, х), (2.11)
д х д х
д2 д 2 Р"(хШ = (х,ф( 1, х)Ш + (х,ф( 1, х))[¥, ( 1, х)£] +
Э(х ) дх дх
д2 д 2 + (х, ф( 1, х1, х) + (х, ф( 1, х))[¥ 1 (1, х)№(1, х) + (2.12)
дх дх д(х )
+ ( х, ф( 1, х ))^2 ( 1, хД) . д х
Вычисление значений и производных отображения Р требует решения начальной задачи (2.1), (2.2), а также начальных задач (2.5), (2.6) и (2.7), (2.8).
Для краткости переобозначим х (0) через х. В силу (2.3) точка х является решением уравнения (2.10) с введенным оператором Р, причем по х искомое решение ф(-, х) краевой задачи (1.1), (1.2) однозначно восстанавливается. Заметим, что согласно (1.4), (2.3) и (2.11) справедливо равенство
Р'( х) = Р1.
В частности, х (■) = ф(-, х) является особым решением краевой задачи (1.1), (1.2) тогда и только тогда, когда х является особым решением уравнения (2.10) в смысле вырожденности матрицы Р'(х ).
3. ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ СИСТЕМА, НЬЮТОНОВСКИЕ МЕТОДЫ
И УСТОЙЧИВОСТЬ
Рассмотрим уравнение (2.10) с произвольным (не обязательно связанным с краевой задачей) дважды непрерывно дифференцируемым отображением Р : О —«- К", а также его решение х е О, которое может быть особым в смысле вырожденности матрицы Р'(х).
Следующий способ построения определяющей системы был предложен в [3]. Положим г = = согапкР'(х) (о локальной идентификации г см. ниже). Зафиксируем матрицы А е К" х г и В е К" хгтакие, что
К" = кегР(х)© кегАт, К" = тР'(х)© тВ. (3.1)
Легко видеть, что при этом существует единственная пара матриц К е К" х г и С е К" х г такая, что
х) К = 0, Ат К = Е, (3.2)
((х))т С = 0, В ТС = Е. (3.3)
Роль К и С состоит в том, что столбцы этих матриц образуют базисы в кегх) и (тх ))х соответственно.
Чтобы аппроксимировать К и С, введем для всякого х е О пару матричных линейных систем
(х)К - ВТ = 0, АтК = Е, (3.4)
((х))тС - АТ = 0, ВтС = Е (3.5)
относительно неизвестных (К, С, Т) е К" х г х К" х г х К х г. Условие (3.1) гарантирует, что матрицы этих систем являются невырожденными в точке х = х, а из (3.2), (3.3) следует, что (К, С, 0) удовлетворяет уравнениям (3.4), (3.5) при х = х. Отсюда выводится, что в сделанных предположениях существуют непрерывно дифференцируемые отображения К() : О —► К" х г, С() : О —- К" х г и
Т(-) : О —- К х г (возможно, на меньшей окрестности О точки х) такие, что для каждого х е О тройка (К(х), С(х), Т(х)) является единственным решением уравнений (3.4), (3.5) и, в частности,
К( х) = К, С( х) = С, Т( х) = 0. (3.6)
При этом из (3.4) и (3.5) вытекает равенство
Т(х)£ = (С(х))т((х)[^])К(х) Ух е О, У^ е К". (3.7)
Введем непрерывно дифференцируемое на О отображение
Ф : О —- К" х Кгхг, Ф(х) = (х), Т(х)), (3.8)
для вычисления производных которого можно пользоваться формулой (3.7). Тогда, согласно последнему равенству в (3.6), точка х является решением определяющей системы
Ф( х) = 0,
причем, согласно [3, предложение 1], необходимым и достаточным условием для выполнения равенства
кег Ф' (х) = { 0 } (3.9)
является условие невырожденности второго дифференциала
{^ е кег(х)|(хх] е тх) Ух е кег(х)} = {0}. (3.10)
Общий оператор выбора - это отображение Ш(0 : О —► ^(К" х К х г, К"). Соответствующая нормально определенная система имеет вид
Ш (х )Ф( х) = 0. (3.11)
Поскольку Т() было построено как гладкое отображение, ограничимся только гладкими операторами выбора Ш(-).
В общем случае Ш(-) зависит от ^ и от х. Однако здесь вместо общего оператора выбора (зависящего от ^ и х некоторым неконкретным образом) будем рассматривать две конкретные его реализации, которые представляются наиболее естественными.
Случай 1: Ш(-) = Ш, где Ш е ^(К" х К х '', К") - фиксированный (постоянный) оператор, Случай 2: Ш(-) = (Ф'(0)т.
В качестве примера постоянного оператора выбора упомянем следующий вариант: для фиксированного £ е К" положим
Ш (у, Т) = у + ВТ С, у е К", Т е К"х". При этом, согласно (3.4), (3.5), для всякого х е О имеем
Ш Ф( х) = Е( х) + ВТ( х)£ = Е( х) + ВТ( х) Ат К (х )£ = Е( х) + Р (х) Е'( х) к (х),
где Р(х) = В(С(х))т - аппроксимация проектора Р = ВСт на дополняющее подпространство imВ пространства тЕ'( х) в К" параллельно тЕ'( х), а к(х) = К(х)£ - аппроксимация элемента к = К е е кегЕ'( х). В этом случае (3.11) соответствует регуляризованному уравнению, на котором основан подход из [1]. Правда, в [1] отображения Р(-) и к(-) строились другим способом, не гарантирующим гладкости этих отображений, что приводило к необходимости использовать для решения регуляризованного уравнения специальные (а не стандартные) методы.
В случае 1 производная оператора уравнения (3.11) в точке х равна ШФ' (х), а в случае 2 имеет вид (Ф'( х ))тФ'( х). Относительно случая 1 сразу отметим следующий важный факт.
Предложение 1. Если для некоторого Ш е ^(К" х К" х ", К") оператор ШФ' (х) не вырожден, то этим свойством обладают все Ш из некоторого открытого плотного множества в £(К" х К" х ", К").
Доказательство.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.