ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН, том 2, № 1,2006, стр. 16-23
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДИНАМИКИ ПРЕДНАПРЯЖЕННОЙ ПЬЕЗОАКТИВНОЙ СРЕДЫ В ОТСУТСТВИЕ ВНЕШНИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
© 2006 г. В.В. Калинчук1, Т.И. Белянкова2, О.В. Евдокимова3
В рамках материальной (лагранжевой) системы координат проведена последовательная линеаризация определяющих соотношений нелинейной механики электромагнитной среды, находящейся под действием начальных механических напряжений. Окончательные выражения, описывающие движение предварительно напряженной электроупругой среды, построены безотносительно к выбору криволинейной системы координат и представлены в компактной форме, удобной как для проведения исследований теоретического характера, так и для исследования прикладных задач. Изучено влияние начальных механических напряжений на классы симметрии различных типов пьезоэлектриков.
Развивается линеаризованная теория колебаний преднапряженной пьезоактивной среды, находящейся в условиях воздействия начальных механических напряжений. Предполагается, что начальное внешнее электростатическое поле отсутствует. Основные соотношения построены в компактном виде в произвольной, в общем случае криволинейной системе координат на основе развитого в [1-3] подхода. Ранее линеаризация нелинейных уравнений механики электромагнитной среды, находящейся под воздействием начального внешнего электростатического поля, в декартовой прямоугольной системе координат была проведена в [4]. В работе использовалось традиционное для исследований в области акустики компонентное представление тензоров.
1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СРЕДЫ
В нелинейной механике сплошной среды различают отсчетную V- и актуальную У-конфигу-рации соответственно до и после действия поверхностных и массовых сил. Различие этих конфигураций заключается в способе задания радиусов-векторов, определяющих положение матери-
1 Южный научный центр Российской академии наук, Ростов-на-Дону
2 Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Ростовского государственного университета, Ростов-на-Дону
3 Кубанский государственный университет, Краснодар
альной точки. В отсчетной конфигурации оно задается радиусом-вектором т = -
непрерывной и требуемое число раз дифференцируемой функцией (4р42*4з) ~ материальные
координаты точки» ¡, - базисные векторы ортонор-мированной системы координат. Место этой же точки в актуальной конфигурации задается радиу-сом-вектором И = /), также непрерыв-
ной и требуемое число раз дифференцируемой функцией. Тем самым определяются отсчетная V-конфигурация с материальной системой координат а{, а2, а3 (система координат Лагранжа) и актуальная У-конфигурация с пространственной системой координат Х}, Х2, Х3 (система координат Эйлера) с соответствующими векторами основного базиса гк и И*, взаимного базиса г* и К* и У-операто-рами [1]: в ^-конфигурации
Х7 _ д _. Эат
в У-конфигурации
ЪЯк
к* -К
Одним из основных параметров, характеризующим состояние электроупругой среды, является электрический потенциал ф (скалярная функция), по которому определяются, вектор напряженности электрического поля в актуальной конфигурации
Е = -Уф
(1)
/
и вектор напряженности электрического поля в отсчетной конфигурации, так называемый материальный вектор напряженности электрического поля
Последний определяет "электрическое смещение" в отсчетной конфигурации - материальный вектор поляризации
я = (2)
Вектор и встречающийся ниже тензор являются производными термодинамического потенциала % = X (8» - скалярной функции, определяющей запасенную энергию в процессе деформирования электроупругого тела и зависящей от тензора деформации Коши-Грина 8 и "материального" вектора напряженности электрического поля W.
Электрические и механические свойства электроупругой среды в актуальной конфигурации описываются [5-7] вектором поляризации
Р = -Г1СТХ„,
вектором индукции
Э = еоЕ + р,
электрическим тензором напряжений Максвелла
МБ = м + рЕ
и уравнением состояния в виде х = Т - рЕ,
где М и Т - соответственно электрический тензор Максвелла и тензор напряжений Коши:
М = е0ЕЕ-^е0Е-Е1,
т^-Ч^х-с.
С - тензор-градиент деформации, У - метрический множитель, бо - диэлектрическая проницаемость.
Электрические и механические свойства электроупругой среды в отсчетной конфигурации описываются вектором поляризации тс (2), тензором напряжений Пиола
П = (3)
материальной формой вектора электрической индукции
а = е0ЛГг-Е-х„, (4)
электрическим тензором Пиола-Максвелла
т = £0/СГг • (ЕЕ - • Е1). (5)
Нетрудно заметить, что в представлении материальных форм вектора электрической индукции и электрического тензора участвует вектор напряженности электрического поля в актуальной конфигурации, что связано с пространственной формой представления характеристик электрического поля.
2, ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ ЭЛЕКТРОУПРУГОЙ СРЕДЫ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ ЛАГРАНЖА
Рассмотрим задачу о колебаниях электроупругой среды, занимающей объем V, ограниченный поверхностью о = ох + ог = о3 + оА. Полагаем, что на части поверхности о, задан вектор г*, определяющий перемещение точек среды, на части поверхности о2 заданы механические напряжения
На металлизированной части поверхности оъ
задан электрический потенциал <р*. На другой части поверхности о4, которая также может быть частично металлизированной, задано распределение заряда g*.
Краевая задача в материальных координатах описывается уравнением движения [1,5]
У0.(П4гт) = рД (6)
уравнением вынужденной электростатики
= О (7)
и граничными условиями на поверхности о = о1+о2=о3+о4: на с»!
на о2 п • (П + ш) = (8)
на о3 Ф = Ф*; (9)
на о4 п-а=-£*. (10)
3. НАЧАЛЬНО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СРЕДЫ
Будем предполагать, что существует некоторая равновесная начально-деформированная конфигурация электроугфугого *ела, заданная
радиусом-вектором ^ ={Х\ЛХ\,Х\) и потенциалом фр Она определяется:
- тензором-градиентом деформации С] = в векторном базисе естественной конфигурации;
- вектором напряженности электрического поля Е1 = в векторном базисе начально-деформированной конфигурации;
- тензором напряжений Пиола П] = П(С,, ф^;
- электрическим тензором Пиола-Максвелла т1 = т(С1, ф]);
- вектором индукции = (1(С1? ф3). Уравнения статики в объеме и на поверхности
о = о1 + о2 = оъ + оА в начально-деформированной конфигурации представляются соотношениями
У0.(П,+ 1110 = 0; (11)
?0-с11 = 0; (12)
на о
на о-,
на о3
на о4
п-(П1+,ш1)=
«а, =
(13)
ф!=ф,.
Предположим, что под действием поверхностных или массовых сил этой конфигурации сообщается малое механическое Т|и и электрическое т|ф возмущение. То есть положение точек в возмущенной конфигурации определяется радиусом-вектором К = Ё, + Г|11, электрическое поле -потенциалом Ф = ф, + т^ф.
Следуя [1,2], представим тензорные и векторные величины, описывающие возмущенную конфигурацию в виде (индексом 1 отмечены их значения в начально-деформированной конфигурации):
П = П, + Т|П*; 111 = 111,+ т|пг; (! = (!,+ цс1\
(И)
(15)
(16)
где индексом ■ обозначены конвективные производные соответствующих функций, которые определяются формулой [1]
Тензоры П, ш и вектор ё должны удовлетворять системе уравнений (6), (7) и возмущенным граничным условиям (8) - (10): на ох
на оъ
пЩ + т^Чт^,
(17)
при следующих условиях на перемещение и и потенциал ф: на о2
и = и% (18)
на о4
Ф = Ф*.
Подставим выражения (14)—(16) в уравнения (6) и (7), в граничные условия (17) и учтем соотношения (11Н13) и (18). Сохранив линейные члены по Т|, придем к определенной в базисе естественной конфигурации краевой задаче относительно неизвестных возмущений перемещения и и потенциала ф, которая описывается линеаризованной системой уравнений
У0-(©+|х) = р0й,
70-Д = 0
и линеаризованными граничными условиями: на 0\ п • (в + (л) = Г,
на о2 и = и*,
на оъ п А =
на о4 ф = ф*.
Здесь введены обозначения © = 1Г,|А = пг, Д = с!*.
Для вычисления тензора 0 с учетом представления (3) и использования правил дифференцирования последовательно получаем
Далее используем формулу перехода [1]
Хс = Х8'С, (20)
представление конвективных производных градиента деформации
.г
С' = У0и, С* =У0и
(21)
и производной материального вектора напряженности электрического поля
= - (У0Ф)' = - У0ф. (22)
После внесения выражений (20)-(22) в представление (19) получим
® = • Сг • - X™ ■ ?0<Р) • С; + Х^0и. (23)
Здесь и далее индексом1 обозначены значения соответствующих функций в начально-деформированном состоянии.
Аналогично для конвективной производной электрического тензора т с учетом представления (5) и правил дифференцирования запишем
И, = е0|/•м + ДС"ТУ • М + 1С~Т ■ М* | (24)
)
где
М* = МЕ • Е\ (25)
Здесь МЕ- тензор III ранга (производная тензора М по вектору Е) вида
Ме = е0[е^п+Е^п-Еп^\^\п. (26)
Конвективные производные скалярной функции 7 и тензора Ог имеют вид
Г = (С ~ТУ = -С~т • У,иг. (27)
Внеся формулы (25)-(27) в выраженйе (24), получим
ц = г^С;7 ■ [(IV, • и - У^) ■ М, -Е*]. (28)
Аналогично вычислим конвективную производную вектора й (4):
Д = 80(7'С7гЕ, + /1(<ГГ)'Е1 + ЛС^Е*)-
"(29)
Подставив выражения (24) и (27) в представление (29), получим
А = е071С;-г • [иЕ! - ■ЧУ • Е, + Е* ] +
+х1*^0ф-х18-Сг-У0иг (30)
Для вычисления конвективной производной вектора напряженности электрического поля Е\ участвующей в представлениях конвективных производных тензора Максвелла (28) и электрической индукции (30), используем выражение (1), для которого последовательно получаем
Е' = -(УФ)* = -(С"1 • У0Ф)' =
^-(С"1)* -У^-С*1 -(У0Ф)\ Используя формулы
(С-^-^и-с;-3, (У0Ф)* = У0ф,
имеем
Е'^и-У^-У.ф
Окончательно, с учетом представления (3), получим
Е'^ч-Е.-^ф. (31)
Из представлений (28), (30) и (31) видно, что в описании тензора |л и векторов А и Е\ определяющих варьированное напряженное состояние в актуальной конфигурации, участвует оператор V,, определенный в базисе начально-деформированной конфигурации. Это обусловлено про-
странственной формой представления характеристик электрического поля.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.