ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 6, 2012
УДК 531.36:62-50
© 2012 г. Ю.Н. Челноков
ОПТИМАЛЬНАЯ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПОСРЕДСТВОМ РЕАКТИВНОЙ ТЯГИ, ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ
Рассматривается задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА) с помощью ограниченного по модулю управления — вектора реактивной тяги, ортогонального плоскости орбиты. При таком управлении орбита КА поворачивается в пространстве как неизменяемая (недеформируемая) фигура. В качестве критерия оптимальности используется комбинированный функционал, равный взвешенной сумме времени переориентации и интегрального квадратичного (в отношении управления) функционала качества или равный взвешенной сумме времени переориентации и импульса управления (характеристической скорости) за время переориентации орбиты. Для решения задачи используется ква-тернионное дифференциальное уравнение ориентации орбитальной системы координат и принцип максимума. Сформулирована дифференциальная краевая задача для построения оптимального управления и оптимальной траектории переориентации орбиты, имеющая размерность, равную десяти. Получены (в виде функций сопряженных переменных) законы управления, удовлетворяющие необходимым условиям оптимальности. Найдены кватернионный и скалярные первые интегралы уравнений задачи, построены условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа. Показано, что исходная краевая задача сводится (с одновременным упрощением уравнений задачи) к новой краевой задаче меньшей размерности, равной трем, уравнения которой для круговой орбиты в случае быстродействия интегрируются в тригонометрических функциях. Такое сведение оказывается возможным благодаря свойству самосопряженности кватернионного дифференциального уравнения ориентации орбитальной системы координат КА и использованию новой кватернионной переменной, связанной с кватернионным первым интегралом преобразованием вращения. Установлено, что функция переключения управления описывается системой трех дифференциальных уравнений первого порядка, которые для круговой орбиты в случае быстродействия сводятся к линейному неоднородному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами, а в случае интегрального квадратичного функционала качества — к уравнению Дуффинга. Показано также, что для круговой орбиты в случае быстродействия задача сводится к решению нелинейной алгебраической системы третьего порядка. Приведен пример численного решения задачи.
1. Дифференциальные кватернионные уравнения ориентации орбиты космического аппарата. Будем считать, что вектор ускорения u от тяги реактивного двигателя во все время управляемого движения космического аппарата (КА) направлен ортогонально
плоскости его орбиты. Тогда орбита КА в процессе управления движением центра масс КА не меняет своей формы и своих размеров, а поворачивается в пространстве под действием управления u как неизменяемая (недеформируемая) фигура.
Движение центра масс КА будем рассматривать в инерциальной системе координат — геоцентрической экваториальной системе координат OX1X2X3 (система X) c началом в центре O притяжения Земли. Ось OX3 системы направлена вдоль оси суточного вращения Земли, оси OX1 и OX2 лежат в плоскости экватора, ось OX1 направлена в точку весеннего равноденствия, ось OX2 дополняет систему до правой тройки векторов.
Введем также в рассмотрение систему координат связанную с плоскостью и перицентром орбиты КА, с началом в центре O. Ось ^ направлена вдоль радиус-вектора перицентра орбиты, ось перпендикулярна плоскости орбиты и имеет направление постоянного по модулю вектора c момента скорости центра масс КА, а ось £,2 образует правую тройку с осями ^ и £,3. Ориентация системы координат в инерциальной системе координат X характеризует ориентацию орбиты КА в инерциальном пространстве и задается тремя угловыми оскулирующими элементами орбиты [1, 2]: долготой восходящего узла QH, наклоном орбиты I и угловым расстоянием перицентра от узла юя.
Дифференциальные уравнения задачи переориентации орбиты КА в инерциальной системе координат в угловых элементах орбиты в рассматриваемом случае имеют вид [1, 2]
u = (r/c) u sin (юп + ф) cosec I I = (r / c) u cos (юп + ф) , ю u = -(r/c) u sin (юп + ф) ctg I
Ф = c/r2, r = p/(1 + ecos ф), c = const (1.2)
где ф — истинная аномалия (угловая переменная, отсчитываемая в плоскости орбиты от ее перицентра и характеризующая положение КА на орбите), r = |r| — модуль радиус-вектора центра масс КА, p и e — параметр и эксцентриситет орбиты, с = |с| = |r х v| — постоянная площадей (модуль вектора момента скорости v центра масс КА), u — проекция вектора ускорения u на направление вектора момента скорости центра масс КА (алгебраическая величина реактивного ускорения, перпендикулярного плоскости орбиты КА), точкой обозначена производная по времени t.
Задача переориентации орбиты КА в угловых переменных формулируется следующим образом: требуется построить управление u, переводящее орбиту, изменение ориентации которой описывается уравнениями (1.1), (1.2), из заданного начального положения
аи = Зд) = ^, I = дд = I0, ®я = ®я(д = , I0 * о, П
в требуемое конечное положение
= = , I = Щ,) = I*, юя = ю^) = юП, I* * 0, п
Решение сформулированной задачи достаточно сложно в силу нелинейности уравнений (1.1), (1.2) и наличия в них особых точек I = 0, п. Задача решается гораздо проще, если использовать систему дифференциальных уравнений ориентации орбиты КА в параметрах Эйлера (Родрига—Гамильтона) [3, 4], состоящую из уравнений
2Л2 = О2Л0 + Й,Л3, 2Л3 = 02Л, - 0,Л2
2 2 0 1 3 3 2 1 1 2 (1.3)
Q1 = (r/c) u cos ф, Q2 = (r/c) u sin ф
и уравнения (1.2), где Л (j = 0, 1, 2, 3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентацию орбиты КА (системы координат £,) в инерциальной системе координат X, Q:, Q2, Q3 = 0 — проекции вектора Q мгновенной абсолютной угловой скорости орбиты на связанные с ней координатные оси O^¡.
Параметры Эйлера Лj связаны с угловыми элементами орбиты соотношениями
. I Qu + юп . . I Qu - юп Л0 = cos-cos —---, Л1 = sin-cos —u
2 2 1 2 2
(1.4)
. . I . Qu - юп I . Qu + юп
Л2 = sin-sin —--п, Л3 = cos-sin—!--П
2 2 2 3 2 2
Отметим, что уравнения ориентации орбиты в параметрах Эйлера вида (1.3), (1.2) использовались для описания орбитального движения и другими авторами [6, 7].
Уравнения (1.3) в кватернионной записи принимают вид [3, 4]
2 Л = Л ° Q^, Q^ = + Q2 i2 = (r/c)u(cos ф + sin ф i2) (1.5)
где Л = Л0 + Л^ + Л2i2 + Л3i3 — кватернион ориентации орбиты КА (кватернионный оскулирующий элемент орбиты КА), Q^ — отображение вектора Q на базис (вектор Q мгновенной абсолютной угловой скорости орбиты направлен вдоль радиус-вектора r центра масс КА и определяется формулой Q = (u/c) r), i:, i2, i3 — векторные мнимые единицы Гамильтона, ° — символ кватернионного умножения.
Отметим, что если (1.1), (1.2) — система четырех нелинейных стационарных дифференциальных уравнений первого порядка относительно угловых переменных Q„, I, юя, ф, то (1.3), (1.2) — система пяти нелинейных стационарных дифференциальных уравнений первого порядка относительно параметров Эйлера Лj (j = 0, 1, 2, 3) и истинной аномалии ф. Однако система (1.3), (1.2), в отличие от (1.1), (1.2), не имеет особых точек, к тому же при переходе в ней от времени t к новой независимой переменной ф в соответствии с дифференциальным соотношением dф = (c/r2)dt получаем (при u = ^ф)) систему четырех линейных нестационарных дифференциальных уравнений относительно параметров Эйлера Лj.
Отметим также, что системы уравнений (1.1), (1.2) и (1.3), (1.2) могут рассматриваться как нестационарные системы дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков соответственно относительно переменных Q„, I, юя и Лj (j = 0, 1, 2, 3), так как уравнение (1.2) в этих системах для истинной аномалии ф интегрируется в квадратурах независимо от других уравнений, в силу чего переменная ф может рассматриваться как известная функция времени. При таком рассмотрении (1.1), (1.2) — нелинейная система, а (1.3), (1.2) — линейная.
Указанные обстоятельства делают использование уравнений (1.3), (1.2) ((1.5), (1.2)) для решения задачи переориентации орбиты более удобным и эффективным в сравнении с использованием уравнений (1.1), (1.2). Такое решение задачи переориентации орбиты КА с использованием комбинированного функционала, равного взвешенной сумме времени переориентации и интегрального квадратичного (в отношении управления) функционала качества, рассмотрено ранее [8—10].
Наряду с уравнениями (1.3), (1.2) ((1.5), (1.2)) ориентации орбиты КА в параметрах Эйлера Л^ для решения задачи переориентации орбиты КА может быть использована система уравнений ориентации орбитальной системы координат п в параметрах Эйлера ^ [3, 5], состоящая из уравнений
2 X о = —ю^! — Ю3Х3, 2 Xi = щХ о + Ю3Х 2
(1.6)
• •
2 X 2 = —Ю3Х1 + 3, 2 Х3 = Ю3Х о — ®jX 2
ю1 = (r/c)u, ю2 = 0, ю3 = c/r2
и уравнения (1.2), где X,- (j = 0, 1, 2, 3) — параметры Эйлера, характеризующие ориентацию орбитальной системы координат п в инерциальной системе координат X (ось п этой системы координат направлена вдоль радиус-вектора r центра масс КА, а ось п3 перпендикулярна плоскости орбиты (параллельна оси £,3)), ю1, ю2 = 0, ю3 — проекции вектора ю мгновенной абсолютной угловой скорости орбитальной системы координат на ее же координатные оси.
Параметры Xj связаны с угловыми переменными Q„, I, юя, ф соотношениями, аналогичными соотношениям (1.4):
- I Ц +юп + m - . I Ц -юп - ф
X0 = cos-cos—--—-, X, = sin-cos—--——
0 2 2 1 2 2
- . I . О, -юп - ф ~ I . Ц, +юп + ф
X2 = si^—si^—---—-, X3 = cos-sin—--——
2 2 2 3 2 2
Уравнения (1.6) в кватернионной записи принимают вид [3, 5]
2 X = k ° юл, Юп = ю^ + «313 = (r/c)ui1 + (c/r2)i3 (1.7)
где k = X0
+ X1i 1 + X2i2 + X3i3 — кватернион ориентации орбитальной системы координат, связанный с кватернионом Л ориентации орбиты КА соотношением
k = Л ° (cos(ф/2) + i3sln(ф/2)) (1.8)
юп — отображение вектора ю на базис п.
Отметим, что кватернионное уравнение ориентации орбитальной системы ко
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.