№ 5
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 536.2
ОПТИМАЛЬНАЯ ТОЛЩИНА АНИЗОТРОПНОГО ПОКРЫТИЯ НА ОХЛАЖДАЕМОЙ СТЕНКЕ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ ВНЕШНЕМ НАГРЕВЕ
© 2014 г. В.С. ЗАРУБИН, А.В. КОТОВИЧ, Г.Н. КУВЫРКИН
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (МГТУ), г. Москва
E-mail: alvakot@gmail.com
Построена математическая модель процесса стационарной теплопроводности при локальном нагреве внешней поверхности анизотропного покрытия на охлаждаемой плоской стенке. Тепловой контакт между покрытием и стенкой принят неидеальным. Определена оптимальная толщина покрытия, при которой температура наиболее нагретой точки на его внешней поверхности будет минимальной. Установлено, что при наличии идеального теплового контакта между покрытием и стенкой указанный минимум отсутствует.
Ключевые слова: анизотропное покрытие, локальный нагрев, оптимальная толщина покрытия.
OPTIMAL THICKNESS OF THE ANISOTROPIC SURFACE ON THE COOLING PLATE WITH APPLIED LOCAL EXTERNAL HEATING
V.S. Zarubin, A.V. Kotovich, G.N. Kuvyrkin
Bauman Moscow State Technical University E-mail: alvakot@gmail.com
The problem of effective construction's defense from local thermal influence is examined. Stationary mathematical model of thermal conductivity with local heating applied to the cooling process of flat plate covered by anisotropic external surface is built. Model diagram of the locally heated surface is given. Thermal contact between the surface with constant values of heat-conducting coefficients in normal and cross-slide direction and the covered flat plate being cooled is considered non-ideal with adjusted heat exchange coefficient. Using the results of computations the optimal thickness of the covering surface is determined. The surface's thickness is considered optimal, when temperature of the most heated point on it is minimal. It is determined, that there is no minimum point under the condition of the ideal thermal contact between the surface and the plate.
Key words: stationary heat transfer, anisotropic surface, local heating, non-ideal thermal contact, optimal thickness of the surface.
Введение
Для эффективной защиты конструкций от локализованного интенсивного теплового воздействия возможно применение слоя теплоизоляции или покрытия из анизо-
Рис. 1. Расчетная схема слоя покрытия при локальном нагреве
тропных материалов, которыми могут быть слоистые композиты или покрытия, коэффициент теплопроводности которых в тангенциальном направлении существенно выше по сравнению с коэффициентом теплопроводности в направлении нормали к поверхности, подверженной местному нагреву. Примером подобного покрытия является пирографит, осаждаемый из газовой фазы на защищаемую поверхность [1]. При этом на поверхности возникает слой кристаллов пирографита с гексагональной кристаллической решеткой, обладающей сильно выраженной анизотропией по отношению к свойству теплопроводности. Аналогичные свойства присущи слоистым композитам, армированным в плоскости слоев углеродными волокнами или углеродной тканью [2]. Перспективными материалами могут стать композиты, армированные на-ноструктурными элементами [3] (например, углеродными нанотрубками, оси которых преимущественно расположены параллельно плоскости покрытия).
Благодаря высокому значению коэффициента теплопроводности в тангенциальном направлении локализованный тепловой поток, подводимый к слою покрытия по нормали к его поверхности, в пределах этого слоя изменяет направление линий тока, что приводит к снижению наибольшей температуры поверхности покрытия в пятне нагрева. При заданных свойствах материала покрытия и распределении плотности теплового потока на нагреваемой поверхности подбором толщины слоя покрытия можно достигнуть наименьшей температуры в наиболее нагретой точке его поверхности. Такую толщину слоя покрытия будем считать оптимальной.
Постановка задачи. Рассмотрим плоский слой покрытия толщиной к с постоянными значениями коэффициентов теплопроводности X£ и Xг, соответственно, в направлении нормали к поверхности слоя и в тангенциальном направлении. Покрытие нанесено на плоскую поверхность охлаждаемой конструкции с заданным значением температуры Т0. Тепловой контакт между покрытием и поверхностью этой конструкции примем не идеальным с коэффициентом контактного теплообмена а. На внешнюю поверхность покрытия воздействует тепловой поток с осесимметричным распределением плотности по закону:
q(r) = q0 exp(-k2r2),
(1)
где r — радиус, отсчитываемый от оси 0z цилиндрической системы координат (рис. 1).
При r = 0 плотность теплового потока максимальна и равна q0. Коэффициент k в формуле (1) характеризует степень концентрации теплового потока при локальном нагреве слоя покрытия. Установившееся распределение температуры T(r,z) в этом слое удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными производными:
Xr д (rdT(r,zÏÏ + х д T(r,z) = 0
r дг
дг
dz2
при выполнении граничных условий
г= <3>
дг
-Xг |г=о +аТ(г,0) = а Т>; (4)
дг
дТ(г, г) | = дТ(г, г) | =0 (5)
--- \г = 0= --- 1 г= 0- (5)
д г дг
Условие (5) означает отсутствие радиальной составляющей теплового потока на оси 0z симметрии распределения температуры и на большом удалении (г ^ ж) от зоны локального нагрева, где, согласно формуле (1), д(г) ^ 0.
Решение задачи. Решение сформулированной задачи можно найти методом разделения переменных (методом Фурье), если вести отсчет температуры от значения Т0 и разность А Т = Т(г, г) - Т0 представить в виде
АТ(г, г) = Я(г)0(г). (6)
Подставив (6) в уравнение (2), получим равенство
к/к д (г дЯЦ = Л- д(г). (7)
гЯ(г) дЛ дг ! 1(г) дг
Поскольку г и г — независимые переменные, полученное равенство возможно лишь при условии, когда его левая и правая части постоянны и равны порознь некоторой одной и той же величине, которую обозначим p2.
Из равенства (7) следуют два обыкновенных однородных дифференциальных уравнения:
1 д (г + (X г Л г )р 2т = 0; ^ - р(г) = 0,
гдг\ дг ! дг
общие решения которых имеют вид
Я(г) = СуМцрг) + С2У0(прг), г(г) = ДеИрг + ^Ирг.
где п = г/Xг. Так как функция Бесселя У0(црг) при г ^ 0 неограниченно возрастает, а й10(црг)/йг ^ 0 при г ^ 0 и г ^ да, граничные условия (5) будут удовлетворены при С2 = 0 и любом значении Су. Из граничного условия (4) с учетом отсчета температуры от значения Т0 следует:
Б/А = а (рк г). (8)
Поскольку область решения задачи в направлении радиальной координаты г является полуограниченной, параметр p изменяется непрерывно, принимая все возможные неотрицательные значения. Поэтому вместо равенства (6) с учетом соотношения (8) запишем
АТ(г, г) = Т(г,г) - Т0 = ¡Л(р)/0(црг)[сЪрг + вЬрг^ йр, (9)
где Л(р) = СуБу — не зависящая от координат величина, являющаяся функцией только параметра p. Для ее нахождения используем граничное условие (3), которое после подстановки в него формулы (9) принимает вид:
|А(р)1о(црг)(а сИрк + рк ¡&арН)йр = д(г).
о
Из сопоставления этого равенства с интегралом Фурье—Бесселя [4]
да да
У о (ПР г)ПР ¿(пр) ^(г уо (пр г ')г' йг' = д(г)
получаем
А( р)
2
П р
асИрк + рХ .сИрН
\р(г)Уо(прг)гйг.
Если учесть зависимость (1), то, согласно [5], будем иметь
\р(г)10(црг)гйг = до \уо(т\рг)ехр(-к2г2)гйг = -^^ехр о о 2к
2
(пр)
4к2
Подстановка двух последних соотношений в формулу (9) приводит к решению поставленной задачи:
Т(г,.) = То + к| Уо(прг)
О рк.сЬр. + а$&р1 асИрк + рк яЪрН
(
ехр
(пр)
4к2
2
й (пр
\2к
(10)
где X = ^ХгX.. В случае изотропного материала покрытия Xг = X. = X, т.е. п = 1. При этом формула (10) совпадет с решением, полученным в работе [6].
Анализ решения задачи. Наиболее нагретая точка на внешней поверхности покрытия имеет температуру Тт = Т(о,Н), или в безразмерной форме с учетом равенств (10) и 1о(о) = 1 имеем
0
Тт — То
да
о _ Гр'".
рХ . сЪрН + аяЪрк до /(кХ) •'асИрН + рХ ^ЪрН
ехр
2
(пр)
4к2
й Ю
(11)
При Н ^ о, когда слой покрытия весьма тонкий и перенос теплоты теплопроводностью в направлении радиальной координаты г убывает, из формулы (11) получаем очевидный результат 0о = кХ/а, или Тт = То + до/а, а в случае весьма толстого слоя покрытия (к ^ да) из этой формулы следует:
&а
1еХР
(пр) 4к 2
2
(пр) = 4П
\2к
или Тт = То + 3о4л/(2кХ).
При изменении толщины Н покрытия температура Тт может меняться не монотонно, а достигать экстремума, необходимым условием существования которого будет соотношение
да 9 9
59 = Г (а) - .) 2 ехр дк о (асЪрк + рХ ^арН)1
(пр)
4к2
рй (Н-
(12)
да
да
о
со
о
Подынтегральная функция в этом соотношении является непрерывно убывающей при изменении переменного интегрирования р. Поэтому при фиксированных значениях параметров а, Xг, к и к возможно лишь единственное нулевое значение интеграла. Это означает, что если экстремум существует, то он единственный. Экстремум будет минимумом лишь в том случае, если при увеличении к значение 0 сначала уменьшается, т.е. д®/дк < 0 при к ^ 0. Поскольку при к ^ 0
( 2Л /2кХ,^2
& = ¡(1 -(рХ,/а)2) -Щ- Pd() = кп-(к/л) дк ^ ' \ 4к ) \2к!
\2к! ^ ал
о
получим, что минимум существует при условии Р = а/(кX) < 2.
Таким образом, из соотношения (12) при Р <2 можно найти оптимальное значение к* толщины слоя покрытия а затем из (11) вычислить соответствующее этому значению минимально возможное значение 0* безразмерной температуры. На рис. 2 представлены результаты расчетов по указанным формулам в виде графиков зависимостей от параметра Р, числа Био ВЦ = а к* /X, включающего искомое значение к*, и безразмерной температуры 0* = (Т* - Т0)кХ/^0, содержащей минимально возможное значение температуры Т* в наиболее нагретой точке внешней поверхности слоя покрытия. При Р = 2 имеем 0* = 1/в = 1/2, что соответствует случаю ВЦ ^ 0, т.е. бесконечно тонкому слою покрытия.
Стремление параметра Р к нулю в данном случае может быть вызвано двумя причинами. Одна из них связана с возрастанием параметра к, т.е. с усилением локализации теплового воздействия на внешнюю поверхность покрытия. Второй причиной является увеличение параметра X = ^Х г X г, что может быть характерно в случае применения достаточно теплопроводного покрытия (н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.