ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 1, 2004
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕХАНИКА, ДИАГНОСТИКА,
ИСПЫТАНИЯ
УДК 622.73.002.5
© 2004 г. Нагаев Р.Ф., Утимишев М.М.
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОФИЛИРОВАНИЕ РАБОЧИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ЩЕКОВЫХ ДРОБИЛОК
Получены соотношения, которые позволяют определить форму рабочих поверхностей, обеспечивающую минимальность общего времени пребывания материала в дробящей полости вибрационной щековой дробилки. Показано, что при поступательном характере колебаний щек этот профиль носит линейный характер. При этом локальная продолжительность свободного падения материала оказывается постоянной по высоте дробящей полости.
Постановка оптимальной задачи. В работе [1] было исследовано движение материала в полости между одинаковыми дробящими щеками, которые совершают плоские колебания периода Т по закону х = х(г), у = у(г), ф = ф(г). Полагалось, что момент г* начала зажатия материала зависит от вертикальной координаты s, а момент начала его свободного падения г0 одинаков на всех уровнях (г0 = 0). Были получены соотношения
которые позволяют при заданном законе колебаний щек определить зависимость г* = = г* (я) или обратную зависимость я* = s*Xt), характеризующую закон распространения волны зажатия материала вниз по высоте дробящей полости (0 < я < V). Функция / = =/(я) определяет форму рабочих поверхностей, величина As равна изменению координаты я в результате свободного падения материала на данном уровне, постоянные а и Ь отвечают определенным размерам дробилки, а индексы "0" и "*" означают, что соответствующие величины определяются в моменты г0 и г* [2]. При этом общее время пребывания материала в рабочей полости можно определить по формуле
о
При выводе соотношений (1) и (2) предполагалось, что колебания щек малы и т > Т.
Ая = Хо - х* + Хо г* + 0,5^г* + (Ь + / )(фо - ф* + фо?*),
ТеА$ = У* - Уо + (а + я)(Фо - Ф*)>
2
(1)
V
(2)
Рассмотрим вопрос о выборе криволинейного профиля дробящих поверхностей щек (функциикоторый обеспечивает минимальное значение общего времени т. На таком оптимальном профиле вариация данного времени должна обращаться в
нуль 5т = -Г^ (бА^/А^2) ds = 0.
Уравнения оптимального профиля. Проварьируем соотношения (1), имея в виду, что 5х* = х* 5/*. Получим 5А^ = [х0 - х* + gt* + (Ь + /)(фо - ф* )]5/* + (ф0 - ф* + фо
(d5f/ds)Аs + (df/ds)5Аs = [ у* + (а + ф* ]5/*. Разрешим эти соотношения относительно вариаций 5/* и 5А^
§ t* = V
d- А s+ds(Фо- ф*+)§f
§As
= As [ *o - Х* + gt* + (b + f )(фо- ф*)] + (Фо- ф* + <M*)[ У* + (a + s )ф* ]§f L (3)
где V = y* + (a + s)ф* - ^ [Хо - Х* + gt* + (b + f)(фо - ф*)].
Подставляя значение для §As согласно (3) в (2), получим
L
J^f+т)ds = о, (4)
где Fi = ттА- [Хо - Х* + gt* + (b + f)(фо - ф*)], F2 = —Ц (фо - ф* + фо t*) [y* + (a + s)ф* ]. VAs VAs
Возьмем первое слагаемое в (4) по частям. Будем полагать, что пограничные значе-
L
нияf(0) = 0 иf(L) = fLфиксированы §Д0) = 0, §fL) = 0. Получим J[F2 - (dF1/ds)]§fds = 0.
о
Отсюда вследствие произвольности вариаций §f имеем
dF1/ds = F2. (5)
Соотношения (1) и (5) образуют замкнутую систему двух нелинейных дифференциальных уравнений для определения оптимальных функций f = f(s) и t* = t*(s). Отметим, что эта система имеет второй порядок по f и должна быть проинтегрирована при краевых условиях f(0) = 0, f(L) = fL.
Различные случаи колебаний щек. Предположим, что колебания щек носят поступательный характер (ф = 0). Тогда решением сформулированной оптимальной задачи является линейный профиль f = ks, k = fJL. Подстановка этих значений в (1) приводит к трансцендентному уравнению для определения t*
k(xо-х* + о,5^) = У* -Уо. (6)
Здесь учтено, что в момент начала свободного падения скорость щек меняет знак Хо = Уо =
о
Рис. 1 Рис. 2
Таким образом, момент зажатия t* постоянен по высоте рабочей полости и при t0 = 0 имеет смысл продолжительности локального интервала свободного падения материала. Можно также сказать, что волна зажатия распространяется вниз по высоте дробящей полости с бесконечной скоростью. Постоянной по высоте является и величина u = 0,5gt* свободного падения материала. Вследствие этого данный профиль можно назвать изодистанционным. Отметим, что в данном случае F2 = 0, Fx = const, поэтому равенство (5) обращается в тривиальное тождество.
В случае прямолинейной гармонической вибрации
x = A sin a cos юt, y = —A cos a cos rat (7)
(где A, ю - амплитуда и частота, a - угол наклона вибрации к горизонту) уравнение (6) записывается в следующей безразмерной форме:
П* = Х( 1 — cos п*), (8)
где n* = X = (2Ara2/g) ^1 cos a - sin a j .
Уравнение (8) имеет решение, принадлежащее интервалу 0 < п* < 2п, если % > 2. Для этого необходимо, но не достаточно, чтобы k < ctg а. В противном случае оптимальное профилирование в рассматриваемом смысле невозможно.
На рис. 1 приведена зависимость безразмерной продолжительности свободного падения п* от %. Формула для общего времени пребывания материала в рабочей полости дробилки [1] в случае изодистанционного профиля (t* = const) принимает вид т = TL/As, где T = 2л/ю - период вибрации. В случае прямолинейных гармонических вибраций щек (7) вместо этого при учете (8) получим
е = х / п*, (9)
где величину е = тА cos а/TLk можно истолковать как безразмерное общее время пребывания.
На рис. 2 приведена зависимость е от %, построенная на основе (8) и (9). Отметим, что минимальное значение е = 0,5 достигается при % = 0,5п (п* = п). Это значение характеризуется тем, что интервал зажатия и свободного падения материала одина-
ковы и равны полупериоду вибрации. Такая ситуация является по-видимому наиболее выгодной.
Существенно сложнее обстоит дело в случае вертикально-поворотной вибрации щек (у = 0), когда момент начала свободного падения также одинаков по высоте дробящей полости (t0 = 0). В этом случае оптимальный профиль не является изодистан-ционным, а время распространения волны зажатия s*(t) конечно. Здесь эффективной является замена аргумента s = s*(t). Выпишем результирующие уравнения для гармонических вертикально-поворотных вибраций x = A sin rat, ф = -у cos rat. Замкнутая система этих уравнений будет
As = A (n -sin n) + 0,5gn2/ra2- (b + f * )у( 1 - cos n), f*As = s* (a + s * )у cos n,
F = F2 s*, F1 = yAs [Ara( 1 — cos n) + gn/ra + (b + f * )yra sin n], 12
F2 =--- у ra( a + s*)(1 - cos n) sin n,
VAs
V = yra(a + s*)sinn - (f*/s*)[Ara( 1 - cosn) + gn/ra + (b + f *)yrasinn],
где f*(t) = f(s*) - дифференцирование по безразмерному времени n = rat, обозначено
штрихом; учтено, что ds = s* dn.
После интегрирования этой нелинейной краевой задачи при граничных условиях f*(s* = 0) = 0 и f*(s* = L) = fL искомый оптимальный профиль строится в результате совместного рассмотрения соотношений f=f*(t), s = s*(t).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нагаев Р.Ф., Утимишев М.М. О движении материала в рабочей полости вибрационной щековой дробилки // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2002. < 1. C. 8589.
2. Ревнивцев В.И., Денисов Г.А., Зарогатский Л.П. и др. Вибрационная дезинтеграция твердых материалов. М.: Недра, 1992. 430 c.
Санкт-Петербург Поступила в редакцию 2.VII.2003
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.