ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 65-71
= ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 531.36:62-50
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ СИСТЕМЫ
ДВУХ ТЕЛ ПО ПРЯМОЙ*
© 2007 г. Т. Ю. Фигурина
Москва, ИПМех РАН Поступила в редакцию 30.05.06 г.
Решается задача оптимального управления периодическими по скорости движениями системы двух твердых тел по наклонной прямой на плоскости. Внешнее тело (корпус) движется по плоскости за счет силы, действующей на него со стороны внутреннего тела при его движениях относительно корпуса, при наличии сухого трения между корпусом и плоскостью. Ускорение внутреннего тела относительно внешнего является управлением, абсолютная величина которого ограничена. Найдено оптимальное управление, максимизирующее среднюю скорость движения системы при заданном периоде. Показано, что оптимальное относительное ускорение внутреннего тела имеет три интервала постоянства на периоде, при этом внешнее тело часть периода покоится (в случае горизонтальной прямой - ровно половину), а оставшуюся часть - движется в желаемом направлении, и никогда не осуществляет реверса. Установлено, что при найденном законе управления и дополнительном ограничении на амплитуду колебаний внутреннего тела можно при сколь угодно больших ускорении внутреннего тела и, одновременно, частоте его колебания сделать скорость движения системы неограниченно большой.
Введение. Настоящая статья продолжает цикл работ, в которых исследуется движение систем многих тел вдоль прямой по горизонтальной плоскости с сухим трением, возникающее при действии внутренних сил между телами и соответственно при изменении конфигурации систем.
В [1] был предложен периодический закон взаимодействия двух тел на плоскости, при котором тела периодически по скорости движутся вдоль прямой, их соединяющей, причем более массивное тело либо покоится, либо движется вперед. Предполагается, что сила взаимодействия между телами имеет четыре интервала постоянства на периоде, а расстояние между телами ограничено. Проведена оптимизация по параметрам закона управления и по параметрам системы тел с целью максимизации средней скорости периодического движения.
В [2], [3] рассмотрена система двух тел, одно из которых движется внутри другого по горизонтальной прямой. Предложено два периодических закона управления движением внутренней массы, таких, что система тел осуществляет периодическое по скорости движение вдоль прямой на плоскости. При первом законе управления скорость относительного движения внутреннего тела кусочно-постоянна и принимает два значения, одно из которых больше нуля и соответствует относительному движению вправо, а второе - меньше
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№ 05-08-33382, 05-01-00647) и гранта поддержки ведущих научных школ НШ-9831.2006.1.
нуля. При втором законе управления относительное ускорение внутренней массы имеет три интервала постоянства на периоде. В обоих случаях предполагается, что в начале движения оба тела покоятся и внутреннее тело находится в крайнем левом положении. Найдены оптимальные параметры системы тел и законов управления, обеспечивающие максимум средней скорости движения системы тел.
В [4] исследовалась система трех тел, состоящая из корпуса и двух подвижных внутренних масс, одна из которых движется по горизонтальной, а другая - по вертикальной прямым. По сравнению с системами двух тел, у системы трех тел есть дополнительные возможности, поскольку силой нормального давления корпуса на плоскость и, следовательно, силой трения можно управлять. Рассматривались гармонические движения внутренних тел, частота которых совпадает, а фаза является управляющим параметром. Вычислена средняя скорость периодического движения корпуса при условии малости коэффициента трения и найдены оптимальные параметры системы, соответствующие ее максимальной средней скорости.
В настоящей статье решается задача оптимального управления периодическим по скорости движением системы двух тел, рассмотренной в [2, 3] и состоящей из корпуса и подвижной внутренней массы, движущейся по прямой, параллельной плоскости, по которой перемещается корпус. Предполагается, что относительное смещение внутренней массы дважды дифференцируемо, а
Рис. 1.
абсолютная величина ее относительного ускорения ограничена. Исследуется движение системы тел по прямой на горизонтальной плоскости и по наклонной прямой.
1. Оптимальное управление движением системы двух тел по горизонтальной прямой. Рассмотрим твердое тело, лежащее на горизонтальной плоскости, внутри которого по прямой, параллельной плоскости, может перемещаться другое тело. Изучим движения несущего тела, возникающие из-за перемещения внутренней массы при наличии сухого трения между телом и плоскостью. Пусть M - суммарная масса внешнего и внутреннего тел, m - масса внутреннего тела, ^ -смещение внутреннего тела относительно внешнего, х - смещение несущего тела вдоль прямой на плоскости (рис. 1 при нулевом угле а иллюстрирует систему двух тел).
Уравнение движения двух тел имеет вид
Mx + m= F,
где F - сила сухого трения, приложенная к несущему телу, F=-kMg sign x, если x Ф 0 и F е [-kMg, kMg], если x = 0, k - коэффициент сухого трения, g - ускорение свободного падения. Введем следующие обозначения:
ц = m/M, ц е (0, 1), f = F/M, и = -.
Уравнение движения приобретает вид
x = ци + f, f = -kg sign x, x ф 0, (1.1)
f е [-kg, kg], x = 0.
Будем считать управлением и взятое с обратным знаком ускорение внутренней массы. Рассмотрим ограниченные по модулю ускорения, |u| < U. Условие ци > kg необходимо для того, чтобы несущее тело можно было вывести из состояния покоя.
kg
Введем безразмерный параметр р = ц-Ц е (0, 1).
Исследуем периодические движения внутреннего тела с некоторым фиксированным периодом T, b(t + T) = ^(0, такие, что ^(0 - дважды дифференцируемая функция. Управление (как и ускоре-
ние внутренней массы) при этом является периодической функцией с нулевым средним
т
«(г + т = «(*), |« (*) & = 0.
0
Обратно, любому периодическому управлению с нулевым средним соответствует при правильном выборе константы интегрирования периодическое движение
Будем рассматривать такие периодические управления, которые порождают периодические по скорости движения несущего тела, х (г + Т) = = х (*). Проинтегрировав уравнение (1.1) по периоду, получим
т
|л * )& = 0,
0
откуда с учетом непрерывности скорости х и закона сухого трения Кулона следует, что х обязана обращаться в нуль в некоторый момент времени. Допустим, что х (0) = 0. Без ограничения общности можно также считать, что х(0) = 0. Таким образом, на отрезке периодичности граничные условия для уравнения движения (1.1) имеют вид
х(0) = х (0) = х (Т) = 0. (1.2)
Управление и выбирается в классе
1«1 < и, (1.3)
т
| и (*) а = о. (1.4)
0
Найдем оптимальное управление «*(0 (и порождаемое им оптимальное движение несущего тела х*(ф, при котором смещение несущего тела за период максимально
х*(Т) = тахх (Т). (1.5)
«(г)
Проинтегрировав уравнение движение (1.1) на отрезке [0, Т] с учетом граничных условий (1.2) заметим, что условие
Т
|«(г) а* = о
0
равносильно
Т
|л г) = 0. (1.6)
0
Задача оптимального управления (1.1)—(1.3), (1.5), (1.6) эквивалентна исходной задаче (1.1)—(1.5). Возьмем некоторое допустимое управление «(*) и
порождаемое им разбиение отрезка [0, Т] на непересекающиеся во внутренних точках отрезки в соответствии со знаком скорости х несущего тела
[0, Т = и,(А- и Д0 и А+).
(1.7)
исходного разбиения трактуются как интервалы Д0, на которых выполнено х =0 и однозначно определена сила трения/ = kg (при этом и = -к§/|1). На этом разбиении максимальное значение инте-
Здесь А- и Д+ - отрезки, на которых х < 0 и, соот- грала |хЛ больше, чем на исходном. Таким обра-
ветственно, х > 0 почти всюду, Д0 - отрезки, где х =
0. Обозначим через 5га длины отрезков Дга, а через
5а - суммы длин всех отрезков из соответствую-
щей
части разбиения, 5а = ^5га, а = -, 0, +. По
скольку / = - kg на всех Д+, /= kg на всех Д- и /принимает значения из диапазона [-kg, kg] на отрезках Д0, то из равенства (1.6) следует условие
|6+- 6-| <50, (1.8)
которое выполнено для любого разбиения (1.7), порожденного допустимым управлением и(х). Можно показать, что любое разбиение (1.7), удовлетворяющее свойству (1.8), порождено некоторым допустимым управлением и(х).
Будем искать среди всех управлений, которым соответствует разбиение (1.7), оптимальное в смысле (1.5), а затем среди оптимальных управлений, отвечающих всем возможным разбиениям, найдем глобально оптимальное. Заметим, что на
обоих концах каждого отрезка разбиения Дга скорости х равны нулю и, следовательно, управления иа на этих отрезках независимы. Оптимальное управ-
ление иа доставляет максимум значению
| х Лх .
зом, доказано, что при оптимальном управлении движения влево со скоростями х < 0, не происходит. Будем рассматривать вместо (1.7) разбиение
[0, т = Ч, (Д0 и Д+).
Условие (1.8) принимает вид 5+ < 50. Учитывая соотношение
^ | хйг = 0,
в оптимальном разбиении нужно положить 5+ = 50 = Т
= 2 . А поскольку
| /(х)Л = -5+kg,
иД+
то при 5+ = 50 на всех отрезках Д0 значение силы трения покоя должно быть постоянным и максимальным, / = kg, а оптимальное управление - равным
и*
=
|
Рассмотрим разбиение, порождаемое управлением и, и некоторый его отрезок Д-. Сила трения на нем постоянна и равна kg, уравнение движения
имеет вид х = |и + kg, а смещение корпуса отрицательно, | хЛ < 0. Заменим на этом отрезке исход-
Д-
ное управление на новое постоянное и = -kg/|. Поскольку на левом конце отрезка скорость х равна нулю, то на всем отрезке выполнено х = 0,/ = kg, и
смещение корпуса на нем равно нулю, | хЛ = 0.
Д-
Таким образом, на Д- управлениям и, и соответствует одна и та же сила трения, а смещение корпуса больше при управлении и. Возьмем разбиение, состоящее из интервалов ДО, ДО и Д+ и отличающееся от предыдущего тем, что отрезки Д-
Найдем теперь оптимальное управление при движении несущего тела вправо. Рассмотрим некоторый отрезок Д+ = [х0, х0 + 5]. На нем /= - kg и уравнение д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.