КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 4, с. 431-443
УДК 629.782.051
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ РАЗВОРОТОМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С МИНИМАЛЬНЫМ НАГРУЖЕНИЕМ КОНСТРУКЦИИ
© 2004 г. М. В. Левский
Научно-исследовательский институт космических систем государственного космического научно-производственного центра им. М.В. Хруничева, г. Юбилейный
Поступила в редакцию 03.12.2002 г.
В работе рассмотрена и решена задача оптимального пространственного разворота космического аппарата из его начального углового положения в требуемое конечное угловое положение за заданное время с минимальным значением функционала, отражающего степень нагружения конструкции. Приводится аналитическое решение поставленной задачи. Показано, что оптимальное в этом смысле управление переориентацией КА может быть определено в классе совершения КА регулярной прецессии. Момент начала торможения определяется исходя из принципов терминального управления по фактическим кинематическим параметрам движения аппарата, что существенно превышает точность приведения КА в заданное положение. Приводятся данные математического моделирования, подтверждающие эффективность полученного способа управления пространственным разворотом КА.
В статье рассматривается решение задачи приведения космического аппарата в положение заданной ориентации в пространстве. Под пространственным разворотом будем понимать перевод связанных с корпусом КА осей OX, OY, OZ из одного известного углового положения OX-YZ-s. в другое известное (обычно заданное) угловое положение OXKYKZK за конечное время tK. В этом случае параметры разворота (например, компоненты кватерниона разворота) известны заранее, еще до начала маневра; причем исходные угловые рассогласования могут быть любыми (от нескольких до 180 градусов). Начальная и конечная угловые скорости, как правило, отсутствуют (или близки к нулю). При этом угловая ориентация правой системы координат OXYZ (равно как ее начальное OXsYsZs и конечное OX^-Y^-Z^. положения) определяется относительно выбранной опорной системы координат (опорного базиса I).
Исследованию задачи оптимального управления переориентацией твердого тела в различных постановках посвящено множество публикаций [1-6, 12]. При этом приводятся различные постановки задачи и используется широкий спектр методов ее решения [1-6]. Самыми распространенными являются принцип максимума Л.С. Понтря-гина и метод аналитического конструирования по критерию обобщенной работы (АКОР), разработанный А.А. Красовским и получивший свое дальнейшее развитие. В частности, в монографии [1] рассматриваются вопросы оптимального разворота КА по быстродействию и минимуму энергетических затрат. Аналитическое решение было получено с использованием принципа максимума
Л.С. Понтрягина для случая, когда ограничена величина управляющего момента, а КА разворачивается вокруг вектора конечного поворота. В статье [2] оптимальные управления находились методом совмещенного синтеза на основе алгоритма с прогнозирующей моделью, причем минимизировался функционал обобщенной работы. Аналитическое конструирование по критерию обобщенной работы представляет собой достаточно универсальное средство решения задач оптимального управления [3, 7]. Оно не требует существенного упрощения модели объекта управления и не накладывает ограничений на траекторию движения [3, с. 397-399]. Однако, оптимизация по АКОР не позволяет обеспечить выполнение ограничений, накладываемых на управляющие переменные. Кроме того, метод применим только при относительно небольших начальных угловых отклонениях [3]. Непригодность АКОР для случая произвольных (в том числе и неограниченно больших) начальных угловых отклонений является существенным его недостатком.
Использование при синтезе управлений прогнозирующих моделей повышает качество регулирования, в силу чего они широко применяются в настоящее время многими авторами. Но в таких алгоритмах конечный результат зависит в основном от вида прогнозирующей модели. В известных последних публикациях [2, 4] полученное решение, к сожалению, не является принципиально новым. Реализующееся в результате синтеза управления приводит к развороту КА вокруг вектора конечного поворота, хотя принципы оптимизации и алгоритмы управления различны.
В большинстве случаев методы оптимизации с применением прогнозирующих моделей используются лишь для построения высокоточных компенсаций [4]. Вопросы нахождения самих программных управлений детально не изучались.
Наиболее полно задача оптимального разворота решена лишь для двух частных случаев: плоского разворота вокруг главной центральной оси инерции КА [3, 5] и пространственного разворота сферически симметричного тела [6]. Несмотря на огромное количество работ, посвященных вопросам управления угловым положением КА, величина динамических нагрузок, возникающих во время пространственного разворота КА из-за наличия угловой скорости, не учитывалась. Нахождение оптимального режима пространственной переориентации КА с минимальным нагружением его конструкции - достаточно актуальная задача.
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ОБЩАЯ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ
В условиях космического полета особенность управления угловым положением КА заключается в малости возмущающих моментов, обусловленных взаимодействием аппарата с внешними полями и сопротивлением среды. Для описания пространственного движения КА используем математический аппарат кватернионов {6]. Движение связанного базиса Е относительно опорного базиса I будем задавать кватернионом Л. Угловое положение начальной и конечной ориентации КА относительно опорного базиса I определяется кватернионами Лн и Лк соответственно. В работе считается, что опорным является инерциальный базис, оси которого совпадают с осями инерци-альной системы координат ОХиУиХи (ИСК). В этом случае уравнения углового движения КА как твердого тела имеют вид:
/1СЙ! + ( Jз- /2 )Ю2Юз = М
/2 Ю2 + (/!- /3 )ю^3 = М2,
/зССз + (/2- /!)Ю! Ю2 = Мз;
2А,о = — ю1 — Ю2 — Ю3,
2 А,1 = Ю1 + ^2Ю3 — ^3Ю2, 2 А,2 = Ю2 + ^3Ю1 — Х1Ю3,
2 А,з = ^0Ю3 + ^1Ю2 — Ю1 ,
(1)
или в кватернионной форме 2 Л = Л ° ю, причем
+ А,2 + + ^з = 1, где / - главные центральные моменты инерции аппарата, М, - проекции
главного момента внешних и внутренних сил, Ю; - проекции вектора угловой скорости ю на оси связанного базиса Е, образованного главными центральными осями эллипсоида инерции КА (; = 1, 2, 3); - компоненты кватерниона Л, определяющего ориентацию связанных с КА осей относительно ИСК (] = 0, 1, 2, 3,), Л = 8да1 Л + уей Л [6, с. 11-20], где А0 = 8да1 Л - скалярная часть кватерниона Л;
Х1в1 + Х2в2 + Х3в3 = уей Л - векторная часть кватерниона Л;
в1, в2, в3 - орты осей связанного базиса Е.
Исходя из требований прочности конструкции КА, приходится ограничивать вектор ю угловой скорости: ю е О, где О - область допустимых значений угловой скорости.
Граничные условия положения КА и его угловой скорости зададим в виде:
Л( 0) = Лн и (2)
Л( Т) = Лк, (3)
ю (0) = ю0, ю( Т) = юТ,
где Т - время разворота.
Практическое значение имеют задачи, в которых кватернионы Лн и Лк, задающие ориентацию связанных с КА осей в начальный и конечный моменты времени, имеют произвольные значения.
Для оценки эффективности управления вводится оптимизируемый функционал
= | /0 &,
(4)
где Т - время окончания маневра.
Задача оптимального управления заключается в переводе КА в соответствии с уравнениями (1) из состояния (2) в состояние (3) с минимальным значением функционала (4).
В частном случае, когда /0 = 1, получим задачу на быстродействие (разворот КА за минимальное время).
В ходе орбитального полета КА при осуществлении им пространственных разворотов бывает необходимо, чтобы маневр смены ориентации был совершен за наименьшее время, а силовое нагружение конструкции, вызванное вращением КА, не превышало заданной величины.
Возможна и вторая постановка задачи оптимального управления пространственным разворотом КА: требуется перевести связанную с КА систему координат ОХУХ из начального углового положения Лн = Л(0) в требуемое конечное положение Лк = Л(Т) за заданное фиксированное время Т = Тзад с учетом дифференциальных связей (1).
Т
0
и
При этом динамические нагрузки, возникающие в процессе разворота КА и характеризуемые величиной
Q = K !Ю2 + K2 ю2 + K3 ЮЗ (5)
должны быть минимальными.
min max [K1 ю!(t) + K2ю2(t) + К3ю3(t)],
M e S 0 < t < Tзад
где S - область допустимых значений момента М.
2. ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВРЕМЕНИ РАЗВОРОТА
Рассмотрим задачу на быстродействие. Данному критерию оптимальности соответствует /0 = 1. Будем считать, что при управлении движением КА существенным является ограничение скоростных параметров движения Ю;. Пусть в процессе полета КА, в том числе и при его разворотах, должно выполняться условие: /(ю1, Ю2, ®з) - /доп, где / - некоторая положительно-определенная функция переменных ю1, Ю2, Ю3; /доп - максимально допустимое значение функции / (например, вектор ю угловой скорости ограничен эллипсоидом, неподвижным относительно связанной системы координат). Функция /(ю1, Ю2, Ю3) является мерой "интенсивности" движения КА. В наиболее общем случае условие ограниченности динамических нагрузок, возникающих при вращении КА, может быть записано в форме:
2 2 2 2 KjЮ! + K2ю2 + K^3 < Q0,
(6)
где К1, К2, К3 - постоянные положительные коэффициенты (К > 0).
Тогда задачу оптимального пространственного разворота КА можно сформулировать в следующей постановке: требуется перевести КА из положения Лн в положение Лк в соответствии с уравнениями (1) при наличии ограничения (6), чтобы время Т было минимальным (разворот КА за минимальное время).
Для решения поставленной задачи воспользуемся принципом максимума Л.С. Понтрягина [8, с. 23-27]. Введем сопряженные переменные ¥/ (] = 0, 1, 2, 3), соответствующие компонентам кватерниона Х;-. Переменная ф0 будет соответствовать значению функционала О. Функция Понтрягина (гамильтонова функция) Г задачи имеет вид: Г = -1 + Гк + Гд, где Гк - кинематическая часть, Гд не зависит от кинематических параметров Х;-.
Гк = -0.5¥0(Х1 Ю1 + Х2 Ю2 + Х3Ю3) + + 0.5 ¥
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.