ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 8, с. 1308-1322
УДК 519.626
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МАКРОЭКОНОМИКИ
© 2007 г. В. К. Булгаков, Г. Л. Шатов
(680056 Хабаровск, ул. Серышева, 47, ДВГУПС) e-mail: blvic@rambler.ru Поступила в редакцию 02.02.2007 г.
На основе принципа максимума Понтрягина разработан оригинальный алгоритм решения задачи оптимального управления одной задачей макроэкономики. Приводятся результаты расчетов на ЭВМ оптимального управления и оптимальной траектории развития региональной экономической системы. Для некоторой области изменения оптимального управления приводится инвариант макроэкономической системы. Библ. 7. Фиг. 9. Табл. 2.
Ключевые слова: задачи макроэкономики, метод оптимального управления, численный метод решения.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть |iK(t) - износ основного капитала за год, g(t)N(t) - годовой доход живого капитала, x(t) =
= В \t)N(t) - Фазовая безразмерная макроэкономическая переменная, x(t) е Сх[0, Т], В - постоянная производственной В(х)-функции (см. [1]):
B(х) = b(1 - e—) + (1 - b)х(1 - e~l!x), (1)
где b - вторая постоянная производственной функции, 0 < b < 1.
Траектория экономической системы описывается уравнением (см. [2])
dx/dt = aB(х) - Хх - pw, (2)
где a, Х, p > 0 - параметры макроэкономической модели; В(х) определяется по формуле (1), w(t) -управление, w е W:
W = {w(t) е С[0, T] : w(t)е [w^ w2]}, (3)
0 < w1 < w2 - постоянные, T - горизонт планирования, T <
Рассмотрим задачу об определении оптимального управления w*(t) е W экономическим процессом (2) в следующем смысле: найти управление w*(t) е W, которое переводит процесс (2) из одного фиксированного состояния х(0) = х1 в другое фиксированное состояние х(Т) = х2 при условии, что интеграл благосостояния
Т
J( w) = Jwa( t) dt (4)
0
принимает наибольшее значение. Здесь а е (0, 1) - эмпирическая постоянная. Математическая постановка задачи имеет вид
Т
а
max
w е W
J wa( t) dt,
dx/dt = aB(х) - Хх - pw, х(0) = х1, х(Т) = х2, (5)
B (х) = b (1- e-) + (1- b)х(1- e~l1x).
Отметим, что в задаче (5) момент времени Т заранее не задан. Введем функцию Гамильтона исследуемой задачи
Н(х, у, а) = Аа + у[аБ(х) - Хх - рА], (6)
гамильтонову систему уравнений
dxldt = аБ(х) - Хх - рА dуIdt = -[аБ'(х) - Х]у,
где у(0 - сопряженная к х(0 переменная, у(0 е Сх[0, Т]. Обозначим через Л(х), Л(у) области возможных значений переменных х(0, у(0 системы (7). Пусть Л(х), Л(у) = Я+ = (0,
Решение задачи (5) получим на основе принципа максимума Понтрягина (см. [3]): если а*(() -оптимальное управление задачи (5), а х*(0, у(0 - соответствующие ему траектории системы (7), то функция Гамильтона (6) должна удовлетворять равенству
Н(х*(0,у(а*(0) = 8ирН(х*(0,у(t), а). (*)
w е W
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Введем постоянные у1 = р_1а Аа -1, у2 = р_1а -1, п = (а/р)1/(1 - а). Справедлива
Теорема 1. Пусть w*(t) е W - оптимальное решение задачи (5), а x*(t), у(t) - соответствующие ему решения гамильтоновой системы (7). Тогда между оптимальным управлением а*((), соответствующими ему оптимальными траекториями фазовой и сопряженной переменных х*(0, у(0 имеет место зависимость
w* (t) =
w2 при у(t) < уj,
пу-1/(1-а)(t) при у1 <у(t)<у2, (8)
wj при у(t) > у2.
Доказательство. Рассмотрим вначале открытое множество W = {w(t) е С[0, Т] : w(t) е а2)} -
внутренность множества W. Известно (см. [3]), что когда область управления является открытым множеством, то рассматриваемая оптимальная задача эквивалентна задаче Лагранжа классического вариационного исчисления. Точка максимума а* е W является стационарной точкой функции Гамильтона дН/дА = 0, откуда получаем
у = р-1 ам *а-1. (9)
В соотношении (9) имеем управление а*(0 е W, у(0 е где ¥ = {у(t) е С1[0, Т] : у(t) е (у1, у2)}.
д2 н
Заметим, что так как а < 1, то —- < 0. Таким образом, при любых фиксированных х е Л(х),
д а „
а*
у е ¥ функция w(t) = пу-1/(1 - а)(t) доставляет максимум функции Гамильтона (6) на множестве функций а(() е W.
Рассмотрим теперь множество = {у(t) е С1[0, Т] : у(t) е (0, у1]}. Пусть у(t) - произвольная точка множества например у(0 = у1 - а^), где a1(t) е С1[0, Т], 0 < a1(t) < у1. Функцию Гамильтона в рассматриваемой точке у е можно записать в форме
Н( х, у, а ) = Аа - руА* + у[ а Б (х) - Хх ] = Аа - р у 1 а + ра1А + у[ а Б (х) - Хх ] =
= ю1(а) + ф1(а) + у[аБ(х) - Хх],
где
! \ С
ю1 (w) = w
1-aiw.'--
w
ф1( w) = pa1 w.
Анализ функции (производных показывает, что имеет максимум при w =
Функция ф1(w) имеет максимум в точке w = w2 при а1(^) > 0 или равна нулю, если а1(^) = 0.
Таким образом, при любых фиксированных х е Я(х), у е функция w(í) = w2 доставляет максимум функции Гамильтона Н(х, у, w) на множестве Ж.
Аналогично, рассмотрев Н(х, у, w) в произвольной точке у(1) е ¥2, где = {у(1) е С1[0, Т] : у(1) е е [у2, например, при у(1) = у2 + а2(1), где а2(1) е С1[0, Т], 0 < а2(1) < получим
H(x, У, w) = wa - py2w - Pa2w + У[aB(x) - Xx] = ю2(w) + Ф2(w) + У[aB(x) - Xx],
где
/ \ a
ю2( w) = w
1-a|WL
w
1 - a-
Ф2 (w) = -pa2 w,
и, проведя анализ функций ю2^), ф2(w), убедимся, что при любых фиксированных х е Я(х), у е функция w(t) = w1 доставляет максимум функции Гамильтона Н(х, у, w) на множестве w(t) е Ж.
Поскольку ¥ и ¥ и = {у(1) е С1[0, Т] : Я(у) = Я+ }, то рассмотрены области Я(х), Я(у) всех возможных значений функций у(1), х(1) и найдено, что максимум функции Гамильтона (6) имеет место при любых фиксированных х е Я(х), у е Я(у) на управлениях
w2, если у( 1) е
w (t) =
1 -a
лу ' "(t), если у(t)е ¥, w1, если у(t) е ¥2.
(10)
Пусть w*(t) - оптимальное управление задачи (5), а x*(t), y(t) - соответствующее ему решение системы (7). Тогда в соответствии с основным равенством принципа максимума Понтрягина (*) соотношение (10) можно записать в виде (8). Теорема доказана.
Замечание 1. Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция w(y) = ny^1/(1 - a) имеет пределы lim w (y) = w2, lim w (y) = w1, т.е. оптимальное управление как функция переменной y есть не-
у ^У1 +
У ^У2-
прерывная функция в точках у1, у2 и, следовательно, на всем множестве Я (у) = Я; .
На фиг. 1 в плоскости (у, w) показан график оптимального управления w*, определяемого зависимостью (8); он состоит из прямой w2, кривой АВ = лу^1/(1 - а)) и прямой w1.
Пусть w(t) - оптимальное управление динамикой макроэкономики, определяемое зависимостями (8) теоремы 1, а х(1), у(1) - соответствующие ему решения системы (7) (звездочки у w и х для простоты опустим) с граничными условиями х(0) = х1, х(Т) = х2.
w
W2
Wx
\ \ V \
\ \ V л
B
1 1 1
У1 У2
Фиг. 1.
У
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ МАКРОЭКОНОМИКИ Введем следующие постоянные модели:
1
У
X
а * 1
Р^1 а '
У 2
Р^2 а ,
= 1 (а)1/(1 - а)
° а Vр01/ '
Со = а
1 - а
п
Тогда краевую задачу, определяющую оптимальные траектории х(0, у(0, можно записать форме
(11)
где
х, у) =
= х, у), ёу/ё = О(х, у), 0 < Г < Т, х (0) = хь х (Т) = Х2,
а (В (х) - ух - у 2), У( t )<у а(В(х) - ух - ау-1/(1-а)), у1 < у(^)<у2,
а(В(х) - ух - у!), у(г) — у2,
О(х, у) = а(у-В'(х))у.
Запишем также следующую систему уравнений, эквивалентную системе (11), в которой в качестве независимой переменной взята сопряженная переменная у, а функциями являются фазовая переменная х и время
ёх / \ , ч
— = Ф(у, х), — = х(у, х),
ё у
где
ф(у, х) =
ёу
В(х) - ух - у21
х- щх) у у<у>'
-1/(1 - а) ,
х) - ух - ау 1 --—-—„, - т--, у, < у < у2,
у - В'(х) у' ^ Т2'
В(х) - ух - у 1 1
х - щх) 1 уу, у — у2,
(12)
Х(у, х) =
п
1
У-В' (х )у-
Проведем предварительный анализ интегральных кривых (оптимальных траекторий х(у)) системы (12) и установим их основные свойства.
Рассмотрим на положительном ортанте ^+(у, х) плоскости сопряженной и фазовой переменной замкнутую область П(у, х) = [ут)п < у < утах, хтп < х < хтах], где отрезок [х^п, хтах] содержит в себе все возможные реальные начальные и конечные состояния х1, х2 экономических систем, а ут!п = у(хтах), утах = у(хт1п) - соответствующие значения сопряженных переменных. Область П (см. фиг. 2) назовем областью реальных состояний и реальных процессов экономических систем при конечном горизонте планирования (Т <
Заметим, что отрезок [ут;п, утах] содержит все граничные значения у, необходимые для решения краевой задачи оптимального управления.
Рассмотрим в области П вертикальные прямые ух, у2. Прямые ух, у2 делят область П на три подобласти. Эти подобласти будем обозначать через ¥2.
В подобласти ¥ есть особая точка (у,, х,), координаты которой определяются уравнениями
У -В'( х,) = 0, у, =
[ В (х,) - у х, ]
1 -а
А'
10
15
у 20
А
Фиг. 2.
Введем в подобласти ¥ кривую у0(х), на которой производная ёх/ёу = 0 (точка (у,, х,) пока не рассматривается). Кривая у0(х) определяется уравнением
уо (х) =
[В(х) - ух]
1 -а
(13)
ёх
Из первого уравнения системы (11) видно, что —
ния стационарных состояний системы.
= 0 на кривой у0(х), поэтому у0(х) - это ли-
уо
Введем окружность с центром в точке (у,, х,) с малым радиусом к, обозначив ее через 0,к (в наших расчетах к = 105). Точка А имеет такую координату утах, что интегральная кривая первого уравнения системы (12), исходящая из точки А (кривая аД касается снизу окружности 0,к а точка В имеет такую координату ут)п, что интегральная кривая, исходящая из точки В (кривая Ь1), касается 0,к сверху.
На фиг. 2 показаны интегральные кривые {а,}, исходящие из промежутка А А = {у0(хт;п) < у < < утах, х = хт)п}, и кривые {Ь,}, исходящие из промежутка ВВ' = {ут;п < у < у0(хтах), х = хтах}, посчитанные на ЭВМ для рассматриваемого примера решением системы (11), эквивалентной системе (12) для начальных данных х, у из А'А, ВВ', методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности.
Рассмотрим области Пь П2 с П, разделенные горизонтальной полосой П шириной 2к; границы полосы касаются круга 0,к (фиг. 2).
Утверждение 1. Интегральные кривые системы (12), исходящие из промежутков А'А, ВВ', образуют два семейства {а^ }, {Ь,2} ({а ^ } расположены в Пь {Ь,2} - в П2). Ни одна кривая се-
мейств {а, }, {Ь,2} не пересекает
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.