ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 417, № 1, с. 23-25
МАТЕМАТИКА
УДК 517.977
оптимальность эйлеровых эластик
© 2007 г. Ю. Л. Сачков
Представлено академиком Р.В. Гамкрелидзе 25.04.2007 г. Поступило 21.06.2007 г.
Рассматривается задача Эйлера о стационарных конфигурациях упругого стержня с фиксированными конечными точками и направлениями стержня на концах. Доказаны существование и ограниченность оптимальных управлений. Получены оценки для точек разреза и сопряженных точек.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В 1744 г. Леонард Эйлер рассмотрел следующую задачу о стационарных конфигурациях упругого стержня [1]. Дан упругий стержень на плоскости, у которого закреплены положения концов, а также углы наклона на концах. Требуется определить возможные профили стержня при заданных граничных условиях. Эйлер получил дифференциальные уравнения для стационарных конфигураций стержня и описал их возможные качественные типы. Эти конфигурации называются эйлеровыми эластиками.
Эйлеровы эластики суть критические точки функционала упругой энергии на пространстве кривых с фиксированными концами и касательными на концах. Вопрос о том, какие из этих критических точек являются точками минимума (локального или глобального), оставался открытым. Данная работа посвящена исследованию этого.
Задача об эластиках формализуется как следующая задача оптимального управления, см. [2]:
д = Х( д) + ыХ2 (д),
д = (х, у, 0) £ М =
^х, у
х S0
(1)
и £
X, = 008 0-т^ + БШ0
дх ду
Х2 = Э0;
(2)
д(0) = до = (Хо, Уо, 00), д(tl) = д, = (х,, у,, 0,), фиксировано;
(3)
\ I'
= 2!и
^ шт;
и(■) £ ¿2[0,], д(■) £ АС[0,].
(4)
(5)
Задача Эйлера есть левоинвариантная задача на группе движений плоскости, поэтому можно считать, что начальная точка есть д0 = (0, 0, 0).
2. МНОЖЕСТВО ДОСТИЖИМОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ
Рассмотрим управляемую систему д = /(д, и). Пусть и = и(0 - допустимое управление, а д0 - некоторая точка пространства состояний. Обозначим через д(Р, и, д0) траекторию системы, соответствующую управлению и(0 и удовлетворяющую начальному условию д(0; и, д0) = д0. Множеством достижимости управляемой системы из точки д0 за время называется множество Ы.д = {д(^; и, д0)| и = и(0 - допустимое управление, I £ [0,
Теорема 1. В задаче (1)-(5) множество достижимости из точки д0 = (0, 0, 0) за время t1 > 0
имеет вид ^до = {(х, у, 0) £ М| х2 + у2 < ^ или (х, у, 0) = 0,0)}.
Теорема 2. Пусть д1 £ (t1). Тогда существует оптимальное управление для задачи (1)-(5). Более того, это оптимальное управление существенно ограничено.
3. ЭКСТРЕМАЛИ
Введем линейные на слоях кокасательного расслоения Т*Мгамильтонианы И,(А) = (А, X), А £ Т*М, соответствующие полям Х1, Х2 (см. (2)), а также семейство гамильтонианов
Институт программных систем Российской Академии наук, Переславль-Залесский Ярославской обл.
^(А) = (А, X, + иХ2) + V- и2 = А,(А) + иЪ2 (А) + V и2,
А £ Т * М, и £
V £
0
24
САЧКОВ
Обозначим через hi гамильтоново векторное поле на T*M, соответствующее функции Гамильтона hi.
Применим принцип максимума Понтрягина в инвариантной форме [3] к задаче Эйлера. Пусть u(t) и q(t), t е [0, tj, суть оптимальное управление и соответствующая оптимальная траектория в задаче (1)-(5). Тогда существует липшицева кривая Xt е T*M, n(kt) = q(t), а также число v < 0, для которых при почти всех t е [0, t1] выполнены условия •
Xt = hi(Xt) + u (t) h2 (Xt), hl(t)(K) = maxhvu(Xt), (v, Xt) Ф 0.
u е R
В анормальном случае (u = 0) экстремальные траектории имеют вид 0 = 0, x = t, y = 0, т.е. в качестве эластик получаем прямые. Прямолинейные отрезки дают решение задачи Эйлера при соответствующих граничных условиях (на концах стержня приложены нулевые силы).
В нормальном случае (v = -1) экстремали суть траектории гамильтоновой системы с максимизированным гамильтонианом H = h1 + 1 h\:
h\ = -h2h3, h,2 = h3, h3 = hA h2, (6)
q = Xx+ h2X2. (7)
В координатах (ß, c, r) в слое T* M кокасательно-го расслоения, заданных формулами h1 = -r cos ß, h3 = -r sin ß, h2 = c, вертикальная подсистема (6) принимает вид уравнения маятника
ß = c, С = -r sin ß, Г = 0. (8)
Эйлеровы эластики параметризуются функциями Якоби [4]. В зависимости от величины пол-
2
ной энергии маятника E = -j - rcos ß е [-r,
эластики имеют разные качественные типы, открытые Эйлером. При E е (-r, r), r Ф 0, эластики имеют точки перегиба и называются инфлекси-онными; при E е (r, r Ф 0, эластики не имеют точек перегиба и называются неинфлексионны-ми; в критическом случае E = r Ф 0 эластика либо имеет одну петлю, либо является отрезком; в случае E = -r Ф 0 эластика есть отрезок; наконец при r = 0 эластика есть отрезок или дуга окружности. Некоторые характерные формы эластик приведены в работе [5].
4. ТОЧКИ МАКСВЕЛЛА
Рассмотрим задачу оптимального управления вида
q = f( q, u), q e M, u e U, (9)
q(0) = q0, q(tx) = q1, tx фиксировано, (10)
h
Jt^[u] = |ф(q(t), u(t))dt ^ min, (11)
0
где M и U суть конечномерные аналитические многообразия, а f (q, u), и 9(q, u) - соответственно аналитическое векторное поле и аналитическая функция, зависящие от управляющего параметра u. Введем нормальный гамильтониан принципа максимума Понтрягина для данной задачи: hu(X) = = (X, f(q, u)> - 9(q, u), X e T*M, q = n(X) e M, u e U. Предположим, что все нормальные экстремали в задаче (9)-(11) удовлетворяют усиленному условию Лежандра [3]. Пусть максимизированный гамильтониан H(X) = max hu (X) является аналитиче-
u e U
ской функцией. Будем считать, что соответствующее гамильтоново векторное поле H полное. Обозначим нормальные экстремальные траектории, соответствующие ковекторам X, к e T* M, как q(s), q (s), а соответствующие экстремальные управления как u(s), u (s).
Множество Максвелла за время t в прообразе экспоненциального отображения N = T* M определяется следующим образом:
MAXt = {Xe N| Эк e N: q(s) Ф q(s),
s e [0, t], q(t) = q(t), Jt[u] = Jt[u]}.
Точка q(t) называется точкой Максвелла траектории q(s), s e [0, tj, а момент t - временем Максвелла.
Предложение 1. Если нормальная экстремальная траектория q(s), s e [0, tj, содержит точку Максвелла q(t), t e (0, tj), то траектория q(s) неоптимальна в задаче (9)—(11).
В задачах с большой группой симметрий множество Максвелла часто можно отыскать с помощью исследования неподвижных точек группы симметрий, см., например, работы [6-10].
Время разреза tcut для траектории q(s) определяется следующим образом:
tcut = sup{tx > 0| q(s) оптимальна на отрезке [0, tj}.
Для нормальных экстремальных траекторий q(s) время разреза есть функция начального ковекто-ра X:
tcut: N = T*M 0, + ~], t = tcut (X).
ОПТИМАЛЬНОСТЬ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛАСТИК
25
Малые дуги регулярных экстремальных траекторий оптимальны, поэтому ^и1(А) > 0 для любых А £ N. Кроме того, некоторые экстремальные траектории могут быть оптимальны на сколь угодно большом промежутке [0, t1], t1 £ (0, в этом случае ^ =
Согласно предложению 1, нормальная экстремальная траектория дне может быть оптимальной после точки Максвелла. Используя это соотношение, можно получить следующую оценку сверху для времени разреза в терминах периода Т(А) колебаний маятника (8).
Теорема 3. В задаче Эйлера об эластиках справедлива оценка
tout(А) < Т(А), А £ N.
5. СОПРЯЖЕННЫЕ ТОЧКИ
Экстремальные траектории теряют локальную оптимальность в первой сопряженной точке,
см. [3]. Обозначим через (А) первое сопряженное время на нормальной экстремальной траектории д(^), соответствующей начальному ковек-тору А £ N.
В задаче Эйлера об эластиках сопряженные точки оцениваются следующим образом.
Теорема 4. (1) На любой инфлексионной эластике имеется бесконечное число изолированных сопряженных точек. Первое сопряженное время (А) допускает следующую оценку с помощью периода колебания маятника Т(А):
^conj ^
T 3T 2' 2
Первая сопряженная точка содержится между первой и третьей точками перегиба на эластике.
(2) На остальных эластиках сопряженных точек нет.
Автор выражает благодарность A.A. Аграчеву за постановку задачи и ее полезные обсуждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 05-01-00703-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Прил. I. Об упругих кривых. М.; Л.: ГТТИ, 1934. С. 447-572.
2. Jurdjevic V. Geometric Control Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997.
3. Аграчев A.A., Сачков ЮЛ. Геометрическая теория управления, М.: Физматлит, 2005.
4. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, М.: УРСС, 2002.
5. Сачков ЮЛ. // Мат. сб. 2003. Т. 194. № 9. С. 63-90.
6. Agrachev A., Bonnard B, Chyba M, Kupka I. // J. ES-AIM. Contr., Optim. and Calculus of Variat. 1997. V. 2. P. 377-448.
7. Myasnichenko O. // J. Dyn. Control Syst. 2002. V. 8. № 4. P. 573-597.
8. Сачков ЮЛ. // Мат. сб. 2006. Т. 197. № 2. С. 95-116.
9. Сачков ЮЛ. // Мат. сб. 2006. Т. 197. № 4. С. 123150.
10. Сачков ЮЛ. // Мат. сб. 2006. Т. 197. № 6. С. 111160.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.