ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2007, том 43, № 3, с. 85-101
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ^^^^^^^^ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
ОПТИМАЛЬНЫЕ ИЕРАРХИИ УПРАВЛЕНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ*
© 2007 г. С. П. Мишин
(Москва)
Исследуется математическая модель оптимизации иерархии управления, где функция затрат задана на множестве иерархий, включающем не только деревья, но и более сложные структуры с множественным подчинением. Решается задача об оптимальной иерархии для различных классов функции затрат, рассматриваются примеры функций затрат для нескольких видов взаимодействия начальников и подчиненных в иерархии.
1. ВВЕДЕНИЕ
Любая экономическая система состоит из множества организованных некоторым образом агентов (сотрудников)1. Благодаря организации сотрудники действуют на основе определенных процедур и правил (механизмов), что позволяет достичь цели системы. Сотрудники организации специализированы, что повышает их эффективность по сравнению с множеством одиночных (неорганизованных) агентов. Однако взаимодействие сотрудников с различной специализацией должно быть скоординировано для достижения общей цели системы. Это фундаментальная проблема любой организации, поскольку координация требует усилий, направленных на планирование совместной работы, контроль ее результатов, согласование целей отдельных сотрудников и т.д. Для реализации управленческих функций в организации создается иерархия2. Иерархия способна повысить эффективность взаимодействия сотрудников, например, с помощью планирования и контроля материальных, информационных и других потоков. Но на реализацию управленческих функций необходимы средства. В современных экономических системах доля менеджеров, выполняющих только управленческие функции, достигает 40% (Radner, 1992). Поэтому одним из ключевых факторов эффективности экономической системы является оптимальность иерархии.
Построение иерархии - это один из аспектов создания экономической системы. В современной литературе по менеджменту процесс построения (или реорганизации) экономической системы делится на три фазы3 (Mintzberg, 1979; Williamson, 1975).
1. Разработка технологии (состав исполнителей, их функции и порядок взаимодействия).
2. Разработка иерархии (органиграммы) (число менеджеров и состав сотрудников, которыми управляет каждый менеджер).
3. Разработка механизмов управления (полномочия начальников по отношению к их подчиненным)4.
Разработка технологии обычно выполняется экспертом в соответствующей предметной области. Имеется большое число математических моделей механизмов управления. Детально изучены механизмы управления в двухуровневой иерархии (проблема "центр-агент" (Бурков, Новиков, 1999; Hart, Holmstrom, 1987; Grossman, Hart, 1982, 1983)). Однако механизмы управления в многоуровневых иерархиях исследованы лишь для частных случаев (например, в (Melumad, Mookherjee, Reichelstein, 1995) исследован механизм делегирования полномочий в трехуровневой иерархии).
*Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия отечественной науке (грант Президента РФ МК-8928.2006.1).
хНиже термины "организация" и "экономическая система" используются как синонимы.
2Сотрудники на более высоких уровнях иерархии обладают большими правами, чем сотрудники нижних уровней.
Это позволяет системе достичь цели даже в случае конфликтов.
3В идеале необходимо рассматривать все три фазы совместно. Однако это крайне сложная задача. Для ее упрощения
фазы рассматриваются по отдельности.
4Например, права и обязанности каждого сотрудника.
В теории иерархических игр (Кукушкин, Морозов, 1984; Гермейер, 1976; Гермейер, Ерешко, 1974; Ватель, Ерешко, 1973; Гермейер, Ватель, Ерешко, Кононенко 1973; и др.) исследован результат взаимодействия игроков (агентов) при различном порядке выбора агентами своих действий (при различной иерархии ходов). В (Богданов 2002, 2004; Михайлов, 1999, 2003; Цвиркун, 1982; Овсиевич, 1979) детально исследовано взаимодействие двух агентов и некоторые иерархии в многоагентных системах. Однако исследование всего множества иерархий взаимодействия крайне затруднено, поскольку требует отдельного исследования игры для каждой иерархии (Новиков, 1999, 2003).
В данной работе рассматривается вторая фаза построения иерархии - проблема выбора оптимальной иерархии из широкого множества многоуровневых иерархий. Решению этой проблемы посвящено сравнительно небольшое количество работ. Впервые математическая модель иерархической организации описана в (Simon, 1957). Модель основана на следующих предположениях.
1. Все функции организации, за исключением управленческих, выполняют рядовые исполнители, находящиеся на первом (низшем) уровне иерархии. На более высоких уровнях находятся менеджеры, выполняющие только управленческие функции.
2. У каждого сотрудника только один непосредственный начальник, расположенный на следующем уровне, т.е. иерархия представляет собой дерево, в котором возможны только взаимодействия сотрудников соседних уровней.
3. Норма управляемости (число непосредственных подчиненных менеджера) и ставка заработной платы одинаковы на одном уровне (сотрудники одного уровня однородны).
4. Норма управляемости одинакова на различных уровнях.
5. Ставка заработной платы следующего уровня равна ставке предыдущего, умноженной на одну и ту же константу, не зависящую от уровня и вида иерархии (задана извне).
На основе этой модели в (Williamson, 1967) определены ограничения на размер организации, вызванные потерей контроля из-за снижения эффективности работы сотрудника от уровня к уровню. При этом константа снижения эффективности считается заданной извне и не зависящей от параметров модели. В работе (Calvo, Wellisz, 1978) снижение эффективности сотрудника связано со степенью его контроля непосредственным начальником. Чем больше у начальника непосредственных подчиненных, тем меньше вероятность того, что подчиненный будет проконтролирован, и ниже его эффективность. С помощью этого предположения в (Calvo, Wellisz, 1979) построена модель максимизации прибыли - разности дохода организации (произведение числа исполнителей на их эффективность) и затрат на заработную плату сотрудников. В модели возможны различные нормы управляемости и ставки заработной платы на разных уровнях (жесткие ограничения 4 и 5 не предполагаются выполненными). В рамках этой модели доказан ряд важных закономерностей (Calvo, Wellisz, 1979). Например, в оптимальной иерархии с ростом уровня растет эффективность сотрудника, растет ставка заработной платы на единицу эффективности.
В работе (Keren, Levhari, 1983) оптимизировано время принятия решения иерархией5 (задержка на каждом уровне равна норме управляемости плюс константа). После оптимизации вычислялись средние затраты на одного сотрудника и обосновывались пределы роста. Этот подход развит в (Van Zandt, 1996; Bolton, Dewatripont, 1994; Radner, 1993).
Модель, предложенная в (Calvo, Wellisz, 1979), исследована в работе (Qian, 1994) с помощью аппарата оптимального управления. Число сотрудников на каждом уровне предполагается континуальным, что позволяет упростить дискретную задачу, заменив ее непрерывной6. Если требуется чтобы исполнители работали с максимальной эффективностью, то в модели заработная плата сотрудника зависит только от нормы управляемости его непосредственного начальника. Для максимизации прибыли остается минимизировать сумму затрат на заработную плату, поскольку эффективность сотрудников максимальна. Для этой задачи в работе (Qian, 1994) найдена оптимальная иерархия.
Как и в (Qian, 1994), в настоящей работе решается задача об оптимальной иерархии, которая минимизирует сумму затрат на заработную плату сотрудников. Однако в отличие от вышеуказанной модели здесь будет рассмотрена функция заработной платы, зависящая не только от нор-
5 Впервые модель менеджеров иерархии, вычисляющих некоторое "решение" (управляющее воздействие), предложена в (Marschak, Radner, 1972).
6 Подобный метод впервые предложен в (Keren, Levhari, 1979). Допустимость замены дискретной задачи непрерывной исследуется в (Van Zandt, 1995).
мы управляемости, но и от состава тех исполнителей, которыми управляют непосредственные подчиненные менеджера, т.е. от специфики и сложности решаемых управленческих задач (такая функция названа в работе "секционной"). Таким образом, сотрудники не предполагаются однородными.
Кроме того, будем рассматривать недревовидные иерархии и возможность взаимодействия
между любыми уровнями . Поэтому в отличие от всех указанных выше работ в настоящей работе не требуется выполнения предположений 2 и 3 (требуется лишь выполнение базового предположения 1). В связи с этим задача становится значительно более сложной. Для ее решения сделаем дополнительное допущение: любая иерархия обеспечивает максимальную эффективность работы сотрудников, т.е. для оптимизации достаточно найти иерархию с минимальными затратами. Таким образом, не рассматриваются механизмы управления (фаза 3), а считается известной (заданной извне) функция затрат сотрудника и предполагается, что для максимально эффективного выполнения им своих обязанностей достаточно обеспечить заработную плату, равную затратам. В частности, в работе не анализируется "качество" управленческой деятельности менеджеров. Оптимальная иерархия зависит не от персональных качеств менеджеров, а от специфики деятельности управляемых исполнителей, которая определяет функцию затрат (издержек управления). В разд. 4 приведены примеры, обосновывающие вид функции издержек для различных видов взаимодействия сотрудников иерархии.
Секционные функции позволяют моделировать ряд важных эффектов, имеющих место на практике в реальных организациях. В частности, с помощью примера секционной функции исследована оптимальность дивизиональных, функциональных и матричных иерархий9 и доказаны многие закономерности, которые неформально обосновываются в литературе по менеджменту, исходя из эмпирических наблюдений10. Таким образом, предложенная модель позволяет формально объяснить ряд практических эффектов. Класс секционных функций интересен и с математической точки зрения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.