Автоматика и телемеханика, № 11, 2014
Робастные и адаптивные системы
© 2014 г. М.М. КОГАН, д-р физ.-мат. наук (mkogan@nngasu.ru) (Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет)
ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНИВАНИЕ И ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ КОВАРИАЦИЯХ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ 1
Рассматриваются общие схемы линейного оценивания и фильтрации в предположении, что ковариационная матрица случайных факторов -неизвестных параметров, ошибок измерений, начального и внешнего возмущений - неизвестна. Вводится новый критерий качества оценки или фильтра - уровень гашения случайных возмущений, определяемый максимальным значением по всем ковариационным матрицам среднеквадратичной ошибки, нормированной суммой дисперсий всех случайных факторов. Показано, что уровень гашения случайных возмущений равен квадрату спектральной нормы матрицы, связывающей ошибку оценки и случайные факторы, и получена оптимальная оценка, минимизирующая этот критерий. В задаче фильтрации показано, как параметры оптимального по уровню гашения случайных возмущений фильтра выражаются в терминах линейных матричных неравенств.
1. Введение
Рассматривается классическая задача оценивания неизвестных параметров по зашумленным измерениям, когда ошибки измерений моделируются случайным вектором с нулевым математическим ожиданием, а вектор неизвестных параметров представляется случайным вектором с нулевым математическим ожиданием или считается детерминированным. Если ковариационные матрицы вектора неизвестных параметров и вектора ошибок измерений известны, то известен вид линейной несмещенной оптимальной оценки, для которой среднеквадратичная ошибка - сумма дисперсий ошибок оценок всех параметров - принимает минимальное значение. Теорема Гаусса - Маркова определяет вид оптимальной оценки в случае, когда неизвестные параметры считаются детерминированными (см., например, [1]). Вместе с тем так как помеха в измерениях отдельно не наблюдается, то знание ковариационной матрицы ошибок измерений предполагает непростой предварительный процесс статистической обработки результатов экспериментов, а знание ковариационной матрицы вектора неизвестных параметров основано, как пра-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№ 13-01-00603, 14-01-00266). Статья подготовлена в рамках выполнения НИР 3021 "Управление механическими системами в условиях неопределенности" с финансированием из средств Минобрнауки России в рамках базовой части государственного задания на научные исследования.
вило, на эвристических соображениях и часто весьма условно. В такой ситуации кажется естественным применить минимаксный подход, где максимизация осуществляется по ковариационным матрицам случайных факторов из множества неопределенности, а минимизация - по оценкам из определенного класса.
Среди огромного многообразия минимаксных постановок задач оценивания и фильтрации (см., например, [2, 3]) остановимся в кратком обзоре на тех, в которых ковариации случайных факторов неизвестны. Решению задачи нахождения верхней границы среднеквадратичной ошибки в задачах оценивания и фильтрации и минимизации этой верхней границы для систем с неопределенными параметрами в ковариационных матрицах помех измерений были посвящены работы [4-7]. В [8] было показано, что если ковариационная матрица принадлежит выпуклому и компактному подмножеству множества положительно определенных матриц и это подмножество содержит максимальный элемент, то минимаксный фильтр совпадает с фильтром Калмана для этого максимального элемента. В [9] был предложен робаст-ный фильтр, параметры которого находятся из условия минимизации регуля-ризованной среднеквадратичной ошибки. Задачи оценивания и фильтрации при неизвестной ковариационной матрице помех измерений, принадлежащей выпуклой оболочке заданных ковариационных матриц, были представлены в [10] как задачи выпуклой оптимизации.
В данной статье (см. также [11]) предпринимается попытка отказаться от этих достаточно жестких требований и перейти к поиску оценки, которая будет гарантировать определенное качество оценивания для любых ковариационных матриц случайных факторов или с учетом некоторой априорной информации о них - для всех ковариационных матриц, принадлежащих заданному многограннику. С этой целью вводится понятие уровня гашения случайных возмущений, характеризующего для данной оценки максимальное значение отношения ее среднеквадратичной ошибки к сумме дисперсий всех случайных факторов. В некотором смысле этот показатель напоминает обобщенную ^^-норму, применяемую в [12-14] для синтеза регуляторов и фильтров с целью минимизации совместного влияния неизвестного начального состояния и детерминированного внешнего возмущения на ошибку управления или фильтрации. В работе установлено, что уровень гашения случайных возмущений оказывается конечным и равен квадрату спектральной нормы матрицы, связывающей ошибку оценки и случайные факторы. Найдена оптимальная оценка и показано, что оценка, для которой уровень гашения случайных возмущений не превышает заданного значения 7, может быть выражена в терминах линейных матричных неравенств [15, 16]. В дальнейшем будем называть эти оценки минимаксной и 7-минимаксной соответственно. Показано, что нахождение наихудшей с точки зрения величины уровня гашения случайных возмущений ковариационной матрицы также может быть осуществлено с помощью линейных матричных неравенств. В задаче гауссовско-марковского оценивания, когда неизвестные параметры предполагаются детерминированными, минимаксная оценка оказывается совпадающей с оценкой метода наименьших квадратов.
Рассматриваемый подход к решению задачи оценивания при неизвестных ковариационных матрицах можно трактовать как поиск минимаксной стратегии в игре между "наблюдателем" и "природой", в которой природа задает ковариационную матрицу случайных факторов, а наблюдатель выбирает матрицу параметров линейной оценки так, чтобы обеспечить выполнение соответствующей цели.
В качестве "побочного продукта" статьи стоит отметить нахождение параметров оптимальной оценки при известной ковариационной матрице случайных факторов с помощью стандартной процедуры оптимизации линейной функции при ограничениях, заданных линейными матричными неравенствами. Помимо преимуществ с вычислительной точки зрения это позволяет решить обратную задачу оптимального оценивания - найти ковариационную матрицу случайных факторов, для которой данная оценка будет оптимальной. Кроме того, при наличии априорной информации о принадлежности ковариационных матриц выпуклой оболочке некоторых заданных ковариационных матриц появляется возможность получить оптимальную робастную оценку с гарантированной среднеквадратичной ошибкой.
Далее изложенный подход применяется к задаче фильтрации для линейного дискретного объекта [17]. Показано, как параметры фильтра Калмана для нестационарного объекта и фильтра Винера - Колмогорова для стационарного объекта выражаются с помощью линейных матричных неравенств. В предположении, что неизвестные ковариационные матрицы случайных возмущений принадлежат заданным выпуклым многогранникам, выведены уравнения оптимальных робастных фильтров (близкий результат был получен в [10]). В общем случае, когда ковариационные матрицы полностью неизвестны, получены уравнения минимаксных в указанном смысле фильтров.
Введем следующие обозначения: |-| - евклидова норма вектора, {•} -след матрицы, Лтах(•) и Атт(-) - максимальное (спектральный радиус) и минимальное собственные значения матрицы, || • У = атах(•) - спектральная норма матрицы, равная ее максимальному сингулярному числу, * ставится вместо соответствующего симметричного блока матрицы.
2. Оптимальная и робастная оценки в терминах линейных матричных неравенств
Пусть ( € Кп< и г € КПг - два случайных вектора, связанные соотношением
(2.1) г = Ф( + П,
где Ф - заданная (пг х и£)-матрица, п € ВПг - случайный вектор. Предполагается, что векторы ( и п имеют нулевые математические ожидания и заданы соответствующие ковариационные матрицы, т.е.
Е( = 0, Еп = 0, Е((Т = Кс, ЕппТ = Кп, Е(пТ = К^.
Вводя ковариационную матрицу случайных факторов и записывая ошибку линейной несмещенной оценки ( = Сг в виде
с - ( = а - сф - о( ^ К = (К к
выразим ковариационную матрицу ошибки оценки в виде
(2.2) К^ = Е(( - Сг)(( - Сг)т = (I - СФ - С)К(I - СФ - С)т.
Тогда матрица параметров оптимальной оценки, обеспечивающей минимум среднеквадратичной ошибки - следа этой матрицы, находится из условия равенства нулю градиента скалярной функции матричного аргумента
ЧоЕ\( - (\2 = ^ {К(I - СФ - С)т(I - СФ - С)} = = -2(1 0)К (Ф 1)т + 2С(Ф 1)К (Ф 1)т = 0
и имеет вид
(2.3) С* = (I 0)К (Ф I )т[(Ф 1)К (Ф 1)т]-1
в предположении, что обращаемая матрица невырождена. Ковариационная матрица оптимальной оценки определяется выражением
(2.4) К ^ = ^ 0){К - К(Ф I)т[(Ф I)К(Ф Г)т]-1 (Ф I)К}(I 0)т
В наиболее часто встречающемся частном случае, когда векторы ( и п не коррелированы, оптимальная оценка в предположении о невырожденности матриц К и Кп принимает вид
(2.5) С* = Кс Фт(ФКс Фт + Кп )-1 = (ФтК-1Ф + К-1)-1ФтК-1, а ее ковариационная матрица равна
(2.6) К ^ = Кс - КсФТ(ФКСФт + Кп)-1ФКс = (ФтК-1Ф + К-1)-1.
Если хотя бы одна из матриц К^ или К^ вырождена, оптимальные оценки и их ковариационные матрицы могут быть выражены в терминах псевдообратных матриц [18].
Покажем теперь, как оптимальную оценку (2.3) можно характеризовать в терминах линейных матричных неравенств, причем единым образом, независимо от того, вырождены или нет ковариационные матрицы. Ясно, что для оптимальной оценки условие Е- Сг\2 ^ /2 выполняется при наименьшем возможном ц2. С учетом (2.2) это приводит к неравенству
(2.7) ^ {К(I - СФ - С)т(I - СФ - С)} < /а.2. Вводя матрицу Ш, удовлетворяющую условию
(I - СФ - С)т (I - СФ - С) < Ш,
и преобразуя это неравенство с учетом леммы Шура, приходим к следующему.
Теорема 2.1. Оптимальная линейная оценка (* = G*z находится как
решение задачи minß2 = E\Z — Z*\2 - минимизации ß2 при ограничениях, (2.8)
определяемых линейными матричными нераве
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.