Автоматика и телемеханика, № 4, 2015
Стохастические системы, системы массового обслуживания
© 2015 г. Е.Г. ЖИЛЯКОВ, д-р техн. наук (zhilyakov@bsu.edu.ru)
/тч __«-» «-» _______О ________«-» \
(Белгородский государственный национальный исследовательским университет)
ОПТИМАЛЬНЫЕ СУБПОЛОСНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СИГНАЛОВ КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ1
Показано, что попадающая в заданный частотный интервал доля энергии сигнала конечной длительности может служить основой для построения оптимальных методов их анализа и синтеза. Получены соотношения, определяющие эти доли энергий непосредственно в пространстве сигналов и позволяющие формулировать вариационные условия их оптимальной обработки. Сформулированы и решены задачи оптимального выделения аддитивных компонент сигналов (фильтрации) и синтеза сигналов, обладающих максимальной/минимальной концентрацией энергии в заданном наборе частотных интервалов.
1. Введение
Понятие сигнала как функции некоторого аргумента (чаще всего времени) широко используется в кибернетике при управлении различными процессами, передаче информации, обработке локационной информации и т.д. Можно выделить два основных аспекта их обработки: анализ сигналов с целью выделения некоторых особенностей существенных с точки зрения решаемой прикладной задачи и синтез сигналов исходя из некоторых критериев оптимальности функционирования технических систем, например при воздействиях на объекты управления, при передаче и обработке информации в радиотехнике и связи, при проведении испытаний в измерительных системах различного назначения и т.п.
В основе процедур обработки сигналов используются различные модели, среди которых широкое применение получили частотные представления [1, 2], позволяющие с помощью трансформант Фурье описать распределение энергии в области частот, что часто используется при решении перечисленных задач, так как имеет важный физический смысл. Например, высокая концентрация энергии в некотором частотном интервале, как правило, свидетельствует о наличии в сигнале квазипериодических компонент, а при синтезе сигналов уровень достигаемой концентрации часто используется в качестве
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки в рамках Госзадания НИУ БелГУ (код проекта 358) и ФЦП "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России в 2014-2020 годах" (проект № 14.575.21.0020).
критерия оптимальности, особенно в радиотехнике и связи (узкополосные и широкополосные сигналы).
Таким образом, при обработке сигналов целесообразно действовать с позиций некоторого разбиения оси частот на совокупность частотных интервалов (полос), часть из которых имеет ограниченный размер. В литературе по обработке сигналов и изображений за такими методами закрепился термин "субполосные" [3-5].
Можно указать широкий круг прикладных задач обработки сигналов, когда субполосные представления являются адекватными. Именно эти обстоятельства привели к достаточно интенсивным исследованиям проблемы субполосного моделирования, в результате которых разработаны и продолжают разрабатываться методы субполосного анализа/синтеза, отвечающие тем или иным представлениям о качестве решаемых задач обработки сигналов.
В настоящее время важнейшими инструментами субполосного анализа являются различные модификации дискретного преобразования Фурье (ДПФ), допускающие реализацию с помощью быстрых алгоритмов, и КИХ-фильт-рация, которая также лежит в основе набравших в последние годы популярность методов вейвлет-анализа [6], о чем свидетельствует включение в библиотеки математических пакетов прикладных программ соответствующих программных модулей [7].
Не вдаваясь в подробности, отметим, что реализуемые в настоящее время методы субполосной обработки сигналов далеко не всегда являются оптимальными с точки зрения критериев, отражающих содержательный смысл решаемых задач. Например, наиболее часто импульсные характеристики фильтров рассчитываются исходя из критериев точности аппроксимации прямоугольных частотных характеристик. Вместе с тем более естественным представляется критерий точности аппроксимации отрезков трансформант Фурье исходного сигнала в заданных частотных интервалах.
В свою очередь ДПФ, по существу, представляет собой коэффициенты разложения по ортогональной системе базисных векторов, физический смысл которых, вообще говоря, не вполне ясен. Такой же вывод справедлив и для коэффициентов разложений при реализации вейвлет-анализа [6, 7],
В данной статье получен ряд результатов в построении оптимальных методов субполосного анализа и синтеза сигналов конечной длительности на основе энергетических критериев, служащих мерами погрешностей обработки. При этом для достижения теоретической общности сначала рассматриваются непрерывные сигналы.
2. Оптимальный метод анализа распределения энергий сигналов по частотным интервалам
Пусть х(£), £ € [0,Т], - непрерывный сигнал с ограниченной энергией
т
(2.1)
о
так что существует трансформанта Фурье
т
(2.2) Х{ш) = !] =
о
и справедливо равенство Парсеваля [7], которое с точки зрения субполосных анализа/синтеза целесообразно представить в виде
(2.3) ||ж||2 = IX(ш)|2йш/2п = ^Бг(ж),
-¿> г=0
где Бг (ж) - части энергии
(2.4) Бг (ж) = J |Х(ш)|2^/2п,
Пг
попадающие в частотные интервалы вида
(2.5) Пг = [-П2г, - П1г) и [П1г, П2г).
Отметим, что разбиение частотной оси может быть произвольным, но должны выполняться условия для границ интервалов:
(2.6) ^2т = П1,г+1; г ^ 0; Пю = 0. Представляется естественным считать доли энергий
(2.7) Рг (ж) = Бг (ж)/||ж||2
основной субполосной энергетической характеристикой сигнала. Далее будет показана возможность ее использования для построения оптимальных методов анализа и синтеза сигналов.
Для этого прежде всего необходимо получить представление интегралов (2.4) в виде явной зависимости от обрабатываемых сигналов как функций времени, в том числе искомых. Именно тогда обеспечивается возможность формулирования оптимизационных вариационных условий.
Искомое представление получается при подстановке в (2.4) определения (2.2) и несложных преобразований
т т
(2.8) Бг (ж) = У J Аг (¿1 - ¿2)ж(^)ж (¿2)ЙМ^2,
о о
где Аг (¿) - субполосное ядро вида
(2.9) Аг(*) = J ехр(-#и)^/2п = 2еов(шгЬ) вт(Дг¿/2)/п£.
ш€Пг
Здесь и в дальнейшем
(2.10) шт = (О2т + О1т)/2; Дт = О2т - О1т•
Легко понять, что использование соотношения (2.8) позволяет, не прибегая к вычислениям оценок трансформант Фурье, с применением квадратурных формул сколь угодно точно вычислить интегралы вида (2.4). Представляет интерес обобщение этого результата на некоторую совокупность Я частотных интервалов
(2.11)
в которую попадает суммарная часть энергии сигнала
(2.12) Бя(Х) = ^2 (х).
теК
Нетрудно понять, что в этом случае соотношение (2.8) обобщается и принимает вид
т т
(2.13) Бя(Х) = У У Лп(г 1 - ¿2)х(^)х^2)йМ^2,
0 0
где
(2.14) Лк(-) = £ Аг (■),
теК
где скобках используются одинаковые аргументы.
Очевидно, что соотношения (2.8) и (2.13) определяют оптимальный в смысле точности метод решения задачи вычисления долей энергий сигнала, попадающих в заданные частотные интервалы либо в их не обязательно сплошную совокупность.
3. Субполосная оптимизация сигналов
Отметим, что субполосное ядро (2.9) является обобщением ядра вида
(3.1) Аг о(£)=8т(Дг ¿/2)/п£,
рассматриваемого в работах по собственным функциям преобразования Фурье (см. например, [1, 2]). Однако в данной статье это обобщение получено исходя из определений (2.4) (или (2.12)) и (2.2), что позволяет использовать его свойства не только для построения полных в смысле пространства Ь2 базисов, но и решать иные задачи.
тек
Прежде всего отметим, что непосредственно из определения (2.4) и представления (2.8) следует положительная определенность ядра (2.9). Кроме того, оно удовлетворяет условиям [8] разложения в равномерно сходящийся ряд
го
(3.2) Ат (¿1 - *2) = > Л к дк (¿1 )дк (¿2),
к=1
где Лк и дк (¿) - соответственно собственные числа и функции ядра (интегрального оператора), так что выполняются условия:
т
(3.3) Лкдк(*!) = / Ат(¿1 - ¿2)дк(¿2)^2;
0
т
(3.4) (дк ,дТ ) = | дк (¿)дГ = ¿гк,
0
где ¿гк - символ Кронекера,
(3.5) Лк > 0.
Без нарушения общности в дальнейшем предполагается упорядоченность собственных чисел по убыванию
(3.6) Лк > Лк+1.
Очевидно, что условия для существования трансформант Фурье собственных функций
т
Ск(г) = ^ дк(¿)ехр(-^)^
0
выполнены, при этом в соответствии со свойством ортонормальности (3.4) из равенства Парсеваля следует справедливость соотношений
го
чт / „,\ 12
|Ск (г)|2 Жг/2п = 1.
Поэтому с учетом представления (2.9) непосредственно из определения (3.3) получаем важное неравенство
(3.7) Лк = / |СкН|2^/2п < 1.
г
Таким образом, собственные числа численно равны попадающим в частотный интервал долям энергий соответствующих собственных функций и не
— го
превосходят единицы, хотя могут быть близкими к ней, что важно с точки зрения достижения наивысшей частотной концентрации энергии. Полагая
т
(3.8) агк = (дгк ,х) = J дк ^^(М
о
в результате подстановки представления (3.2) в соотношение (2.8), нетрудно привести (2.8) к виду
те
(3.9) (х) = Е ЛкК)2,
к=1
причем для любого сигнала с ограниченной энергией справедливо представление
те
(3.10) х(*) = £ акдк(¿).
к=1
Полагая в (3.2) ¿1 = ¿2 = t и интегрируя по времени с учетом определения (2.9), получаем равенство для суммы собственных чисел
(3.11) ¿Лк = 2ТД
к=1
из которого следует, что только их малая доля будет отлична от нуля. Поэтому в соотношении (3.9) можно оставить конечное число слагаемых
(3.12) (х) = £ Лк К )2,
к=1
причем, как показывают вычислительные эксперименты, можно положить
(3.13) .1г = 2[Т Дг/2п] + 4,
так как с высокой степенью точности выполняются равенства
(3.14) Лк = 0, к>З.
Легко понять, что все рассмотренные свойства субполосных ядер, включая (3.7) и представление (3.12), справедливы и для обобщения, определяемого соотношениями (2.12), (2.13) и (2.14), то есть
1в.
г
(3.15) Зд(х) = £ Л%(а*)
к=1
г
причем количес
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.