ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 4, с. 13-23
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 531.1
ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ЗАДАЧЕ О БРАХИСТОХРОНЕ С РАЗГОНЯЮЩЕЙ СИЛОЙ*
© 2015 г. А. С. Вондрухов, Ю. Ф. Голубев
Москва, МГУ, ИПМ им. М.В. Келдыша РАН Поступила в редакцию 18.12.14 г., после доработки 26.01.15 г.
Изучено двухпараметрическое семейство оптимальных кривых в задаче о брахистохроне при действии разгоняющей силы тяги в динамической постановке. Задача сведена к стандартной задаче оптимального управления по быстродействию. В качестве управления принята нормальная составляющая реакции опоры. Отмечено, что формула для оптимального управления, не содержащая сопряженных переменных, имеет особенность в начальной точке при нулевой скорости. Составлена система дифференциальных уравнений, для которой решение задачи Коши с начальными условиями позволяет получить оптимальные траектории для случая воздействия квазипостоянной разгоняющей силы и вязкого трения. Для случая постоянной разгоняющей силы в отсутствие трения, как сухого, так и вязкого, система, позволяющая получить оптимальные траектории, приведена к более простому виду, не содержащему особенности в начальной точке. Доказано свойство автомодельности траекторий без трения, используя которое, из множества оптимальных траекторий с фиксированными начальными условиями и различными конечными углами наклона касательной можно масштабированием получить все оптимальные траектории. Показано, что для траекторий с вязким трением свойство автомодельности отсутствует.
Б01: 10.7868/80002338815040137
Введение. В [1, 2] применялся метод Охоцимского—Понтрягина [3, 4] нахождения брахистохрон с учетом трения. В [5] постановка задачи была дополнена разгоняющей силой, сонаправ-ленной скорости, и при отсутствующем трении найдены траектории, каждая точка которых удовлетворяет условиям оптимальности на правой границе. Вопрос о форме брахистохрон, удовлетворяющих условиям оптимальности во всех промежуточных точках, остался открытым. Предлагаемая статья использует полученные в [5] формулы оптимального управления для исследования свойств траекторий, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности на всем своем протяжении.
Рассмотрен случай постоянной разгоняющей силы в отсутствие трения. Для различных значений такой силы построены оптимальные траектории, определяемые двумя параметрами, финишные кривые (множества конечных точек оптимальных траекторий с одинаковым фиксированным значением одного из параметров) и исследованы их свойства. Задача нахождения оптимальных траекторий в общем случае сведена к решению задачи Коши с начальными условиями. Выяснено влияние вязкого трения на оптимальные траектории.
1. Постановка задачи. Рассматривается, как и в [5], плоскопараллельное движение материальной точки массы т, скользящей по кривой в поле сил тяжести. На точку действует разгоняющая сила тяги, сонаправленная скорости V, сила сухого трения, сила вязкого трения, а также составляющая реакции опоры N, перпендикулярная скорости. Движение начинается из некоторой точки А с нулевой начальной скоростью. Необходимо найти траекторию, движение по которой обеспечит достижение заданной фиксированной точки В за минимальное время. Следуя [5], введем ортогональную декартову систему координат Ахг с началом в точке А, где х — горизонтальная, а г — вертикальная координаты.
В переменных дг = х, д2 = X, д3 = г, #4 = Z уравнения движения имеют вид
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-01-00184а).
¿1 = ¿2,
¿2 = -кд2\и\ + 42^- д4и,
¿з = ¿4,
¿¡4 = - кд4\и\ + ¿4ц + д2и,
где к > 0 — коэффициент трения, g — ускорение силы тяжести, и = N/(т^у), а ц = ц(у) — функция,
2
определяющая сумму разгоняющей силы тяги и силы вязкого трения, причем у = V , ц' = йц/йу < 0.
Начальные условия в момент старта при г = 0 запишем как
¿1(0) = ¿2(0) = ¿з(0) = ¿4(0) = 0. (1.2)
Задача поиска траектории, обеспечивающей минимальное время достижения указанной точки, сводится к поиску управления и, которое минимизирует время движения по брахистохроне.
2. Оптимальное управление в общем случае. Воспользуемся результатами работы [5]. На управление и не наложено никаких ограничений. Согласно [5], условия экстремальности из-за наличия сухого трения принимают вид I = 0 на оптимальной кривой, где
I = ¥2(^2 - ¿4) + ¥4^2 - ^¿4),
либо и = 0. Здесь у {, 1 = 1,4, — сопряженные переменные метода Охоцимского—Понтрягина [3, 4], а коэффициент К определяется следующим образом:
К _ | к, если и > 0, [-к, если и < 0.
Имеем [5] следующую зависимость оптимального управления от компонент скорости ¿2 и ¿4 и переменных у ¡, 1 = 1,4:
и = В, (2.1) А
где
В = ^¿2^'(¥2¿2 + ¥4¿4) + g¥2И + 2£¥1 + (¥з¿2 - ¥^4)и] +
+ K[2g¿4(2YV■" + 3ц')(¥2¿2 + ¥4¿4) + g¥4@УИ' + И) + 4УУ2(у) - (2.2)
- 4уи(УИ" + И')(¥2¿2 + ¥4¿4) + (¥l¿2 + ¥з¿4)(2yи' - И) + 2g¥з],
А = [(¥122 + ¥з?4) - g¥4] + 2К[(¥з¿2 - ¥^4) + g¥2] - (2 3)
- К2[(¥ 1?2 + ¥304) - g¥4 + 4у(уи'' + и')((¥2 + ¿4¥4) где ц'' = й 2ц/й у2.
Найденные в [5] условия оптимальности I = 0 и результат дифференцирования по времени = [-(^¿2 - ¥l¿4) + g¥2] + K[(¥l¿2 + ¥3¿4) + g¥4 + 2УЦ '(¥2¿2 + ¥4¿4)] = 0 (2.4)
йг
позволяют выразить сопряженные переменные у 2 и у 4 через фазовые координаты:
[¥2 = ¥ 1(92 - Кд4)Х, [¥ 4 = -¥ 1(-Кя2 - ¿4)Х,
где
(-K¿2 - ¿4) + ^(¿2 - ^4)
(2.5)
X =
g¿2(K2 + 1) + 2К у V'
а ¥ = у3/у. Предполагается, что Ф 0. Случай = 0 будет рассмотрен ниже.
Согласно [5], переменные у 1 и у 3 постоянны и выражаются через компоненты скорости в момент Т достижения конечной точки следующим образом:
ш _-д2(Г) + Кс/4С1)
^ (2.6) ш -Кц(1) - ц,(1)
Шз — .
уСЛ
С помощью (2.5) исключим у 2 и у 4 из выражения (2.1) и получим формулу для оптимального управления в зависимости от компонент скорости #2 и 94 и постоянной ¥, определяемой через компоненты конечной скорости, которую будем использовать в дальнейших вычислениях:
(2g - 2д4Уи') + Ч^К + 2^) + X (цУ + 4Ку^ц + уц")) (2 7)
(92 - ВД - Ч(-К^2 - 94) + Х(К¥ - gq4(K2 + 1))
где У = 2g92(1 + К2) - 2КуV + 2уц").
Отдельно отметим случай и = 0, оптимальность которого показана в [1, 2]. Нулевому управлению соответствуют оптимальные траектории, представляющие собой вертикальные отрезки, один конец которых совпадает с точкой А и находится в начале координат, а второй конец совпадает с точкой В и находится на вертикальной оси Аг. Далее будем рассматривать управление, отличное от тождественного нуля.
3. Оптимальные траектории в отсутствие сухого трения: к = 0. В этом случае
и = - 2(94 -ЭДф + Ц'У)1, (3.1)
У
где ¥ — параметр, который при (к = 0) с учетом (2.6) выражается через компоненты скоростей в момент Т следующим образом:
¥ = . (3.2)
9г(Т)
Считаем, что на точку действует постоянная разгоняющая сила, величина которой определяется константой с, и вязкое трение Г (у), которое равно нулю, когда точка не движется, и монотонно возрастает при росте скорости:
ц = ц1 - ц2, ц1 = с/V > 0, Г^) = vц2 > 0, ¥(0) = 0 дF/дv = Г; > 0. (3.3)
Те о р е м а 1. Оптимальная траектория в отсутствие сухого трения, но при действии разгоняющей силы и (или) вязкого трения, имеет вертикальную касательную в конечной точке тогда и только тогда, когда горизонтальная скорость тождественно равна нулю (92 = 0), т.е. оптимальная траектория представляет собой вертикальный отрезок.
Доказательство. Касательная в конечной точке оптимальной траектории вертикальна, если 92(Т) = 0, что, согласно (2.6), при к = 0 равносильно ф1 = 0. В случае ф1 = 0 формулы (2.5) несправедливы.
Упростим выражение (2.3), учитывая отсутствие сухого трения:
А = 4 + у 9 + у 394. (3.4)
Так как к = 0, условия оптимальности и результат дифференцирования по времени примут вид
/ = -V 294 + V 492 = 0,
/ (3.5)
Т" = gv2 + V194 - V392 = 0.
Л
Равенства (3.4) и (3.5) позволяют получить зависимость между А, и компонентами скорости:
А92 = у1(92 + 942). (3.6)
Скорость не равна нулю тождественно, поэтому константа ^ может быть равна нулю только либо при вертикальном движении q2 = 0, либо при A = 0. Рассмотрим случай A = 0.
Для выполнения условия оптимальности необходимо, чтобы Au + B = 0, что при A = 0 с учетом (3.4) и (3.5) принимает вид
B = 2V 3q2(|i + YH') = 0. (3.7)
Если у 3 = 0, то, используя (3.5), можно получить, что у 2 = у 4 = 0. Согласно методу Понтря-гина сопряженные переменные не должны быть тождественно равны нулю одновременно, поэтому у3 Ф 0. В некоторой окрестности начальной точки 2(ц + уц') = (с - F - FV)/v > 0, значит, равенство (3.7) выполняется только при q2 = 0. Следовательно, ^ = 0 тогда и только тогда, когда q2 = 0. Теорема доказана.
Теорема 1 оправдывает принятое в (2.5) предположение, что ^ Ф 0.
Перейдем к переменным v и ф, где ф — угол между скоростью и направлением силы тяжести, отсчитываемый против хода часовой стрелки. При этом используются выражения
qi = q2 = v sin ф, (3 8)
q3 = q4 = —v cos ф.
Оптимальное управление представляется в следующем виде:
u = [2 g + 2v(cos ф + W sin ф)(ц + ц' у)]. (3.9)
v
Дифференцируя в силу системы (1.1) при sin ф Ф 0 (т.е. q2 i 0) уравнения
(3.10)
2 2 2 v = q2 + q4,
л q4
cos ф = -—,
v
получаем выражения для производных v и ф: fv = ц v + g cos ф,
|ф = sin ^ [g + 2v(cos ф + ¥ sin ф)(ц + ц' у)].
_ sin фг „ , , . , , _ (3.11)
v
3.1. Направление старта. В силу симметричности постановки задачи относительно вертикальной оси, проходящей через точку старта, будем рассматривать только траектории, для которых sin ф() > 0 в начале движения. Скорость на оптимальной траектории не равна нулю нигде, кроме точки A начала и, возможно, точки B окончания движения.
Те о р е м а 2. Оптимальные траектории при действии постоянной разгоняющей силы и вязкого трения, которое зависит от величины скорости, обеспечивающие достижение заданной точки B из фиксированной точки A с нулевой начальной скоростью за минимальное время, имеют в точке A вертикальную касательную.
Доказательство. В начальный момент времени скорость точки равна нулю, поэтому имеется только касательное ускорение [6]. Проекция равнодействующей всех сил на прямую, перпендикулярную касател
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.