МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <4 • 2008
УДК 533.6.011+535.23
© 2008 г. М. А. АРГУЧИНЦЕВА, Н. Н. ПИЛЮГИН
ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ТЕЛА ПО ДВУМ КРИТЕРИЯМ: РАДИАЦИОННОМУ ТЕПЛОВОМУ ПОТОКУ И ВОЛНОВОМУ СОПРОТИВЛЕНИЮ
Получено численное решение двухкритериальной вариационной задачи о контуре тела с минимальными радиационным тепловым потоком и волновым сопротивлением в классе тонких осе-симметричных и плоских тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком. Проведено сравнение решений, полученных тремя методами: Парето, идеальной точки и минимакса. Показано, что в классе осесимметричных тонких тел оптимальное тело, найденное по методу Парето, дает выигрыш в радиационном тепловом потоке до 15%, по методу идеальной точки - до 13%, по методу минимакса - до 5% по сравнению с конусом.
Получено решение задачи в подклассе тонких степенных тел и показано, что оптимальные степенные тела проигрывают оптимальным телам из общего класса таких тел в снижении как радиационного нагрева, так и сопротивления.
Ключевые слова: оптимизация формы тела, гиперзвуковое обтекание, два критерия оптимальности, радиационный тепловой поток, волновое сопротивление, методы Парето, идеальной точки и минимакса, тонкие и степенные тела.
Известно [1], что при выборе оптимальной формы космических аппаратов, движущихся с гиперзвуковыми скоростями в атмосферах планет, необходимо учитывать большое число факторов, влияющих на условия полета [1]. К числу таких факторов при больших числах Маха (М > 25-30) относятся волновое сопротивление и радиационный нагрев тела. В научной литературе достаточно полно изучены задачи выбора аэродинамической формы тела, оптимальной по одному критерию [1-9]. Выяснено, в частности, что форма тела минимального сопротивления [5-8] может существенно отличаться от формы тела с минимальным нагревом поверхности [1-4]. Однако в большинстве реальных задач необходимо учитывать сразу несколько оптимизационных критериев, поэтому возникает вопрос: какое тело считать оптимальным в данном случае? Сложность решения задач с несколькими критериями связана с тем, что само понятие оптимальности в них носит неоднозначный характер [10]. Одним из основных методов исследования многокритериальных задач является их сведение к однокритериальным путем свертывания несколько критериев в один скалярный. В литературе известны различные виды сверток: линейная, минимаксная, минимизация отклонений, метод идеальной точки, выделение главного критерия и т.д. Применение различных видов сверток приводит в общем случае к различным решениям одной и той же вариационной задачи. Окончательный вывод о принятии того или иного решения обычно определяется физическим смыслом задачи и приоритетами лица, принимающего решение. Надо также иметь в виду ряд особенностей многокритериальных задач, часто затрудняющих их исследование: много-экстремальность; трудоемкость вычисления целевых функционалов и ограничений; негладкость и наличие седловых точек у функций, входящих в задачу.
В силу отмеченных выше причин существует достаточно ограниченный круг работ, посвященных многокритериальным задачам теории оптимальных аэродинамических форм. Кроме того, практически во всех известных работах для исследования многокри-
териальных задач был использован только метод Парето [10]. Были получены парето-оптимальные решения двухкритериальных задач нахождения формы осесимметрично-го тела с точки зрения минимума: волнового сопротивления и конвективного нагрева [3, 4]; радиационного и конвективного нагревов тела [4]; суммарного (конвективного и радиационного) нагрева тела и волнового сопротивления [4]; волнового сопротивления в сверхзвуковом и гиперзвуковом диапазонах скоростей [3]. В [4] численное решение поставленных задач найдено в классе нетонких тел вращения с плоским передним торцом. В [3] был использован асимптотический метод с учетом предположения о тонкости тела.
Цель данной работы заключается в постановке и исследовании двухкритериальной задачи нахождения контуров осесимметричных и плоских тел, минимизирующих радиационный нагрев поверхности и волновое сопротивление тела. Для исследования этой задачи используются три метода: Парето, идеальной точки и минимакса. Решение оптимизационной задачи ищется в классах тонких тел и в подклассе тонких степенных тел. В случае тонких степенных тел получен ряд аналитических решений.
1. Постановка задачи и решение в классе тонких тел. Рассмотрим гиперзвуковое обтекание осесимметричного или плоского тела под нулевым углом атаки потоком излучающего газа. Пусть х - координата вдоль оси тела, y - координата, нормальная к этой оси. Введем безразмерные координаты © п) и относительную толщину тела т: S = x/L, П = y/L, т = R/L, где L - длина тела, R - радиус миделя или максимальная полутолщина тела для осесимметричного или плоского случаев соответственно. В дальнейшем будем рассматривать класс тонких тел (т ^ 1). Тогда выражения для интегральных коэффициентов волнового сопротивления CD [8] и радиационного теплового потока CR (при объемном высвечивании газа) [9] имеют вид
1
Cd = 21 + j т2 ^(n), Id (п) = Jn ^)П3 (S) dS, П = ^
0 , (1.1)
2>-1, 2 n + 9 1
Cr = 2 4 Ir(n), lr(n) = Jnj(S)n2n + 11 (S)( 1-S)dS
л + 4
0
где п© - функция формы тела; ] = {0, 1} для плоского и осесимметричного тел, соответственно; Ъ* - параметр излучения [9], равный отношению характерного радиационного потока за ударной волной к потоку кинетической энергии набегающего потока газа; л - показатель степени в зависимости коэффициента поглощения Планка от температуры Т (л е [0.8] в диапазоне температур Те [3 ■ 103 К, 15 ■ 103 К]). Отнесем функционалы (1.1) к их характерным значениям, вычисленным для конуса (в плоском случае - клина) п = тогда имеем
ФЙ(П) = ™ = (7 +1)(7 + 2) 1К (п)
/й (П = (1.2) !п(П)
фп (п) = шп=Т) = (7 + 1) 1п(п)
Поставим следующую двухкритериальную вариационную задачу: найти функцию формы осесимметричного или плоского тела п©, которая минимизирует радиационный нагрев его поверхности Фй(п) и его волновое сопротивление Фп(п), определяемое формулами (1.2), и удовлетворяет граничным условиям
п(0) = 0, п( 1) = 1 (1.3)
Если Фй, Фп - функционалы, определенные на некотором множестве допустимых функций У соответствующего функционального пространства, то с формальной точки
зрения задача многокритериальной оптимизации может быть записана в виде Фй(п) ^ min, Фд(п) ^ min. Однако постановка многокритериальной задачи в таком виде имеет лишь формальный характер. Действительно, если, например, на некоторой функции п*© 6 Y достигается минимум критерия Фй(п), то совсем необязательно, что на этой же функции достигается минимум Фд(п), поэтому в теории многокритериальной оптимизации проводится обобщение классического понятия оптимальности [10]. Одним из основных подходов к решению многокритериальных задач является их сведение к однокритери-альным путем свертывания критериев Фй, Фд в один скалярный. Виды таких сверток различны.
В данной работе для исследования поставленной оптимизационной задачи используются методы Парето, идеальной точки и минимакса [10].
Рассмотрим понятие оптимальности по Парето [10]. Пусть требуется минимизировать два критерия: Фй(п) и Фд(п). Тогда решение многокритериальной задачи называется оптимальным по Парето, если улучшение одного из критериев невозможно без ухудшения другого. Случай получения единственного решения, минимизирующего сразу оба критерия, на практике встречается крайне редко, поэтому поставленная задача имеет множество парето-оптимальных решений, а линия, образованная ими на плоскости (Фй, Фд), называется диаграммой Парето. Множество решений, оптимальных по Паре-то, можно получить, минимизируя линейную комбинацию (свертку) функционалов
Ф(П) = ЦФЙ(П) + (1 - Ц)Фд(П) ^ min(0 < ц < 1) (1.4)
где ц - весовой коэффициент. Поиск парето-оптимальных решений осуществляется перебором коэффициентов ц. Возникает вопрос: все ли оптимальные решения находятся таким способом? Ответом служат необходимые условия оптимальности. Пусть при дополнительном предположении о выпуклости множества Y и выпуклости функционалов Фй, Фд по п решение п*© 6 Y оптимально по Парето. Тогда существуют такие числа ц'(0 < ц' < 1), что выполняется условие
) + (1- ц' )Фд (п *) - min [цфй(п) + ( 1- ц)фд(п)]
п 6 Y
Для исследования задачи (1.3), (1.4) используется метод Ритца [11], в соответствии с которым решение задачи ищется в виде
k
п(^) - Фоф + X«;фД) (1.5)
i - 1
где ai (i = 1, 2..., k) - неизвестные параметры; ф,© (i = 0, 1..., k) - линейно независимые, непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие граничным условиям
Ф«(0) - 0, фо( 1) - 1; ф,(0) - ф,.( 1) - 0, i - 1, 2, ..., k.
В данной работе функции ф© выбираются в виде
ф0(%) - \, ф..(%) - %(1- , i - 1, 2,..., k или
ф.(%) - sin(пi, i - 1, 2,., k,
где параметр k обычно принимает значения 3-6.
Подстановкой функции п© в (1.4) оптимизационная задача (1.3), (1.4) сводится к исследованию на безусловный экстремум функции Ф(п) = f (a^ a2, ..., ak). Для ее численного решения использован пакет "Optimization Toolbox" системы Matlab 6.1. Тестовые чис-
Фиг. 1. Отклонение оптимального контура осесимметричного тела от конуса. Сплошные линии - m = 11, штриховые - m = 15. Кривые 1-3: Ц = 0.1; 0.5; 0.9
ленные расчеты по методу Ритца в предельном случае Ц = 0 (однокритериальная задача о минимальном волновом сопротивлении, для которой известно аналитическое решение п = ^3/4 [8]), показали, что для достижения заданной точности по критериям
max | п© - П©1 < 10-6 надо взять значение k = 5.
[0,1 ]
На фиг. 1 представлены отклонения (п© - £) оптимальных форм осесимметричных тел при различных значениях параметра излучения m = = 2n + 11. Соответствующие диаграммы Парето представлены на фиг. 2. Далее, для сравнения результатов и ясности изложения, при использовании остальных методов в качестве примеров приведены решения при ц = 0.5, т.е. когда функционалы имеют равные приоритеты. В этом случае
оптимальные значения функционалов таковы: Фркаг = 0.8659, ФдЯГ = 1.011.
Метод идеальной точки. Для выделения единственного решения многокритериальной задачи можно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.