научная статья по теме ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2012, том 50, № 5, с. 403-418

УДК 629.78

ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖОРБИТАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ

ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ

© 2012 г. Ю. П. Улыбышев

Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. С.П. Королева, г. Королев

yuri.ulybyshev@rsce.ru Поступила в редакцию 27.02.2011 г.

Представлены приближенные численные методы оптимизации многовитковых некомпланарных межорбитальных перелетов космических аппаратов с малой тягой. Используется линейное представление производных краевых параметров в окрестности опорной траектории с ее дискретизацией на малые сегменты и введение для каждого из них множеств псевдоимпульсов, представляющих возможные направления вектора тяги. Для решения существенно нелинейных задач используется итеративный процесс по уточнению опорной траектории. На каждой итерации решается задача линейного программирования высокой размерности, в которой краевые условия представлены в виде линейного матричного уравнения. Рассматриваются интервальные ограничения в виде запретов для работы двигательной установки на теневых участках орбиты и циклические ограничения, а также ограничения по суммарной продолжительности маневров на определенных участках траектории. Приводятся результаты сравнения с решениями полученными другими методами и примеры, иллюстрирующие сходимость итерационных процессов. Рассмотрены оптимизация траекторий выведения КА на геостационарную орбиты и траекторий некомпланарного перелета с низкой на высокоэллиптическую орбиту "Молния" при ограничениях.

1. ВВЕДЕНИЕ

Проблема оптимизации траекторий КА с малой тягой является предметом интенсивных исследований [1—12]. Большинство методов можно условно разделить на две большие группы. Первая группа — так называемые непрямые методы, основанные на использовании принципа максимума Л.С. Понтрягина [13—14]. В этом случае проблема оптимизации приводится к двухточечной краевой задаче для системы дифференциальных уравнений, включающей фазовые и сопряженные переменные. Основные трудности использования непрямых методов связаны с поиском начальных приближений по сопряженным переменным, при которых обеспечивается сходимость в решении краевых задач. Вторую группу образуют прямые методы, использующие, как правило, алгоритмы нелинейного программирования [13]. Они позволяют привести задачу к оптимизации функции многих переменных. Эти методы привлекательны, поскольку не требуют явного рассмотрения необходимых условий оптимальности (сопряженные уравнения, условия трансверсальности).

Линейное программирование представляет один из очень хорошо известных методов оптимизации, которые успешно использовались для решения многих сложных прикладных проблем в технике, экономике и исследовании операций.

Однако, классическое линейное программирование практически не использовалось для оптимизации траекторий с непрерывной тягой. Автором совместно с А.В. Соколовым [15] был разработан метод оптимизации многовитковых маневров с малой тягой в окрестности геостационарной орбиты. Предложенная математическая модель использовала псевдоманевры с положительными и отрицательными направлениями по трансверса-ли для каждого сегмента траектории (половина витка). Это позволило сформулировать задачу в форме классического линейного программирования с числом оптимизируемых переменных равных учетверенному количеству витков в межорбитальном перелете. В 1990-е годы линейное программирование претерпело революционные изменения, связанные с разработкой полиномиальных алгоритмов, известных как методы внутренней точки [16—18]. Направление поиска в этих методах находится внутри допустимой области, а не по ее границам как в хорошо известном симплекс методе. Многочисленные исследования показывают, что для линейных задач большой размерности, методы внутренней точки эффективнее, чем классический симплекс метод. Кроме того, в противоположность алгоритмам на базе симплекса, которые имеют проблемы с вырожденными задачами, методы внутренней точки защищены от вырожденности [18]. Это делает воз-

403

4*

можным разработку эффективных методов, которые используют линейное программирование высокой размерности для оптимизации траекторий КА.

Предлагаемые методы основаны на двух идеях. Первая идея — хорошо известная дискретизация траектории, в общем случае, на неодинаковые сегменты. Вторая идея является ключевой и основана на близкой к равномерной дискретной аппроксимации пространства управления (т.е. направления и величины тяги) множеством псевдоимпульсов с ограничением в виде равенства или неравенства для каждого сегмента. В некотором смысле, эта статья является продолжением предыдущих работ автора [19—23], в которых этот подход был использован для оптимизации различных типов траекторий КА: поддержание 24-часовой эллиптической орбиты, компланарный и некомпланарный орбитальные перелеты, различных траекторий сближения на околокруговых орбитах, пространственной траектории выведения с поверхности Луны на окололунную орбиту с ограничениями, траектории посадки на Луну с безопасным профилем снижения и перелет Земля—Марс. Подобный подход в форме множеств псевдоуправления использован также для общей постановки задач оптимального управления [23].

Основная цель данной работы — развитие методов множеств псевдоимпульсов для решения существенно нелинейных задач оптимизации межорбитальных перелетов с малой тягой при ограничениях.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

2.1. Оптимизация траекторий в центральном гравитационном поле. Рассмотрим межорбитальный перелет КА с малой ограниченной тягой в центральном гравитационном поле. Стандартное векторное уравнение движения КА в инерциаль-ной геоцентрической системе координат имеет вид:

dY = f(X(t), Рду(0, e(t)),

(1)

ный вектор ориентации силы тяги (е т(?) • е(?) = 1). Выражение для правых частей системы (1):

f (Y(t), Рду(0, e(t)) =

V(t) ^ e(t)

m(t) r\t)

И

r(t ),

(2)

Рду(?)

8 о1ду

где: г(1) — модуль радиус-вектора; ц = 398601.2 км3/с2 — гравитационный параметр Земли; g0 = 9.80665 м/с2; 1ду — удельная тяга ДУ.

Предполагается, что задан вектор состояния [г0, У0]т в начальный момент 10 = 0, общее время перелета 1к и конечные краевые условия в виде некоторой функции:

Р (г(?к), У((к)) = Р. (3)

Задача оптимизации формулируется как поиск оптимального закона управления [РдУ(0, е(0], обеспечивающего минимизацию функционала

J =

-J m(t )dt

(4а)

или

J =

AVx = \aP (t)dt = dt (4б)

J J m(t)

или

J = )].

(4в)

где: t — время; YT(t) = [rT(t) VT(t) m(t)] ; r(t) - вектор прямоугольных координат; V(t) — вектор скорости; 0 < P^(t) < РдУтах — сила тяги двигательной

установки (ДУ); m(t) — масса КА; e(t) — единич-

при наличии ограничений во внутренних точках траектории. Здесь: аР(?) — реактивное ускорение и Ф[У(?к) ] — некоторая функция конечного вектора состояния.

2.2. Интервальные ограничения для траекторий. Для практических траекторий межорбитальных перелетов, например с использованием электрореактивной двигательной установки (ЭРДУ), как правило, необходимо учитывать ограничения связанные с возможностью их включения по условиям энергобаланса. Некоторые ограничения могут носить операционный характер.

Будут рассматриваться интервальные ограничения следующих видов: запрет на проведение маневров на теневых участках орбиты; циклические ограничения, определяемые возможностью только периодического включения двигательной установки с некоторой скважностью (как правило, это связано с недостаточной электрической

о

мощностью для непрерывной работы ДУ и необходимостью периодической подзарядки аккумуляторов от солнечных батарей); ограничения на суммарную продолжительность работы ДУ на определенных участках траектории.

Ограничения первого вида являются функциональными и зависят от текущей астрообстанов-ки, а также от параметров межорбитального перелета. Они могут быть математически представлены в виде набора ограничений

О(> = Рду(0 = 0 / 6 |ОУ(0, /], / К, /] }, (5)

Л') Л')

где ^ — соответственно время начала и окончания 1-го теневого участка, являющиеся функциями параметров орбиты и положения Солнца. Отметим, что заранее эти интервалы не могут быть рассчитаны, т.к. неизвестна сама переходная орбита. Циклические ограничения имеют ту же форму (5) и времена границ запретных интервалов могут быть функциональными. Последний вид ограничений представим для каждого участка в виде неравенства:

| 8(0Л < /п

(6)

1И ИНТ

приближенные значения векторов состояния в узлах известны, тогда для постоянного управления на каждом сегменте можно записать:

РГ (/у > = Р*(/ у > + X

дГ(/г.> РдуРА/, _

,=1

п

д\

Ш:

(7)

= Р*(/у > + X ™ -Д^а,

1=1

где 1КИНТ, tНИНТ — времена начала и окончания участка траектории, на котором присутствует ограничение (в общем случае эти времена также могут быть функциональными и заданы неявно); ^тахИНт — максимально допустимая продолжительность работы ДУ на всем интервале; 8(0 — функция времени, имеющая два дискретных значения: 0 или 1. Единичное значение соответствует включенной ДУ. Это ограничение является незакрепленным внутри интервала, т.е. является плавающим. На количество подинтервалов с непрерывной тяги (т.е. маневров) внутри общего интервала оно не накладывает ограничений.

Следует отметить, что решение задач оптимизации с перечисленными ограничениями на основе принципа максимума Понтрягина крайне затруднительно.

3. МЕТОД ПСЕВДОИМПУЛЬСОВ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

3.1. Дискретизация траектории и множества псевдоимпульсов. Предположим, что известна некоторая опорная траектория межорбитального перелета Y*(t), удовлетворяющая краевым условиям (3). Введем множество сегментов, разделяющих интервал t1, t2, ..., tn\, где ^ = 0 и tn = tk, и ^ < ^ < t2 ...< п М, = Ц + 1 — t;. В общем случае сегменты могут быть неодинаковыми. Считаем, что

где Р* — вектор краевых условий вдоль пассивной траектории; ,>¡3 V — матрица частных производных; ДУХ, — импульс скорости для 1-го сегмента. В некотором смысле уравнение (7) представляет простейшую форму хорошо известного в классической небесной механике метода Энке [25\, который использует интегрирование только возмущений относительно некоторо

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком