КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 2, с. 135-147
УДК 629.78
ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОРЕЖИМНЫХ ТРАЕКТОРИЙ СБЛИЖЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
© 2008 г. Ю. П. Улыбышев
Ракетно-космическая корпорация "Энергия" им. СП. Королева, г. Королев
yuri.ulybyshev@rsce.ru Поступила в редакцию 18.09.2006 г.
Представлены приближенные численные методы оптимизации траекторий сближения КА с использованием алгоритмов внутренней точки для задач линейного программирования высокой размерности (десятки-сотни тысяч переменных). Основу методов составляют дискретизация траектории на малые сегменты, в которых допускается проведение маневров, и введение для всех сегментов множеств псевдоимпульсов, определяющих возможные направления вектора тяги КА. Терминальные условия представляются в форме линейного матричного уравнения. Матричное неравенство для сумм характеристических скоростей псевдоимпульсов на каждом сегменте используется для преобразования к форме линейного программирования. Рассмотрены траектории сближения КА в окрестности круговых орбит с использованием многорежимных двигательных установок (в т.ч. с малой тягой) и наличием краевых условий во внутренних точках и ограничений по времени работы двигательной установки на отдельных участках траектории.
PACS: 45.40.Gj
1. ВВЕДЕНИЕ
Траектории сближения современных космических аппаратов могут включать использование многорежимных двигательных установок (ДУ) с большой и малой тягой, фиксированную энергетику орбитального перелета. При оптимизации траекторий необходимо учитывать не только терминальные условия по сближению КА, но и различные ограничения по интервалам маневрирования, ориентации вектора тяги, энергетике перелета, а также, в ряде случаев, ограничения во внутренних точках и на отдельных участках траектории.
В статье будут рассмотрены траектории сближения, описываемые линеаризованными уравнениями относительного движения двух КА в окрестности некоторой опорной круговой орбиты. Для оптимизации траекторий сближения на околокруговых орбитах с высокой тягой двигательной установки, допускающей при расчете импульсную аппроксимацию тяги, в практике проектных и оперативных баллистических расчетов [1] широко используются методы на основе созданной М.Л. Лидовым теории линейной выпуклой коррекции с использованием модифицированного симплекс-метода [2].
Классические алгоритмы линейного программирования на базе симплекс-метода рассматривались для задач коррекции орбит и межорбитальных перелетов КА [3, 4], а также в задачах коррекции по поддержанию орбитальной структуры многоспутниковых систем [5]. Автором совмест-
но с A.B. Соколовым был разработан метод расчета оптимальных многовитковых межорбитальных перелетов с малой тягой на околокруговых орбитах с использованием трансверсальных маневров ограниченной продолжительности [6]. Метод использует постановку в форме классического линейного программирования. B основе математического представления для этой формы лежит расширение пространства управляемых переменных за счет введения трансверсальных псевдоманевров противоположных направлений. Число переменных при этом достигало несколько сотен.
Наиболее известным методом решения задач линейного программирования является симплекс-метод [7], однако, он не обладает полиномиальной сходимостью и его использование для задач высокой размерности, включающих десятки-сотни тысяч переменных, затруднительно. Ситуация изменилась коренным образом в 19801990 гг. с появлением работ Л.Т. Хачияна [8] и Н. Кармаркара [9], которые послужили основой разработки эффективных алгоритмов внутренней точки [10]. Их название связано с тем, что в отличие от симплекс-метода, перебирающего угловые точки многогранника допустимых решений, вычислительный процесс в алгоритмах внутренней точки происходит внутри допустимого множества решений. Эти алгоритмы имеют полиномиальную сходимость и, что очень важно для практических задач, защищены от вырожденности [11].
вается использование подобного подхода для задач оптимизации траекторий сближения КА на околокруговых орбитах, в частности, при использовании многорежимных двигательных установок и наличии различных ограничений.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К ФОРМЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
2.1. Уравнения относительного движения.
Движение активного и пассивного КА рассматривается в окрестности некоторой опорной круговой орбиты радиуса гю. Уравнения относительного движения КА имеют вид [13]:
0 I
А В
+
(1)
¥-угол курса Рис. 1
Возможность существенного повышения размерности современных алгоритмов внутренней точки позволяет использовать при оптимизации траекторий полета КА новый подход. Он включает дискретизацию траектории на малые сегменты, в общем случае неодинаковой продолжительности, и введение множества псевдоимпульсов для каждого сегмента, что позволяет привести задачу к математической формулировке в форме линейного программирования. При этом существенно возрастает размерность задачи. Однако получаемые матрицы для ограничений в виде неравенств являются, как правило, разряженными. Введение специальных ограничений на псевдоимпульсы и включение их в функционал позволяет исключить из итогового решения неоптимальные сочетания псевдоимпульсов. Такой подход был предложен автором для оптимизации орбитальных маневров с малой и средней тягой [12]. Он был использован для оптимизации маневров поддержания орбиты и трассы КА на высокоэллиптической орбите с 24-часовым периодом и критическим наклонением, оптимизации перелета КА с малой тягой с геопереходной на геостационарную орбиту и некомпланарного перелета между эллиптическими орбитами. В первом примере функции влияния псевдоимпульсов рассчитывались по параметрам номинальной орбиты поддержания, а при расчете межорбитальных перелетов использовались итеративные последовательности задач линейного программирования по уточнению орбитальных элементов, описывающих переходную орбиту.
В данной статье, являющейся некоторым продолжением упомянутой работы [12], рассматри-
где рт = [г, п, Ь], Ут = [г,п,Ь] - вектора относительных координат и скорости в орбитальной системе координат (рис. 1), ю = ц/ гю - угловая скорость орбитального движения, ц - гравитационный параметр Земли, I - единичная матрица, О - нулевая матрица, а - вектор реактивного ускорения.
(2)
Аналитическое решение системы (1) для пассивной траектории известно [13] и может быть представлено в форме:
3 0 0 0 2 0
А = 0 0 0 , В = -2 0 0
0 0 -1 0 0 0
Р = р (г) = Ф (г) р0 _
У (г) У0
Фрр(г) Фру(г) Фур(г) Фуу(г)
ро
Уп
, (3)
где: Ф, Фрр, Фрщ, Фщр, Фщ, - соответственно фундаментальная матрица и ее подматрицы. Выражения для этих матриц представлены в приложении.
В качестве терминальных условий Р может использоваться как полный вектор состояния для траектории относительного движения (3), так и какая-то его часть или функциональная зависимость, т.е. терминальные условия зависящие от времени. В качестве примера можно указать проблему маневрирования геостационарного КА при его установке в рабочую точку по географической долготе [6].
2.2. Дискретизация траектории. При рассмотрении многорежимных двигательных установок можно выделить два полярных варианта представления маневров - импульсные (или большой тяги) маневры и маневры с малой тягой (в том числе и многовитковые). Считается, что время перелета ц фиксировано имеется набор подинтер-валов времени, в которые допускается проведе-
ние маневров с соответствующим режимом тяги ДУ. Предположим, что все подинтервалы разбиты на малые сегменты времени Ах; = + 1 - X.
Для 1-го импульсного сегмента изменение терминальных условий в конечный момент времени ^ может быть представлено в виде:
АР; =
А р / ФрУ(г/ - г-)
_АУ/_ ФУУ( г/ - г)_
А У; = г( - ц) е, А (4)
где: АV¡ - импульс скорости в момент X ¡, e¡ - единичный вектор направления импульса (ет ег) = 1. При этом импульс может рассматриваться как неограниченный или фиксированной величины (например, при отработке маневра с использованием твердотопливной ДУ). Для сегмента с конечной тягой используется очевидное выражение:
А V- = а, А г,, (5)
где а; - величина реактивного ускорения, на которую накладывается ограничение по максимальной величине 0 < а; < а!тах. Как и в импульсном случае можно использовать сегменты с фиксированным реактивным ускорением и принудительным включением ДУ на соответствующих сегментах.
2.3. Множества псевдоимпульсов. Рассмотрим случай, когда вектор управления - вектор тяги ориентирован в какой-то плоскости. Например, это могут быть плоскость местного горизонта или плоскость орбиты. На любом сегменте вектор тяги может быть ориентирован в этой плоскости произвольным образом, если на ориентацию не наложено специальных ограничений. Возможные направления вектора тяги представим в виде некоторого дискретного набора ограниченных по величине векторов с малыми углами между ними Аф = 2п/к (рис. 2а), каждый из которых будем называть псевдоимпульсом. Предполагается, что в оптимальном решении для любого сегмента может присутствовать неограниченное число псевдоимпульсов. Однако сумма модулей псевдоимпульсов на каждом сегменте ограничивается исходя из его максимальной продолжительности и максимально допустимого реактивного ускорения. Таким образом оптимальный импульс скорости на каждом сегменте заменяется векторной суммой псевдоимпульсов. Для оптимального в смысле затрат характеристической скорости решения, в приближенной его аппроксимации не может быть более двух смежных псевдоимпульсов, поскольку сумму двух несмежных или трех или более векторов псевдоимпульсов всегда можно заменить двумя смежными псевдоимпульсами, имеющую наименьшую сумму. Пусть АУгор1 оптимальной импульс для ¡-го сег-
Аф
Недопустимая аппроксимация
ор1
(а)
Допустимая аппроксимация
(б)
Рис. 2
мента (рис. 26). Из геометрических соображений видно, что наилучшим приближением к оптимальному решению из имеющегося набора псевдоимпульсов с дискретными ориентациями, в общем случае, будет решение включающее два смежных псевдоимпульса между которыми располагается оптимальный импульс АУгор1. В частном случае это может быть один псев
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.