Радиационные методы
УДК 620.179.15
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ГАММА-АБСОРБЦИОННОГО
МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЯ ТОЛЩИНЫ СЛОЕВ ДВУХСЛОЙНОЙ
КОМПОЗИЦИИ
А.И. Безуглов
Получены математические соотношения и приведена методика определения требований к относительным погрешностям измерения у, и у2 регистрируемых сигналов при заданных погрешностях измерения толщин слоев композиции. Показано влияние флуктуаций плотности материалов на погрешности измерения толщин. Получены аналитические выражения, определяющие оптимальные энергии гамма-квантов Ех и Ег (Е1 < Е2) для произвольных значений у, и у2. На основе выражений сделан вывод, что оптимальные энергии не зависят от плотностей материалов и их размеров. На примере композиции А1—С показано, что для рассмотренного диапазона энергий гамма-квантов (0,04—1,25)МэВ допустимые значения находятся в ограниченном интервале (0,04—0,12) МэВ, при этом оптимальные значения Ег связаны с £, примерным соотношением Е1ор1/Е] =(2,5—-3,2), а лучшие характеристики по погрешности измерения толщины достигаются при Ех —» Е,,„-1П = 0,04 МэВ.
Решение задач толщинометрии многослойных изделий требует тщательного подхода к выбору параметров гамма-абсорбционного метода и используемых критериев, поскольку от этого зависят, во-первых, возможность решения поставленной задачи вообще, и во-вторых, достижение погрешностей измерения, удовлетворяющих заданным в нормативных документах.
В работе [1] рассмотрен частный случай выбора и оптимизации параметров метода измерения толщин в двухслойном изделии, для которого принимаются одинаковые требования к относительной погрешности измерения двух регистрируемых сигналов (для используемых энергий гамма-квантов Е] и Е2) и учитывается только статистическая погрешность. При этом несколько произволен используемый критерий оптимизации и рассмотрен только вопрос минимизации погрешности измерения толщины слоев, хотя на практике чаще реализуется обратная задача, когда эти погрешности заданы, а необходимо оптимизировать другие параметры метода, как отмечено в [2].
В данной работе рассмотрен вариант выбора параметров метода, когда определяются требования к необходимой точности измерения двух регистрируемых сигналов и М2(Е2) для достижения заданных погрешностей измерения толщины слоев Д/г, и Д/г2 (наихудшие условия), а также проведена оценка взаимного влияния рассмотренных параметров на выбор оптимальных энергий гамма-квантов для решения поставленной задачи.
Для "узких" пучков излучения гамма-квантов искомые толщины слоев /г, и /г2 могут быть определены из системы уравнений:
ц„Л, + ц12/г2 = -1п(ЛуМ0,);
ц21/г, + \х22к2 = -1п(Лу/У02), (1)
где Цу — линейный коэффициент ослабления гамма-излучения с энергией Е, материалом у'-го слоя; /V,, — число гамма-квантов с 1-й энергией, зарегистрированные детектором за объектом контроля и при его отсутствии соответственно в течение времени измерения. Для дальнейшего рассмотрения примем, что < Е2.
На основании (1) можно записать следующие выражения для определяемых толщин:
_ [1221п (ЛУЛГ,,,) -ц121п (^У2//У02) _ — >
Н-21^12 — ^22^11
п2 = ■ (2)
М-цМ-22 — М-21М-12
Как следует из системы (2), решение возможно, если знаменатель отличен от нуля, что эквивалентно также соотношениям:
Нц^или^-*^-, (3)
М-12 М-22 т22
где ту — массовый коэффициент ослабления гамма-излучения с энергией материалом у'-го слоя.
В соответствии с общей теорией ошибок для косвенных измерений [3] случайные составляющие абсолютных погрешностей измерения толщин слоев можно представить на основании (2) и в предположении флуктуа-ций только регистрируемых сигналов как:
м, = = ЛУ1+Ц11Т2|, (4)
К 1^22-^12^211 1^11^22-^12^211
где у, = ДЛуМ,; у2 = ДЛуМ2, и принималось, что относительные погрешности измерения сигналов толщиномера ЛЛ^/Л^, « АЛ/,/Л/,.
Нужно отметить, что у, и у2 характеризуют общий случай погрешностей измерения сигналов, включая, например, статистическую и инструментальную составляющие. Это важно для оптимизации системы измерения в конкретных реальных ситуациях, в том числе и для данной задачи, поскольку необходимо выделять в регистрируемом спектре пики, соответствующие используемым источникам излучения, а случайная составляющая инструментальной погрешности существенным образом зависит от формы спектра (подложки), параметров пиков и условий выделения импульсов [4].
Поставленная выше задача выработки требований к точности измерения у, и у2 двух регистрируемых сигналов для выбранных значений и Е2 при заданных погрешностях измерения толщины слоев А/г, и Д/г2 не реализуется простым решением системы уравнений (4), поскольку могут быть получены отрицательные значения У[ и у2, что не соответствует их определению. Правильным в этом случае будет получение неравенств, определяющих положительные области значений у, и у2 и одновременно удовлетворяющих системе (4), которые можно записать в следующем виде при обозначении знаменателя 1рцМ-22 - М-12М21' -
. ММ, |л,22 ...
Ъ^-—Ур (5)
Мч2 Ш2
МА^ Ни Ни
Вариант совместного решения (5) и (6) показан на рис. 1а. Как видно, область допустимых значений у, и у2 ограничена прямой линией СО и осями ординат и удовлетворяет обоим неравенствам. Наименее жесткие требования к точности измерения сигналов получаются при выборе общей точки на прямой СО. Поскольку положение точек С и Ь на осях ординат зависит от конкретного значения Д/г2, возможен более сложный вариант области допустимых значений у, и у2, приведенный на рис. \б. В этом слу-
чае для упрощенной (но гарантированной) оценки допустимых значений у, и у2 можно принять область, ограниченную прямой СБ и осями ординат.
№
С
т
с
Ъ
б А = МДй|/(!12;
В = МД/г,/ц22;
С = МДА2/Цп;
й = Д/Д/г2/ц21;
М=|Ц22ЦП -Н2Л21
• •-•.•.•.Лч-.-.
в клг,) о
т, яда
Рис. 1. Определение области допустимых значений относительных погрешностей у, и у2 измерения регистрируемых сигналов Ni(E¡) и Ы2(.Е2) для достижения заданных погрешностей измерения толщины слоев Ак1 и Ак2.
Приведенные выше выражения для выбора необходимых относительных погрешностей измерения сигналов сделаны в предположении постоянства плотностей контролируемых материалов, хотя на практике возможны варианты их флуктуаций или погрешностей определения. Проведем оценку влияния неопределенностей плотностей материалов, выраженных в значениях Ар, и Др2, на погрешность измерения толщины слоев и на требования к точности измерения сигналов, используя подход, указанный при выводе выражений (4). Тогда в первом приближении будут справедливы следующие соотношения:
ДА[ М.^пЬ Дд илиДА/^-Адр 1= МВ^+МЦ; (7) М22-Щ2Ы Р1 Р1
Д/г2 = | МУ1±ЁцЬ + ^ Др2 или Д/ь/ = М, - Др2 =
р2
||1„Ц22-|Х,2|121| р2
И2ЛГ1 +ЦцУ2 1М-11М-22 М-12^21
(8)
На основании полученных выражений (7) и (8) можно сделать следующие выводы:
1. Погрешность измерения толщины конкретного слоя увеличивается за счет дополнительной погрешности из-за флуктуаций плотности материала именно этого слоя и не зависит от флуктуаций плотности другого слоя при фиксированных значениях У1 и у2.
2. Дополнительная погрешность измерения толщины конкретного слоя пропорциональна относительной флуктуации плотности материала и толщине этого слоя, что позволяет говорить в этом случае о зависимости погрешности от размеров объекта контроля.
3. При заданных значениях погрешностей измерения толщины слоев флуктуации плотностей материалов приводят к уменьшению области допустимых значений относительной погрешности измерения сигналов или исключению решения поставленной задачи. Например, при ДЛ2 = 0,2 см; /г2 = 10 см; (Др2/р2) = 0,01 рассчитанное по формуле (8) значение Д/г2* = = 0,1 см, что фактически уменьшает значения у, и у2 в два раза (СИ, рис. 1а), а это эквивалентно необходимому увеличению в четыре раза значений сигналов (времени измерения) при учете только статистической погрешности.
Рассмотрим вопрос выбора энергий гамма-квантов Ех и Е2, соответст: вующих оптимальным значениям или квазиоптимальным (отсутствие выраженного оптимального значения, но наличие тенденции к улучшению характеристик), с учетом требований к точности измерений регистрируемых сигналов у, и у2. Вычислив для выражений (4) частные производные Э(Д/г,)/ЭЕх, Э(Д/г,)/ЭЕ2, Э(Д/г2)/Э£'1, Э(Д/г2)/Э£2 и приравняв их к нулю, получим следующие соотношения для установления оптимальных значений Ех и Е2, если такое решение имеется (пересечение кривых, соответствующих правой и левой частям уравнений):
М-12 М-пУг+ШгУ! т'п тх2у2+т22ух
(9)
Е2 = £2ор1, если ^ = Ц"У2+Ц2|У' шт< = т»Ъ+т»У\ (10) М-22 МчгУг+ М-22У1 т22 тх2у2+т22ух
где р'у = Э(Х,уЭ£,; т'^ - Эту/Э£,; и т,у — линейные и массовые коэффициенты ослабления излучения.
Из анализа выражений (9) и (10) можно сделать следующие выводы:
1) оба выражения соответствуют минимизации как Д/г,, так и Д/г2;
2) полученные соотношения для массовых коэффициентов ослабления излучения показывают независимость оптимальных значений Ех и Е2 от плотности контролируемых материалов и их размеров;
3) для детального анализа значений и соотношений оптимальных энергий Ех и Е2 необходимо рассмотрение конкретных композиций материалов.
В качестве примера реализации полученных соотношений для выбора оптимальных параметров метода толщинометрии рассмотрим композицию материалов алюминий—углерод с первым слоем из алюминия {]'= 1) и плотностью углерода р2 = 1,6 г/см3 (при необходимости). В расчетах использовались данные для линейных и массовых коэффициентов ослабления гамма-квантов в интервале энергий (0,04—1,25) МэВ, приведенные в [5] и таблице. Для вычисления частных производных |х'у = = ЭЦу/ЭЕ, по табличным данным применялась формула Лагранжа [6], а результаты даны в приведенной таблице.
На рис. 2а приведены рассчитанные зависимости правой и левой частей уравнения (10) для определения Е2ор1 при минимальном значении Ех = 0,04 МэВ в рассмотренном диапазоне и различных соотношениях у,/у2. Как видно из полученных данных, во-первых, существуют четко выраженные оптимальные значения Е2 (точки пересечения кривой 1 с кривыми 2, 3, 4) для различных у,/у2> и, во-вторых, в диапазоне малых энергий Ех и Е2 изменение соотношения у,/
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.