КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 5, с. 484-492
УДК 523.2+629.7
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАССИВНОЙ ОРБИТЫ С ПОМОЩЬЮ ГРАВИМАНЕВРА
© 2008 г. И. И. Смульский
Институт криосферы Земли СО РАН, г. Тюмень JSmulsky@mail. ru Поступила в редакцию 26.03.2007 г.
Применяется высокоточный метод расчета гравитационных взаимодействий для определения оптимальной траектории. Рассмотрен ряд задач необходимых для определения оптимальных параметров при старте аппарата и при его прохождении вблизи небесных тел. Численным интегрированием уравнений пассивного движения аппарата и движений планет, Луны и Солнца определялись траектории аппарата. Подбором начальных условий определена оптимальная траектория аппарата при приближении его к Солнцу.
PACS: 45.40. Gj
1. ВВЕДЕНИЕ
Существует ряд космических задач, в которых требуется запуск аппарата на определенную орбиту вокруг Солнца. Например, при появлении опасного астероида с целью разведки, изучения его физических свойств, проведения технологических мероприятий и выполнения работ по предотвращению опасности возникает необходимость многократных полетов к нему [1]. В связи с этим большое значение приобретает минимизация затрат на такие полеты.
Для исследования Солнца, мониторинга его воздействия на Землю рассматриваются разные варианты орбит аппаратов. С целью удешевления их запуска используют тяготение соседних с Землей планет. Например, в работе [2] рассматриваются достижение аппаратом расстояния 0.18 а. е. (астрономические единицы) от Солнца за 5.8 года с помощью пяти гравиманевров у Венеры и Земли. В других вариантах [3] с многократными гра-виманеврами аппарат приближается на расстояние 0.137 а. е. от Солнца за 1.7 года и на расстояние 0.14 а. е. за 2.5 года. В этих вариантах используются маршевые двигатели, необходимые для коррекции траектории.
Проблема оптимального полета зависит от множества факторов, и в каждом конкретном случае их роль может меняться. Одни из них очевидны, а другие могут быть выявлены только в результате решения конкретных задач. В настоящей статье рассматривается проблема оптимизации полета аппарата к Солнцу. Ряд разработанных для этой цели методов могут быть использованы и для других космических задач.
Рассматривается возможность вывода аппарата на орбиту в окрестность Солнца при коррекции траектории с помощью тяготения планет, а не маршевых двигателей. В этом случае требуемую начальную скорость полета аппарату можно
задать стартовыми двигателями у Земли. Далее весь полет будет происходить в пассивном режиме. Так как маршевые двигатели для коррекции траектории не потребуются, то стартовый вес всей системы уменьшится, и стоимость запуска существенно снизится.
Для реализации такого варианта полета необходимо иметь надежный метод расчета траектории полета. Только в случае, если реализованная траектория будет совпадать с заблаговременно рассчитанной, можно будет отказаться от маршевых двигателей. Такой метод расчета движений тел, находящихся под воздействием сил тяготения, нами разработан для исследования эволюции Солнечной системы [4]. Кроме того, движение аппарата происходит по сложной пространственной кривой при взаимодействии его с телами при разнообразных относительных скоростях, как при старте аппарата, так и в процессе движения. Чтобы достигнуть желаемого результата, необходимо учесть все без исключения геометрические факторы движения. Так как для выбора начальных условий и анализа результатов потребуются решения ряда задач, то вначале они будут рассмотрены.
2. ЗАВИСИМОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
К СОЛНЦУ ОТ СКОРОСТИ СТАРТА
Запускаемый с Земли аппарат имеет ее орбитальную скорость vE. Для того чтобы его траектория была направлена к Солнцу, нужно уменьшать эту скорость, т.е. запускать аппарат против орбитального вращения Земли. При скорости аппарата относительно Земли утс = -Vв, он будет перемещаться по радиусу к Солнцу. При меньших по модулю скоростях аппарата его траектория будет эллиптической и в перигелии он достигнет наименьшего расстояния Ярг до Солнца. Найдем это расстояние в зависимости от начальной скорости аппарата vroc на основании решения задачи
Рис. 1. Схема запуска аппарата в плоскости орбиты Земли против ее орбитальной скорости va■g.
взаимодействия двух тел [4, 5]. Рассматриваем движение аппарата и Земли при воздействии на них Солнца. Уравнение траектории тела с массой т в безразмерном виде в полярной системе координат (см. рис. 1), в начале которой расположено тело массой М, запишется в виде:
r =
1
/-0 Ч2 / 0 1 Ч2 / Ч 0
(и°0) + (а° + 1 ) cos(ф - ф0) - ai
(1)
где г = г/г0 - безразмерный радиус положения аппарата относительно тела М; а? = Ц1/(г0 и^о) - параметр траектории по отношению к начальной точке г0 траектории; = -О(М + т) - параметр взаимодействия; О - гравитационная постоянная; г0, ф0 - полярные координаты начальной точки; ^ю, ^ - трансверсальная и радиальная скорость в
ней; V°0 = vr0/vt0 - безразмерная радиальная скорость.
Если в качестве начальной точки выбрана точка перицентрия г0 = Яр, то, vr0 = 0; и°° = 0; и ф0 = 0. Уравнение (1) при этом упростится:
r=
1
(a1 + 1 )cosф - a/
(2)
где ф отсчитывается от R
Здесь параметр траектории а! обозначен как
а1 = мУ(Кр ир), где ир - скорость аппарата в перигелии. Отметим, что в этом случае радиус апоцентра Яа, скорость в нем va и период обращения Т, в случае замкнутой орбиты, определяются следующими выражениями:
Ra = Ra / Rp = -1/( 2a1 + 1 ),
Ûa = U a / U p = 1/Ra,
T = ?Л Rp
2a1 n
(3)
( -2 a1 - 1 )
3/2'
Кроме того, запишем выражения для радиальной иг и трансверсальной и скоростей:
и.
= иг/и p = 7(a1 + 1 )2- (a1 + 1/r )2 ;
uf = Ut/Up = 1/r ;
(4)
а также для эксцентриситета е орбиты и зависимости между параметрами траектории:
е = -( 1 + 1/a1 ), a1 = a?Rp/R0. (5)
Уравнение (2) при a1 = -1 представляет окружность; при -1 < a1 < -0.5 - эллипс; при a1 = -0.5 -параболу; при -0.5 < a1 < 0 - гиперболу; при a1 = 0 -прямую.
Пусть в афелии орбиты Земли (см. рис. 1) запускается аппарат с массой m и скоростью относительно Земли vroc. Здесь алгебраическое значение скорости vroc отрицательно, если аппарат направлен против орбитального движения Земли. Тогда скорость аппарата в его афелии var = vaE + + vroc и радиус его афелия Rar = RaE, где параметры с индексом "E" принадлежат Земле, а "roc" и "r" - относятся к ракете, т.е. к аппарату. Согласно (2) запишем параметры траектории Земли и аппарата
RpEv pE
2 ; a1r =
2
R v
Лpr v pr
(6)
где параметр взаимодействия = -ОМ принимаем одним и тем же для этих двух тел, т.к. их массы по сравнению с массой Солнца М малы.
Исключая из (6) получаем
RpE vpE
E 2 . R v
pr v pr
(7)
Выразив параметры перигелия через параметры афелия с помощью (3), после подстановки их в (7) получим уравнение для а1г, в результате решения которого найдем параметр траектории аппарата
a
1E
( 1 + v roc/ v a E ) ( 2 a1E+ 1 ) -2 a^
(8)
С учетом того, что Яаг = ЯаЕ относительный радиус перигелия аппарата в соответствии с (3) запишется (Ярга - дополнительный индекс "а" определяет аналитический способ вычисления):
a1E =
a1r =
R / R =__
лрга Е
(1 + Vroc/ VaE) ( 2а! Е + 1 )
(1 + V ^/ V аE )2 (2а1Е +1) _ 2 а1Е
(9)
Расчет по формуле (9) при а1Е = -0.9942421 дает следующие значения в астрономических единицах наименьшего приближения аппарата к Солнцу Ярга при его начальной скорости запуска vroc:
^ос, км/с -10 -15 -20 -25 -30
Ярга, а.е. 0.280125 0.140905 0.058634 0.014472 1.313 ■ 10-5
▼в
3. ОПТИМАЛЬНЫЙ СТАРТ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ К СОЛНЦУ
При воздействии всех планет Солнца и Луны движение аппарата будет отличаться от рассмотренного при воздействии только Солнца. Значительные влияния внесет воздействие Земли в начальный период полета. Это приведет к большим значениям Ярг по сравнению с выше рассчитанными величинами Ярг.а. Затем сильное воздействие могут оказать та планета, близко от которой будет проходить траектория аппарата.
Для численного интегрирования уравнений движения аппарата совместно с перечисленными 11 телами Солнечной системы используется программа Оа1асИса, разработанная нами для исследования эволюции Солнечной системы. Метод решения и доказательства его достоверности представлены в работах [4-8]. Программа позволяет с высокой степенью точности решать задачи взаимодействия тел в Солнечной системе по закону тяготения Ньютона. В работе [4] приведены 9 методов контроля точности решений, которые используются для доказательства их достоверности. Была исследована структура погрешностей по телам, координатам, скоростям и направлениям. Погрешность уменьшается с увеличением радиуса орбиты. Преобладающей является погрешность в орбитальном направлении. Поэтому наиболее представительным показателем точности является относительное изменение момента количества движения 5М всей Солнечной системы. Например, при решении задачи о движении тел Солнечной системы за период 100 млн. лет с шагом АТ = 10-4 года и двойной длиной числа (17 десятичных знаков), относительная погрешность момента количества движения Солнечной системы составила 5М = 8 ■ 10-11. Расчет с расширенной до 34 десятичных знаков длиной числа и шагом АТ = 105 года даст погрешность 5М = 1.5 ■ 10-15 при счете за период 100 млн. лет.
Траектория аппарата рассчитывается за несколько лет. За этот период изменения момента равны, соответственно, 5М = 10-15 и при расширенной длине числа 5М = 1023. Погрешность рас-
т
Рис. 2. Угловые параметры Земли и аппарата в барицентрической экваториальной системе координат: 1 - плоскость небесного экватора; 2 - плоскость орбиты Земли (эклиптики); А и В - проекции Земли и аппарата на круг экватора; т - касательная к экватору в т. А; аЕ = уА, аг = уВ - прямые восхождения Земли и аппарата; 8е = ЕА и 8Г = ЯВ - склонения Земли и аппарата; 0е - угол наклона вектора скорости Уе Земли к плоскости экватора (к вектору т').
чета траектории аппарата имеет такой же порядок, как и погрешность орбиты небесного тела с идентичной кривизной траектории во всех точках орбиты за исключением участков сближения с небесным телом. На этих участках контроль точности, как далее будет показано, осущ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.