ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 6, с. 44-48
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
УДК 519.2
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛОЩАДИ ВЗЛЕТНО-ПОСАДОЧНОЙ ПОЛОСЫ*
© 2007 г. А. А. Дзотцоев, Ю. С. Кан, П. К. Шахлевич
Москва, МАИ (технический ун-т) Поступила в редакцию 26.06.06 г., после доработки 04.04.07 г.
Рассматривается задача выбора оптимальных геометрических параметров взлетно-посадочной полосы с учетом ограничения на вероятность успешной посадки. Задача сводится к оптимизационной задаче с квантильным критерием качества, для которой с использованием доверительного метода удается получить аналитическое субоптимальное решение.
Введение. В статье рассматривается задача выбора геометрических параметров взлетно-посадочной полосы (ВПП), предназначенной для посадки тяжелого воздушно-космического летательного аппарата (ЛА) типа "Буран", из условия минимума площади ВПП с учетом ограничения на вероятность успешной посадки. Аналогичная задача рассматривалась ранее в [1], где ее предложено решать специальными численными методами. Ниже приводится аналитическое решение этой задачи. Необходимо отметить, что задачи анализа и синтеза системы управления для указанного ЛА на этапе предпосадочного маневрирования (предпоследнем участке полета) описывались в [2]. Отличие используемой ниже модели движения, заимствованной из [1], от моделей из [2] обусловлено тем, что посадка (последний участок полета) ЛА "Буран" управлялась лишь путем изменения угла крена. Требования к системам управления посадкой ЛА можно найти в [3]. В настоящей же статье система управления посадкой считается заданной. Предлагаемое ниже решение можно использовать для выбора уже существующей ВПП для посадки ЛА рассматриваемого типа.
Проблема оптимизации площади ВПП возникает в связи с двумя обстоятельствами. Во-первых, реальная посадка ЛА происходит под действием порывов ветра, что приводит к отклонениям ЛА от расчетной точки касания ВПП. В связи с этим ограничение снизу на вероятность успешной посадки является одним из важнейших требований, подлежащих обязательному учету. Во-вторых, ВПП представляет собой поверхность, покрытую высокопрочным дорогостоящим бетонным покрытием, что приводит к значительной стоимости каждого квадратного метра ВПП. Однако критерии стоимости и вероятности успешной посадки применительно к рассматриваемой ситуации имеют разные приоритеты. Ограничение снизу на вероятность успешной посадки является более важным и в ряде
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант < 05-08-17963).
случаев подлежит обязательному выполнению. Например, согласно требованиям Международной организации гражданской авиации (1САО), вероятность безопасной посадки должна быть не ниже 0.999999. Поэтому более разумной представляется постановка задачи, связанная с выбором параметров ВПП из условия минимума ее площади с учетом ограничения на вероятность успешной посадки, нежели обратная постановка, связанная с максимизацией вероятности успешной посадки при бюджетных ограничениях.
Данная задача формулируется ниже в разд. 1 как задача стохастического программирования с вероятностным ограничением. С помощью нелинейной замены переменных, предложенной в [1], в разд. 2 она сводится к задаче минимизации кван-тильного критерия качества. Основы теории оптимизационных задач с вероятностным и квантильным критериями качества заложены в [4], где предложена общая методология их исследования, получившая название "обобщенный минимаксный подход". Эта методология базируется на специальном подборе доверительных множеств в пространстве значений случайных параметров и сведении исходной вероятностной или квантильной задачи к минимаксной, в которой максимум берется по значениям случайных параметров в пределах доверительного множества, а минимум - по оптимизируемым переменным. Обобщенный минимаксный подход развит в [5, 6]. Современное состояние знаний в данной области достаточно полно отражено в [7], где обобщенный минимаксный подход получил современное название "доверительный метод". В [4] для гауссовского случая предложено фиксировать доверительное множество в виде эллипсоида, являющегося множеством уровня плотности вероятности, и обосновано, что его использование позволяет получить асимптотически точное решение квантильной задачи при близких к единице уровнях доверительной вероятности, задающей порядок квантили. Именно такая ситуация имеет место в рассматриваемой задаче, так как вероятность успешной посадки, как указано вы-
ше, близка к единице. Применение данного эллипсоида согласуется с рекомендациями, предложенными в [8] для оценки предельных отклонений параметров движения ЛА методами теории больших отклонений. Подобный эллипсоид используется в разд. 3 для аппроксимации исходной задачи минимаксной. Точность такой аппроксимации высока ввиду близости к единице вероятности успешной посадки. Поэтому решение минимаксной задачи является субоптимальным решением исходной и его удается получить аналитически, что осуществляется в несколько этапов в последующих разделах статьи.
1. Задача стохастического программирования с вероятностным ограничением. Для формализации задачи введем ряд обозначений. Пусть О -расчетная точка касания ВПП; 10 - номинальная длина пробега, равная расстоянию, пройденному ЛА от точки О до полной остановки при отсутствии внешних возмущений. Учет требований к вероятности успешной посадки достигается путем введения в рассмотрение следующих параметров: 11 - запас по длине ВПП на случай недолета до точки О; 12 - запас по длине на случай перелета; - полуширина ВПП. Площадь ВПП определяется выражением
S(Ii, /2, z) = 2zi(lo + lx + ¡2),
(1.1)
где символ = означает равенство по определению. Параметры 11, 12, ^ стеснены физическими ограничениями
¡1 > 0, ¡2 > 0, Z! > 0.
(1.2)
X = auWx + <
'12 | WZ ,
Z = a22Wz:
(1.3)
где ап, а12, а22 - известные коэффициенты. Такая модель влияния ветра используется в случае, когда посадка ЛА управляется лишь путем изменения угла крена [1]. Предположим, что Жх, - независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами М|ЖХ] = 0, МЩ] = 0, 0[Жх] =
= о], 0[Ж2] = о]. Заметим, что выполнение условия независимости при наличии корреляции между компонентами скорости ветра всегда можно добиться путем соответствующей ориентации ВПП (ориентации осей Ох и О2 вдоль собственных векторов ковариационной матрицы [9]). Посадка считается успешной, если
Поэтому указанное выше требование к вероятности успешной посадки можно формализовать в виде вероятностного ограничения
Р{-А < X < 12, 2 < } > а, (1.5)
где а - заданная величина, характеризующая требования к вероятности успешной посадки. Итак, сформулированная задача может быть формализована как задача минимизации
S(¡1, ¡2, Z1 )
- m in
(1.6)
при детерминированных ограничениях (1.2) и вероятностном ограничении (1.5).
2. Эквивалентная задача квантильной оптимизации. Преобразуем сформулированную выше задачу стохастического программирования с вероятностным ограничением к эквивалентной задаче квантильной оптимизации. Следуя [1], введем замену переменных
А /Т, А ¡1 А ¡0 + ¡1 + ¡:
ф = *jS, U1 = -, U2 =
2
(2.1)
¡2 2z1
Тогда с учетом (1.1) справедливы следующие выражения
ф , (фJU2- ¡0)U1
z1 =
2 U2
¡2 =
¡1 =
и
фТ^- ¡0
1
(2.2)
Ограничение по вероятности успешной посадки формализуем следующим образом. Пусть X и 2 -случайные отклонения точки касания ВПП от расчетной точки О вдоль продольной Ох и боковой 02 осей соответственно. Эти отклонения связаны с компонентами Жх и скорости ветра соотношениями
U1 + 1
В свою очередь вероятностное ограничение оказывается эквивалентным следующему:
Рф(U1, U2) = P{f(U1, U2, X, Z) < ф} > а, (2.3)
где
f(U1, U2, X, Z) = = max{f (U1, U2, X), f2(U1, U2, X), f3(щ, Z)},
U1 + 1
(2.4)
f1(U1, U2, X) =
U1
- ¡0
U2
X (1 + U1) + ¡0
f 2(U1> U2, X) =
f3(U2, Z) = 2\Z\Jü~2.
-¡1 < X < ¡2, |Z| < Z1.
(1.4)
(2.5)
(2.6) (2.7)
Поскольку площадь S в силу (2.1) связана с ф монотонным преобразованием, минимизация S эквивалентна минимизации ф. Поэтому задача стохастического программирования (1.6) с вероятностным ограничением (1.5) эквивалентна задаче квантильной оптимизации
f а(U1, U2) —- min , (2.8)
ы2 > 0
где fa(U1, U2) = т1п{ф : Рф(и1, u2) > а} - функция квантили уровня а для функции потерь J(ui, u2,X, Z).
3. Минимаксная аппроксимация задачи квантильной оптимизации. Известно [4], что в гаус-совском случае использование доверительного эллипсоида
* = |( », w,):(I1 + (W-l- '
где r определяется по а из условия
P{(Wx, Wz) е Br} = 1- е2 = а,
(3.1)
(3.2)
¥(М1> U2) =
(3.3)
X = aii wx + ai
w _
w _
-X = -аиwx - aul,. z
|Z| = |a22W;
» max
(wx, wz) е Br
max
(wx, wz) е ,
max
(wx, wz) е j
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Исследуем (4.1). Составим функцию Лагранжа
L(Wx, wz, X) = (auWx + ai21wz|) +
+ XI Гw
VG x
2- r2
G
(4.4)
где X < 0. Выпишем необходимые условия экстре мума первого порядка
дL(wx, wz) 2Xw
позволяет построить достаточно точную верхнюю границу
д w,
дL (w x, w z) д wz
= a.
= 0,
= ai2sign (w z)
2 X wz
= 0,
из которых получим
= max f(Ui, U2, X(wx, wz), Z(wz)) > fa(иъ щ)
(wx, wz) е Br
для функции квантили. Поэтому задача (2.8) может быть аппроксимирована детерминированной задачей математического программирования
иа, щ) = min и1, и2), (3.4)
Ui, U2 > 0
которая с учетом (3.3) имеет минимаксную структуру.
Задача (3.4) решается в несколько этапов с использованием кусочной линейности функции потерь fUj, u2, X, Z). В связи с перестановочностью операций взятия максимума на первом этапе ищем максимум на доверительном эллипсоиде (3.1) каждой из функций f1(u1, u2, X), f2(u1, u2, X), f3(u2, Z). В результате строятся три функции: F1(u1, u2), F2(u1, u2) и F3(u2). Верхняя огибающая этих функций определяется на втором этапе и равна y(uj, u2). На третьем этапе строится решение задачи (3.4) на основе аналитического представления для y(uj, u2).
4. Максимизация целевых функций на доверительном эллипсоиде. На этом этапе произведем максимизацию функций (2.5)-(2.7) по wx, wz на доверительном эллипсоиде. Для нахождения условного экстремума при заданном огра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.