Автоматика и телемеханика, № 7, 2008
Управление в биологических системах
и медицине
РАСЭ 02.30.Yy
© 2008 г. И.Д. КОЛЕСИН, канд. физ.-мат. наук,
Е.М. ЖИТКОВА (Санкт-Петербургский государственный университет)
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОТИВОЭПИДЕМИЧЕСКОЙ ПРОФИЛАКТИКИ ШКОЛЬНИКОВ
Исследуется возможность применения метода теории оптимального управления к построению экономных режимов профилактики школьников в период сезонного подъема острых респираторных заболеваний. Приводится модель сезонного подъема и сравниваются две схемы: двухэтапной оптимизации и скользящего плана. Делается вывод в пользу второй схемы. Даются численные примеры программ с оптимальными моментами переключения.
1. Введение
Ежегодная повторяемость сезонных подъемов заболеваемости острыми респира-торно вирусными инфекциями (ОРВИ) приводит к необходимости организации систематической защиты наиболее уязвимых групп населения. Среди них - школьники. Защита состоит в вакцинации, химиотерапии и санитарно-гигиенических мероприятиях [1, 2]. Реализация этих мер имеет ряд специфических трудностей. Одна из них состоит в изменчивости основного источника острых респираторных инфекций -вируса гриппа [3]. Отсутствие вакцин против других инфекций еще более усложняет проблему, побуждая применять дорогостоящие универсальные средства (интерферон). Однако и вакцинация в условиях густонаселенного города с его транспортными издержками - дорогое мероприятие. Необходимость уложиться в короткие сроки, не выходя за рамки имеющихся средств, требует разработки экономически приемлемых стратегий.
Создание эффективной системы управления профилактикой сдерживается рядом случайных факторов: неустойчивостью погоды, непостоянством состава возбудителей и другими случайными воздействиями. Можно разработать сначала стратегию, оптимальную для постоянных условий (детерминированный случай), а затем корректировать ее по результатам текущих измерений, минимизируя отклонения от оптимальной. Это - схема двухэтапной оптимизации. Другой подход состоит в использовании недельных прогнозов, отражающих изменение случайных факторов на предстоящую неделю. Это - схема скользящего планирования [4]. Представляется целесообразным сравнить эти две схемы.
5 Автоматика и телемеханика, № 7
129
Исследование возможности применения первой схемы сводится к построению модели и опробованию на ней методов построения оптимальных программ в детерминированном случае; здесь же - оценка возможности прогнозировать случайные изменения и корректировать по ним найденную программу. Анализ применимости второго подхода состоит в оценке возможности использовать краткосрочные (недельные) прогнозы для уточнения программ. Сравнение этих подходов может стать полезным при создании системы управления профилактикой. Заметим, что санэпиднадзор, осугцествляя наблюдение за эпидемической обстановкой и принимая необходимые меры, уже представляет систему управления профилактикой. Однако речь идет о системе оптимального управления, создание которой требует применения математических методов теории управления.
Затронутая проблема относится к числу трудноформализуемых. Причиной этому является сложная природа сезонных подъемов ОРВИ. В какой-то мере формализована лишь противогриппозная профилактика [5], но прочие ОРВИ, оставаясь в большей части неконтролируемыми, сводят эффект ее на нет. Особенности взаимодействия популяций хозяина и возбудителя [6, 7] вносят свою специфику в отображение управляющих воздействий. Эти особенности приводят к разным моделям, требуя разных методов решения задач оптимизации. Таким образом, содержанием статьи является: обоснование моделей, обозначение рода возникающих задач, указание методов их решения и сопоставление методов с выбором приоритетного.
2. Обоснование моделей и методов оптимизации
В основу модели сезонного подъема берем уравнения Кермака - Мак Кендрика [8] NN! = N = а^Жг - N3 =
(N1, Ж2, N3 - соответственно число восприимчивых, инфицированных и иммунных). Дополняя их слагаемыми ЬР N1, Ьр N1, получим
N = -аЯ1Я2 - ЬРN - арМ1Мрр,
N = аЯ1 N + ЬР N + ар N Я2р - в^2, N = в^2.
Слагаемое Ьр^1 связывается с ухудшением погодных условий, когда ослабление иммунной системы приводит к реактивации скрытых инфекций, а слагаемое ар N1 Мр -с заражением извне (Nр - число инфицированных среди прочего населения). В дальнейшем будем использовать более простую модель, пренебрегая при а^1 ^ в компонентой
Учитывая, что вакцинация не может обеспечить полную защиту (до 30% вакцинированных против гриппа могут заболеть [1]), наряду с плановой профилактикой проводится экстренная [2]: первая - в период, предшествующий началу сезонного подъема заболеваемости, вторая в период значительного подъема. Экстренная профилактика дополняет вакцинацию и состоит либо в повторной вакцинации, либо в химиотерапии (в частности, ингаляции), либо в специальных с а н и г а р н о ~ гигиенических мерах. В отличие от вакцинации химиотерапия является средством временной защиты, а санобработка - снижающим опасность заражения. Эти различия проявляются и в способах введения управляющего воздействия (и) в модель развития эпидемического процесса. Вакцинация отобразится как
NN1 = -аЯ1Я2 - и, Я2 = аЯ1 Я2, NN5 = и
(без учета выздоравливающих); химиотерапия как
NN1 = -а (Я1 - и) Я2, Я2 = а (Я1 - и) Я2, NN5 = 0
(временное подавление заболеваемости), санобработка -
N = -а (V - ки) N, N2 = а (V - ки) N, NN3 = 0,
(V - концентрация возбудителя в воздухе и на предметах, и - интенсивность санитарно-гигиенических мер, к - эффективность этих мер, 0 < к < 1).
Наличие массы бессимптомных (а при гриппе и аденовирусной инфекции их около половины [3]) значительно усложняет формализацию проблемы профилактики. Отсутствие средств быстрой диагностики острой инфекции не позволяет иметь достаточно точную картину числа инфицированных (N2). В этой ситуации более важным становится соблюдение назначенных сроков вакцинации. Так как число медицинских бригад и число транспортных средств ограничены, то саэпиднадзор имеет заранее разработанные схемы проведения вакцинации: более напряженные и менее. Это обязывает «привязывать» оптимизацию к разработанным схемам, предлагая переходить с одной на другую с целью экономии общих затрат.
3. Профилактика заболеваний
()
При построении модели оптимизации плановой профилактики учтем два обстоятельства. Чем больше интенсивность ( и) тем больших организационных затрат (Су) она требует: Су « и. Однако, чем она интенсивнее, тем меньше восприимчивых переболеет за время ее проведения и тем меньше средств (Сь) пойдет на лечение [9]. Объединяя эти эффекты, составим функционал
т
$(и) = У (срА + су и) Л,
где Т - длительность плановой профилактики, А - заболеваем ость (А = аЖ1Ж2 + + ар + ЬрN1), сь и су - удельные стоимости лечения и организации профи-
лактики (сь > су). Пусть заданы крайние значения интенсивности и: постоянные и1 и и2 такие, что и1Т > № а и2Т < № Независимо от выбора и требуется закончить профилактику к моменту времени Ь = Т. Показателем этого является: ^1(Т) = 0.
и1 и2
Тем самым приходим к задаче
(1) NN1 = -А - и, N = А или N = -а (Я0 - N - ¿и) N - aPN1NFр - ЬРЯ1;
(2) N^0) = N0, ^1(Т)=0, и е и = |иьи2} , и1Т>^0 > и2Т,
1
(3) / (сьА + суи) Л ^ шш
У и
где N = N1 (0) + N2(0) = соиб^ - заданная функция времени, определяемая из уравнений Кермака - Мак Кендрика для прочего населения:
(4) ^ = -арN1"^, = арN1р^Т - в^,
(5) N1р (0) = Np0, ^ (0) = N2р0, арN1р0 > в
(N■1'^ - чисто восприи^ивьк среди прочего населения, а Nр - число инфпцпро-ванных).
5* 131
Для решения задачи (1)-(5) составляется функция Гамильтона
Н = -10 (сь (а (Н0 - - и*) + арЯ1) + суи) + + р (-а (Н0 - - иг) - арN2- и) , 10 = 1, где множитель р находится из уравнения
р = -дН/дЯ1 = (10сь + р) (а (Н0 - 2Я1 - иг) + ар) ,
а выбор начального значения р(0) определяется условием ^1(Т) = 0 величина и определяется по знаку производной
дН/ди = а*^ 1 (¿0Сь - р) - ¿0су - р.
()
Ограничимся случаем, когда заболеваемость среди школьников определяется общим фоном заболеваемости в городе. Пусть N1^ и Nг - соответственно число восприимчивых и инфицированных в г-й школе, а Nр - число инфицированных в городе. Пусть ингаляцию выполняет школьная медсестра, обходя все классы утром. Так как эффект ингаляции развивается не у всех ингалированных, то при ежедневном ингалировании наличного числа учащихся (иг = N1^) эффект будет меньше этого числа на величину 6: (1 - 6) Мц, т.е. число остающихся восприимчивыми равно N - (1 - 6) и = N1 - ¿'и = Жь где 6' = 1 - 6. Тогда
(6) NN1г = -а ^ - 64) - Ь^н = -Аг, NN2 * = Аг,
(7) N^(0) = Лй, N^(0) + N^(0) = N4.
Предположим, что эффект разовой ингаляции держится ровно сутки:
{0 при г < г^,
N11 при г е ^, ¿й+1) , 0 при г > г^+1.
Последовательность импульсов иг с амплитудой М1i и длительностью т = 1 (сутки) можно заменить цельным импульсом с убывающей амплитудой М1i(г). Пусть стоимость лечения одного заболевшего составляет сь, а стоимость ингаляции - с/ (сь > с/). Положим ЬР = 0 и будем искать на промежутке [0,Т] такой момент наг (г )
лечения и ингаляции будет наименьшей:
1
(9) 5 = J (сРАг + С/и») Л
^ Ш1П .
и1
В отличие от предыдущей задача (6)-(9), (4)-(5) имеет свободный правый конец. Однако в силу линейности системы (6) производная дH/дМ1 г от функции Гамильтона Н = -10 [сьар ^^ - 64) N2 + с/иг] + р (-ар ^^ - 6'иг) N2), 10 = 1 не зависит от N14. Это позволяет и екать р(0) как решение задачи
^ = (10сь + р) aМ2р, р(Т) = 0.
( ) г г
ВОДНОЙ дН/диг = ¿0 (сьа6'N2 - с2) + paМ2■
3.3. Задача санитарно-гигиенической профилактики
Учтем, что концентрация вируса в воздухе (V) связывается с общим числом виру-соносителей. С ростом числа вирусоносителей растет и концентрация, что требует усиления санитарно-гигиенических мер для обеззараживания помещений. Такими мерами могут быть: ионизация, кварцевание и др. Эффективность этих мер максимальна в разгар заболеваемости. Будем полагать, что они проводятся ежедневно с постоянной эффективностью и = и, при этом начало меройриятий (£*) можно
Т
N1 (Т, и) - ^(Т, 0)= Е.
Пусть N1 - число восприимчивых школ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.