Автоматика и телемеханика, № 12, 2014
Заметки, хроника, информация
( 2014 г. В.И. ГУРМАН, д-р техн. наук (vig70@mail.ru), И.В. РАСИНА, д-р физ.-мат. наук (irinarasina@gmail.com) (Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН, Переславль-Залесский)
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ В СПИНОВОЙ ЦЕПОЧКЕ1
Рассматриваются задачи оптимальной передачи возбуждения в спиновой цепочке на основе уравнения Шрёдингера с различными типами гамильтонианов, содержащих линейное управление. Находятся точные решения для модели Ландау - Зинера и для аналогичных двуспиновых систем путем двукратного преобразования к производной системе, известного из теории вырожденных задач, в которой фазовыми переменными служат интегралы энергии. Предлагается подход к использованию этих решений для исследования многоспиновых цепочек.
1. Введение
Важный класс квантовых управляемых процессов составляют процессы в спиновых цепочках, описываемые уравнением Шрёдингера, гамильтониан которого линейно зависит, по крайней мере, от одного из возможных управлений
(1) ¿ = — гН (п,у)г, И = Н0 + diag{Нj (у)}п,
где г(Ь) - комплекснозначная п-мерная кусочно-гладкая вектор-функция, г -мнимая единица, и,(Ь), - кусочно-непрерывные функции, и € М, V € Мр, Н^ (V) - непрерывные действительные функции, Но - матрица взаимодействия спинов.
С квантовыми системами такого типа связаны исследования в области квантовых вычислений [1-4]. В частности, такие системы исследовались численно в серии работ с использованием нелокального итерационного метода Кротова [5] для оптимизации перевода системы из одного состояния в другое (см., например, [3]).
В [6] было показано, что такие задачи вырождены и для них эффективно приложение известного из теории вырожденных задач [7, 8] преобразования исходной задачи к некоторой регулярной производной задаче, особенно когда линейное управление не ограничено. Решение производной задачи называется магистральным. В данной заметке рассматриваются случаи, когда такое преобразование приводит к точным решениям либо к возможным хорошим
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 12-01-00256-я).
аппроксимациям глобально оптимального решения для последующего уточнения в итерационной процедуре с оценкой точности. В частности, как следствие общего решения, полученного в [6] для модели Ландау - Зинера, находится магистральное решение в аналитической форме задачи быстродействия для специальных граничных условий, представляющих наибольший интерес для цитированных выше приложений.
2. Постановка задачи
Рассматривается следующая задача оптимального управления:
t € [0, tF], z(0) = Zl, Umin ^ u ^ Umax, V € V С RP,
n
J = F (z(tF)) = |Zj (tF) - Z*|2 ^ inf, j=1
V - заданное множество, z* € Cn - заданное состояние. Непосредственно
nn
проверяется, что система (1) имеет инвариант S = ^ |zj(tl)|2 = IZj(t)|2.
j=1 j=i
Очевидно, частным случаем этой задачи финитного управления является задача о минимальном времени tF достижения состояния z* (когда функционал принимает нулевое значение), которая важна для оценки квантового скоростного предела (quantum speed limit, QSL) для данной квантовой системы. Задача может быть решена корректно как предел последовательности задач при различных значениях tFs < tFmin, когда F(z(tFS)) ^ 0. Однако в некоторых достаточно простых случаях, рассматриваемых в разделе 3, эта задача может быть решена непосредственно.
3. Точные решения для модели Ландау - Зинера и двуспиновых систем
Известная модель Ландау - Зинера [2] может рассматриваться как следующий частный случай общей модели (1) (в действительных переменных): N = 2,
Ho = ( 1 1 ) ■ H = ( h0Uh0u )■ hi = 1,h2 = -1,
x1 = ix4 + h1ux3, x2 = ix3 + h2ux4,
(3) x3 = —ix2 — h1ux1, x4 = —ix1 — h2ux2.
Согласно теории вырожденных задач преобразуем эту систему к эквивалентной производной системе. Соответствующая предельная система
(4) dx1/dr = h1x3u, dx3/dr = — h1x1u, dx2/dr = h2x4u, dx4/dr = — h2x2u
представляет собой систему из двух независимых осцилляторов с равными частотами, которая имеет три первых интеграла
y1 = (x1)2 + (x3)2, y2 = (x2)2 + (x4)2, y3
(2)
(7) f = со cos(20 + у3) = /3(у\в, у3),
(два интеграла энергии и фазовый сдвиг), из которых лишь два независимы с учетом инварианта исходной системы. При этом имеют место следующие обратимые соотношения:
х1 = л/у^соъв, ж3 = \AÄs'm6,
(5)
x2 = Vy2 cos(9 + y3), x4 = V y2 sin(9 + y3), y1 + y2 = C, где 9 - угловая координата x на траектории предельной системы.
Производная система получается в результате перехода к новым переменным y1, y2, y3, 9 посредством подстановки (5) в исходную систему (3) с учетом её инварианта:
(6) у1 = —2w\/yl(C — у1) sin(20 + у3) = ¡Ну1, в, у3), t € [0,ÍF],
■ 3 с
— '.i—
у/уЧС-УЧ
y1(0)= y1, y3(0)= y3, F(y(tF)) ^ inf, F(y)=min F (z(y,9)).
и
Для этой системы второго порядка задача оптимального быстродействия может быть решена (и фактически решалась в [6] графически) в форме синтеза для любых y3, y1 € (0, C) путем построения семейства характеристик (фазового портрета) соответствующего уравнения Беллмана на плоскости (y1, y3).
Однако для специального случая граничных условий (y1(C — yl))i,F = 0, который исследовался численно (в исходных терминах) в [2], решение получается аналитически. Для этого исключается уравнение (5) относительно y3 (правая часть которого сингулярна при указанных условиях), и тем самым делается повторный переход к производной системе (первого порядка), где y3 играет роль управления. Соответствующая производная задача решается непосредственно путем построения верхней и нижней границ решений этой системы из начальной точки y1(0) = 0 либо y1(0) = C как решений при sin(26» + у3) = ±1 :
у1 = ±2 иу/уЦС-у1).
Эти простые уравнения интегрируются аналитически в пределах y1 =0; C или y1 = C; 0. В результате получается (например, при ш = 1, y1(0) = 0):
y1 = (sin t)2, tF min = п/2
(независимо от значения C). Из уравнения (7) для y3 получается: 29 + y3 = const при t € (0, tF); допускаются скачки, когда t = 0 и t = tF. Скачки определяются, как только заданы начальное x(0) и конечное x(tF) = x* состояния. Это типичные магистральные решения с магистралью, определяемой равенством cos (29(t) + y3(t)) = const = 0, t € (0, tF).
Аналогично исследуются двуспиновые цепочки как частные случаи модели (1): N = 2, H = ( £1 a;2 ), H = ( h0U ), «12 = a21. В де™-
тельных переменных имеем:
x1 = a11x3 + a12x4 + uh1x3, x2 = a21x3 + a22x4 + uh2x4,
(8) x3 = —(a11x1 + a12x2 + uh1x1), x4 = — (a21x1 + a22x2 + uh2x2).
Первые интегралы (у1, у2, у3) соответствующей предельной системы почти совпадают с таковыми для модели Ландау - Зинера (3):
y1 = (x1)2 + (x3)2, y2 = (x2)2 + (x4)2, y3. Они связаны с исходными переменными соотношениями, аналогичными (5):
х1 = \/у* eos в, х3 = \/у^ё'тв,
(9)
x
(0+y3
x
4 -Па
Sin [^(в+у3)), у1+у2 = С,
подстановка которых в исходную систему (8) (с учетом инварианта) приводит к производной системе:
(10)
(11) y3 =
у1 = 2a\2 \/yl(C — у1) sin (^(в + у3) - ,
/?'2 1 о. «11 —«22 "Г" +0-12
h1.
При а11 = а22 и h2 = h1 здесь нет управляющих переменных. Однако переход между y1 = 0 и y1 = C (с тем же минимальным временем tp = п/2) находится совершенно аналогично: отбрасывается второе уравнение, и строятся верхняя и нижняя границы y1(t) при sin y3 = ±1. Легко видеть, что уравнение (11) выполняется всюду на (0,tp), скачки y3 возможны только в граничных точках.
Если йц = а2 2, то второе уравнение таким образом исключить нельзя; оба уравнения должны решаться совместно; при этом, как видно, | sin y3 (t) | ^ 1, |yy1(t)| будет меньше своей верхней границы, а время перехода - больше п/2.
4. Приложение к многоспиновой цепочке
Полученные выше решения важны для оценок минимального времени передачи возбуждения вдоль N-спиновой цепочки со следующей матрицей взаимодействий спинов [3]:
( -1 1 0
Но
10 -2 1 1 -2
000 000
0
0 0
-2 1 1 -1
Представим эту цепочку как систему из N — 1 элементарных двуспиновых подсистем, следуя физическому объяснению процесса передачи, приведенно-
му в этой работе:
(12) ¿з = — ((Яад + diag(hlj,Н2з)«) гз + ЯУ+ я23£7+1), t € [0, ¿р3, * € [0, , ^ = 1,...,Ж - 1, £ = (г] =
1, Й27 у , а1з
_ ( Ьц 0 ^
V 0
Н12 0( =
Н13 3 1=
н07
V А /
= ( Т 0 Ь = , 3 =2,...,ж - 2,
0 О ' Я11 = -1) = 0'
Иц£-1 = (¿1-1, 0)Т, Щ£¿ + 1 = (0, 7+1)Т.
Формально такое представление может трактоваться как дискретно-непрерывная сеть операторов (см. рисунок) [9, 10], где взаимосвязанные операторы - двуспиновые подсистемы. Это открывает возможности их исследования с помощью достаточных условий оптимальности для дискретно-непрерывных
-21(Ы)
- 1 + 1 - 1 Рисунок.
моделей сетевой структуры [10]. Однако некоторые простые нижние оценки минимального времени передачи можно получить, рассматривая эти двуспи-новые звенья как независимые управляемые системы путем решения достаточно простых задач оптимального управления, аналогичных рассмотренным выше с ограниченными управлениями, замещающими нарушенные связи. Если при этом окажется, что связи между подсистемами выполняются, то это будет означать, что получено точное решение. Иначе управление, полученное в ходе простого оценивания, может быть использовано для построения допустимого решения как начального приближения в итерационной процедуре и верхней оценки времени передачи.
5. Заключение
Приложение специальных методов теории вырожденных задач позволило получить точные аналитические решения задач о минимальном времени передачи возбуждения для известной модели Ландау - Зинера и аналогичных моделей двуспиновых систем. Их предложено использовать для исследования многоспиновой цепочки как каскада из N — 1 элементарных двуспиновых подсистем - дискретно-непрерывной модели сетевой структуры с приложением достаточных условий оптимальности и глобальных оценок.
Практическая реализация требует уточнения реальных условий задач и ограничений во взаимодействии с физиками, такими как авторы цитированных выше содержательных работ. Поэтому представленные результаты можно рассматривать как возможн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.