АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 5, с. 408-418
УДК 521.14
ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫМ ГАРМОНИКАМ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА ЗЕМЛИ
И ЕГО ПРОИЗВОДНЫХ © 2013 г. M. С. Петровская, А. Н. Вершков
Главная (Пулковская) Астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург Поступила в редакцию 20.12.2012 г.
Наиболее распространенной формой представления гравитационного потенциала Земли является ряд сферических гармоник. Этот ряд сходится вне и на поверхности сферы относимости, объемлющей Землю. Однако поверхность Земли лучше аппроксимируется не сферой относимости, а эллипсоидом относимости — сжатым эллипсоидом вращения, также заключающем внутри себя всю Землю. На этом эллипсоиде, а также на других внешних эллипсоидах вращения, софокусных по отношению к нему, гравитационный потенциал раскладывается в ряды по эллипсоидальным гармоникам. В отличие от сферических гармоник, зависящих от присоединенных функций Лежандра первого рода, эллипсоидальные гармоники зависят от функций Лежандра второго рода. Последние содержат гипергеометрические ряды Гаусса, которые сходятся очень медленно. При этом число таких рядов возрастает для производных от потенциала при увеличении их порядка. В настоящей работе построены новые ряды по эллипсоидальным гармоникам для гравитационного потенциала Земли и его производных. Начиная с производной первого порядка, все ряды для производных зависят от одних и тех же двух гипергеометрических рядов Гаусса. Сходимость этих рядов существенно ускорена по сравнению со сходимостью гипергеометрических рядов, использовавшихся ранее в разложениях потенциала и его производных.
Б01: 10.7868/80320930X13040051
ВВЕДЕНИЕ
Традиционно гравитационный потенциал Земли представляется в виде ряда сферических гармоник с коэффициентами С„т, являющимися фундаментальными константами гравитационного поля — стоксовыми постоянными. Стоксовы постоянные используются при построении теорий движения спутников и при решении многих задач
геодезии и геофизики. Величины С„т определяются, главным образом, на основе данных о силе тяжести, измеренных на поверхности Земли и средуцированных на сферу, объемлющую Землю (сферу относимости). Во внешнем пространстве между этой сферой и поверхностью Земли ряд по сферическим гармоникам расходится.
Форма поверхности Земли лучше аппроксимируется не сферой относимости, а сжатым эллипсоидом вращения (эллипсоидом относимо-сти), который также заключает внутри себя всю Землю. На этом эллипсоиде, а также на других внешних эллипсоидах, софокусных по отношению к нему, гравитационный потенциал раскладывается в сходящиеся ряды по эллипсоидальным гармоникам. В частности, эти ряды сходятся в области между эллипсоидом относимости и
сферой относимости, где ряд сферических гармоник расходится.
Ряд по эллипсоидальным гармоникам для потенциала используется в качестве промежуточного при построении моделей гравитационного поля. Гармонические коэффициенты этого ряда вычисляются на основе данных о силе тяжести на поверхности Земли, после их редукции на поверхность эллипсоида относимости. С помощью линейных преобразований можно перейти от коэффициентов эллипсоидальных гармоник к сток-совым постоянным, которые более удобны для практических приложений.
В монографиях (Гобсон, 1952) и (Hotine, 1969) изложены основные положения теории рядов по эллипсоидальным гармоникам и ее применения к гравитационному потенциалу. Однако предложенные математические выражения, ввиду их сложной комплексной формы, неудобны для практических приложений. Jekeli (1988) существенно упростил выражения для эллипсоидальных гармоник, представив их в вещественной форме. Для функций Лежандра второго рода, входящих в эти гармоники, он ввел дополнительную нормализацию. Ряд авторов, в частности Gleason (1988), Sona (1995), Martinec и Grafarend (1997), Ardestani и Martinec (2001), Sebera и др. (2012),
Северный полюс
Рис. 1. Сферические и прямоугольные координаты.
рассмотрели вопросы приложения рядов по эллипсоидальным гармоникам к уточнению сток-совых постоянных и к решению ряда задач физической геодезии.
Наибольшие трудности в применении существующих выражений для эллипсоидальных гармоник в разложении потенциала Земли и его производных связаны с очень медленной сходимостью гипергеометрических рядов Гаусса, входящих в функции Лежандра второго рода, что приводит к громоздким вычислениям. В настоящей работе выведены новые выражения для этих функций и их производных первого и второго порядков и предложена общая методика построения таких выражений для производных любого порядка.
Выражения для функций Лежандра второго рода зависят от одного гипергеометрического ряда, а для их первых производных — от двух таких рядов. Используемые в литературе выражения для вторых и последующих производных от функций Лежандра содержат три и соответственно большее число гипергеометрических рядов. Новые выражения для вторых производных от функций Лежандра зависят только от тех же двух гипергеометрических рядов, что и первая производная. Показано, что последующие производные будут содержать также только эти два гипергеометрических ряда.
Сходимость новых гипергеометрических рядов существенно улучшена по сравнению со сходимостью использовавшихся ранее рядов.
Новые выражения для функций Лежандра второго рода, входящие в эллипсоидальные гармони-
ки, позволили существенно упростить и ускорить процедуру построения рядов по эллипсоидальным гармоникам для гравитационного потенциала и его производных.
РЯДЫ СФЕРИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ГАРМОНИК ДЛЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА
Рассматривается возмущающий гравитационный потенциал Земли T, равный разности между полным потенциалом V и потенциалом U нормального (уровенного) эллипсоида, представляющего собой сжатый эллипсоид вращения, внешняя поверхность которого является поверхностью равного потенциала U = const (Шимбирев, 1975).
На рис. 1 представлена прямоугольная геоцентрическая система координат x, y, z и сферические координаты r, 9, X рассматриваемой точки P — геоцентрическое расстояние, дополнение геоцентрической широты (полярный угол) и долгота. При этом
х = r sin 0 cos X, y = r sin 0 sin X, z = r cos 0.
(1)
Традиционно потенциал T раскладывается в ряд сферических гармоник
г (r, е, X) = a)
n=2 m=-n
n+1
tn,mYn,m((e,,
(2)
Плоскость xy
Рис. 2. Эллипсоидальные и прямоугольные координаты.
где
^(0, k = PnH (cos 0)
cos mk, m > 0, sin mi k m < 0,
(3)
а Pn\m (cos 0) представляют собой функции Лежандра первого рода.
В формуле (2) верхний индекс s в коэффициентах tnm означает, что поверхностью относимости является поверхность сферы.
На поверхности сферы относимости Ъа радиуса a ряд (2) приобретает вид
T(Г, 0, X) = ZZ СЛ„(0, b).
n=2 m=-n
Спектральные коэффициенты tf можно представить в виде
js _ kM с
ln,m = Cn,m,
a
s n,m
(4)
в (2) и (4)
(5)
где кИ — гравитационная постоянная, умноженная на массу Земли, а Спт — стандартные полностью нормированные коэффициенты сферических гармоник в разложении потенциала Т.
На рис. 2 представлены эллипсоидальные координаты рассматриваемой точки Р — малая полуось и сжатого эллипсоида вращения, дополнение 8 редуцированной широты в и долгота X. Через и обозначены фокусы эллипсоида.
Прямоугольные координаты х, у, z выражаются следующим образом через эллипсоидальные координаты
V2 2 u + E sin ô cos X,
У
= Vu2 + E2 sin ô sin X,
(6)
z = u cos ô.
Рассматривается семейство внешних сжатых эллипсоидов вращения, софокусных по отношению к нормальному эллипсоиду. Выбирается эллипсоид относимости, который заключает внутри себя всю Землю. Обозначим малую и большую полуоси этого эллипсоида как а и Ь, а его первый эксцентриситет как е. Через E = ae = const обозначен общий линейный эксцентриситет всех эллипсоидов вращения.
Эллипсоид относимости представлен на рис. 3.
На поверхности эллипсоида относимости и вне его потенциал T раскладывается в ряд по эллипсоидальным гармоникам
да n Sn л ( — )
T (u, ô, X) = XX^ß. f"! Yn, -n m ( E )
,(ô X).
(7)
n=0 m=-n
В этом выражении т| (и) — полностью нормированные функции Лежандра второго рода, введенные 1екеН (1988). Малая полуось и эллипсоида вращения заменяет собой геоцентрическое расстояние г в сферической системе координат.
ад
n
Рис. 3. Эллипсоид относимости.
В формуле (7) верхний индекс e в коэффициентах tnm означает, что поверхностью относимости является поверхность эллипсоида.
Гармоники Ynm(S, X) имеют вид, аналогичный (3),
feos mk, m > 0,
i и п (8)
[sinm k, m < 0.
На поверхности эллипсоида относимости ряд (7) становится рядом сферических гармоник относительно угловых переменных 8 и X
Y„,m(5, k) = P„,|m|(eos 5)
T(b,5,X) = XZ С^Д).
(9)
n=0 m=-n
Функция S„¡m (U) в ряде (7) имеет вид
m
S
nj m
(D
i
E2 ^2
n+1
„í n + Iml +1 n + Iml + 2 3 x F|-LJ-,-LJ-;n + |,
2 2 2
(10)
где F — гипергеометрическая функция Гаусса и
г = --
2 •
(11)
t
*n,m
-се
(12)
В работе (1екеИ, 1988) выведены линейные соотношения между коэффициентами ряда (2) и
коэффициентами ряда (7). Представим эти соотношения в более простом виде
В форме, аналогичной (5), можно представить и спектральные коэффициенты ¿Д в рядах (7) и (9)
кМт;е
, . k
7е = S А Y Л e Ts
' n,m ^n,|ЦЕ z , *-n,m,k 1 n-2k,m>
k=0
tn,m = Z Sn-2k,|m| (^)Лn,m,ktn-2k,m, k = k=0
(13)
n — m
Величины Л
e ил:,m,k для к = 1, 2, ..., k, про-
порциональные квадрату эксцентриситета эллипсоида относимости, вычисляются с помощью рекуррентных соотношений
Л'
= Лs = 1
ле
Л
n,m,k
n,m,0 1*-n,m,0 2
_е_
2k(2n - 2k + 1)
e2(2n - 2k + 3)
1 Л e
1 n,mk n,m,k-1,
(14)
2k(2n - 4k + 3)(2n - 4k + 5) k = 1,2, ..., k,
1 Лs
^ n,m,k n,m,k-b
где
2n - 4k + 1. 2n - 4k + 5 '
(15)
x [(n - 2k + 1)2 - m2][(n - 2k + 2)2 - m2].
В выражениях (13) квадратные скобки означают целую часть числа.
k
2
Из формулы (2) следует, что 7пт = 0 для п = 0, 1 и \т\ = 0, 1. Поэтому из первого равенства в (13) вытекает, что суммирование в рядах (7) и (9) также начинается с п = 2. Это обстоятельство будет принято во внимание в последующих преобразованиях.
НОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАН
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.