Автоматика и телемеханика, № 10, 2014
Робастные и адаптивные системы
© 2014 г. А.П. ГОРЯШКО, д-р техн. наук (ale-gory@rambler.ru) (Финансовый университет при правительстве РФ, Москва, НОУ ВПО Московский технологический институт)
А.С. НЕМИРОВСКИЙ, д-р физ.-мат. наук (nemirovs@isye.gatech.edu) (Технологический институт Джорджии, Атланта, США)
ОПТИМИЗАЦИЯ СТОИМОСТИ ЭНЕРГИИ В СИСТЕМАХ ВОДОСНАБЖЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ПОТРЕБЛЕНИЯ
Предлагается новая методология оптимизации системы управления насосными станциями в сложных системах водоснабжения. Эта методология включает учет неизбежной для таких систем неопределенности в потреблении воды. Традиционные методы оптимизации динамических систем с неопределенностью (многоэтапное стохастическое программирование и динамическое программирование) обычно приводят к моделям, не допускающим эффективного численного решения. Например, трудоемкость наиболее часто используемых методов динамического программирования зависит от размерности пространства состояний системы и становится неприемлемо большой уже при размерностях 3 или 4, что для систем водоснабжения соответствует трем или четырем насосным станциям и/или резервуарам. Представленный в работе подход основан на идеях робастной оптимизации и остается практичным и для гораздо более сложных систем, при условии что в отсутствие неопределенности система может быть описана задачей линейного программирования.
1. Введение
Оптимизация энергетических затрат в системах водоснабжения является важной практической проблемой. Достаточно упомянуть, что эффект от уменьшения потребления энергии в таких системах всего лишь на 5 % оценивается величиной ежегодной экономии в $ 48 000 000 [1]. Потому неудивительным является интерес практиков и исследователей к вопросам оптимизации системы управления насосами - основным потребителем энергии. Большинство работ в этом направлении нацелены на определение оптимальной последовательности включения и выключения насосных станций. Наиболее известным инструментом решения подобных задач стало динамическое программирование. Его применение в рассматриваемом круге вопросов начато в [2] и нашло продолжение в многих работах, см., например, [3-9] и ссылки в них. Кроме этого подхода, применялись практически все известные оптимизационные методы: нелинейное программирование [10, 11], линейное [12, 13]
и смешанное целочисленное программирование [14]. В последние годы были использованы популярные эвристические методы - из последних публикаций, в которых исследовано применение нейронных сетей для прогноза уровней и генетических алгоритмов для поиска эффективных алгоритмов управления, отметим [15, 16]. Практическая применимость всех этих работ существенно ограничена двумя обстоятельствами: нелинейностью гидравлических характеристик систем распределения воды и большой размерностью реальных систем (большим числом различных насосов, водонапорных башен и потребителей с различными характеристиками потребления). Существует и еще один принципиальный источник трудности исследуемой задачи -неопределенность потребления. Хорошо известно, что стандартные (детерминированные) модели математического программирования в условиях даже небольших отклонений фактических данных от номинальных (тех, что были использованы для построения решения) зачастую приводят к существенно неоптимальным или даже абсолютно недопустимым результатам (см., например, [17]). Неопределенность потребления обычно игнорируется в работах по оптимизации энергетических затрат насосных станций, хотя эта неопределенность является главным источником неопределенности в моделях распределения воды. Как правило, исследователи исходят из предположения, что им известны режимы потребления, например, из данных прогноза. Таким образом, по умолчанию предполагается, что изменения в потреблении мало влияют на допустимость полученного решения: или потому что они незначительны, или благодаря высокой точности алгоритмов прогноза. На практике же колебания потребления очень значительны (см. далее некоторые реальные данные), а о высокой точности прогноза приходится лишь мечтать. Существуют, конечно, методы стохастического программирования, в которых исходная неопределенность учитывается уже на этапе постановки задачи. Применительно к управлению водными ресурсами методы стохастического программирования использовались достаточно часто (см. [17]). Почти все работы, цитированные в [17], ориентированы на оптимизацию ожидаемого значения показателя качества и не позволяют оценивать возможности размена между риском получения недопустимого решения и потерями в качестве решения. Редким исключением могут служить многоцелевые модели, где изучаются методы минимизации потери воды [18], модели, в которых предполагаются штрафы за нарушения «мягких» ограничений [19], и модели оптимизации операций с резервуарами воды, где также предполагаются штрафы за нарушения ограничений [20]. В [17] показано, что методология из [21], примененная к планированию и управлению городскими водными ресурсами, может быть использована для получения решений, устойчивых по отношению к источникам неопределенности, присущим этим задачам. Таким образом, по крайней мере в принципе существуют методы решения оптимизации стоимости перекачки воды в условиях неопределенности потребления. Однако все эти методы учета неопределенности, включая стохастическое программирование и методологию из [21], обладают одним существенным недостатком. Все они предполагают наличие конечного множества сценариев, что приводит к необходимости решения крайне нетривиальной проблемы - построения «репрезентативного» множества таких сценариев. Когда речь идет о динами-
ческих процессах с не очень малой неопределенностью, «репрезентативное» множество вряд ли может иметь малую мощность. А значит, возникают серьезные проблемы численной реализации подобных методов. Все известные попытки разрешения подобных трудностей приводят к неоправданно большому числу ad hoc решений относительно числа рассматриваемых сценариев, коэффициентов размена между оптимальностью и надежностью и т.п. В результате предлагаемые методы не позволяют гарантировать допустимость получаемых решений даже в тех случаях, когда такое «надежное» решение существует и его получение «стоит» не очень дорого. Фактически традиционные методологии учета неопределенности применительно к проблемам управления водными ресурсами неспособны обеспечить «надежные» решения в случае, когда рассматриваемые системы имеют размеры, интересные для практического применения.
В последние годы все большую популярность приобретает новая (вернее, хорошо забытая старая) методология оптимизации при неопределенности в данных - робастная оптимизация (РО). Эта методология, впервые предложенная в [22] (1973) и начавшая интенсивно развиваться, после 20-летнего забвения, лишь в конце 1990-х гг., в настоящее время общепризнанно является одним из основных, если не основным, подходом к оптимизации в условиях неопределенности, имеет хорошо разработанную теорию и постоянно расширяющуюся область применений, см. [23] и ссылки в ней. Авторы полагают, что настоящая статья демонстрирует, что РО может быть успешно использована и для оптимизации управления водными ресурсами.
Концепция Робастной Оптимизации абсолютно прозрачна. Типичная задача оптимизации может быть сформулирована как
(1) min{/(x,(): F(x,() < 0} ,
где x € Rn есть вектор переменных управления, ( € Rm - вектор числовых данных, а /, F - заданные скалярная и векторная функции, определяющие структуру задачи. Задача с неопределенностью в данных P определяется как семейство всех задач (1) заданной структуры (т.е. с заданными /, F) и данными Z, пробегающими заданное множество неопределенности U. Понятие решения задачи с неопределенностью в данных вводится в РО следующим образом (начнем с самого простого варианта, который впоследствии будет расширен). Предположим, что решение x должно быть полностью определено (т.е. все переменные управления должны получить конкретные численные значения) в момент решения задачи, когда о настоящих данных известно только, что они принадлежат к множеству неопределенности. Предположим также, что ограничения в (1) являются жесткими - их нарушение абсолютно неприемлемо. В этих предположениях единственно возможными кандидатами на роль "решения задачи с неопределенностью в данных" являются робастно допустимые решения, т.е. те, которые остаются допустимыми при всех Z € U:
F(x,Z) < 0 V( €U.
Выберем среди робастных решений наилучшее по значению целевого функционала. Так как выбор тоже зависит от неопределенных данных, имеет
смысл говорить о минимизации гарантированного значения вир^и /(х>(). Минимизируя это гарантированное значение по робастно допустимым решениям, приходим к робастной постановке
описываемой задачи с неопределенностью в данных; эта постановка является обычной задачей оптимизации, хотя и с бесконечной (при бесконечном множестве неопределенности) системой ограничений. Оптимальное решение/значение задачи (2) называется оптимальным решением/значением задачи с неопределенностью в данных Р. Такое робастное оптимальное решение, если оно существует, является "абсолютно надежным" во всем, что касается выполнения ограничений (в предположении что "настоящие данные" в самом деле не выходят за пределы множества неопределенности). Можно опасаться, что цена достижения такой "абсолютной надежности" чрезвычайно высока (под "ценой" понимается ухудшение робастного оптимального значения по сравнению с "номинальным", отвечающим точно известным данным). Однако многочисленные примеры (см., например, [23], а также приведенные далее разультаты настоящей работы) показывают, что цена робастности может быть вполне приемлема, а порой и пренебрежимо мала. Этот, казалось бы, неожиданный результат объясняется тем, что многие практические задачи оптимизации обладают "массивным" множеством почти оптимальных решений. Игнорируя неопределенность и решая задачу с номинальными данными, обычно получаем в качестве решения граничную точку допустимого множества, а такая точка и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.