ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 1, 2015
УДК 62-192:621
© 2015 г. Вайнштейн В.И., Вайнштейн И.И., Михальченко Г.Е.
ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПРОФИЛАКТИЧЕСКИМИ ВОССТАНОВЛЕНИЯМИ
Институт космических и информационных технологий ФГАОУВПО "Сибирский федеральный университет", г. Красноярск
Рассматривается стратегия восстановления технических систем с несовпадающими функциями распределения наработок на отказ при аварийных и профилактических восстановлениях. Оптимальность стратегии определяется минимумом эксплуатационных затрат (средние затраты на восстановление в единицу времени). Получена формула интенсивности затрат, зависящая от стоимостей восстановлений и времени проведения профилактических восстановлений. Для различных законов распределения получены условия, при которых следует проводить предлагаемую стратегию.
Одной из возможностей обеспечения необходимых показателей надежности и эффективности работы технических систем является выбор и проведение оптимальной стратегии эксплуатации. В стратегиях эксплуатации рассматривают два вида восстановлений: аварийное и профилактическое, когда восстановление системы проводится в определенные моменты времени, не совпадающие с моментами отказа. Рассматривали две стратегии восстановления.
1. Стратегия Ca аварийных восстановлений, где проводятся только аварийные восстановления, Fa(t) — функция распределения наработки на отказ при каждом аварийном восстановлении. Имеем простой процесс восстановления [1].
2. Стратегия Cco — когда при каждом аварийном восстановлении элемент восстанавливается с функцией распределения наработок на отказ Fa(t); если элемент проработал без отказа заданный интервал времени т, то проводится профилактическое восстановление с функцией распределения Fpr(t).
Если в стратегии Cco проводятся полные восстановления (Fa(t) = Fpr(t)), то имеем известную стратегию под названием "восстановление в зависимости от возраста". В этом случае интенсивность затрат имеет вид [1]
Re(T) = Fa( Т ) + ^ 1 - ^(Т ) ) , (1)
ca¡( 1 - Fa(т))dt
0
где ca и cpr — средние эксплуатационные затраты на аварийное и профилактическое восстановление, соответственно. Интенсивность затрат стратегии аварийных восста-
Fa( t)dt — средняя наработка на отказ при
о
стратегии аварийных восстановлений ( Fa( t ) = 1 — Fa(t)).
Рассмотрим общий случай стратегии Cco, когда Fa(t) Ф Fpr(t). Пусть и пт — случайные времена между двумя последовательными аварийными восстановлениями и двумя последовательными восстановлениями произвольного вида, соответственно. Тогда имеем [2]
F^(t) = P(^ < t) = Fa(t) = 1 - Fa(t), 0 < t <T,
F^(t) = < t) = 1 - P(^ > t) = 1 - Fa(T)Fpr(t - T), T < t < 2T,
F^ ( t) = P(Ç% < t) = 1 - Fa(T) Fpr(T) Fpr( t - 2 T), 2t< t < 3t,
F^ ( t) = P(Ç% < t) = 1 - Fa(T)Fp- *(t) Fpr( t - n T), nT< t <( n + 1 )t . Вычислим математическое ожидание Ma(T) = F(ÇT) величины
œ T œ (n + 1)t
Ma (T) = J\( t) dt = |Fa( t) dt + £ Fa (t) F^ 1(t) J Fpr( t - n t) dt =
0 0 n = 1 T T œ
и -1
[Fa(t)dt + Fa( t) jFpr( t)dt Y Fp- 1(T) = [Fa( t)dt + Fa( t) fFpr( t)dt —-J--
J J ^ J J 1 - Fpr(T)
0 0 n =1 0 0
T T
T T Fpr(T) F(t)dt + Fa(t) jFpr(t)dt
= [Fa (t)dt + Ш Fp( t) dt = -0-0- = = ,
J aW Fpr(T)J pA) Fpr(T) Fpr(T),
00
T T
Ф(Т) = Fpr(T) ^Fa(t)dt + Fa(t) JFpr(t)dt.
0
Здесь использовали формулу У q = -, \q\ < 1 суммы бесконечно убываю-
¿-и = 1 1 - q
n =1 1 - q
щей геометрической прогрессии.
Вычислим математическое ожидание M(t) величины пт. Так как
Fa ( t ), 0 < t <T ,
Fц (0 = Р(пт < t) =
Д, t >т, то
т
М(т) = Е(Чт) = JFа( ^.
0
Обозначим через Мрг(т) математическое ожидание величины интервала времени между двумя профилактическими восстановлениями. В соответствии с элементарной
теоремой восстановления [1] Иш(Ш11 = - (где И(?) — математическое ожидание
t ц
числа отказов на промежутке (0, ц — средняя наработка элемента до отказа), тогда среднее число аварийных, профилактических и восстановлений произвольного вида в
T
T
0
единицу времени определяется величинами Ia = 1/Ма(т), I = 1/Mpr(x), I = 1/M(t). Из равенства I = Ia + Ipr имеем
J = j _ j = _J___L_ = 1 Fpr(T )
pr a M( т ) Ma ( т ) т Ф (t )
a(T)^Fpr(t t )dt
JX(t)dt Ф(т) JFa(t)dt
0 0 Отсюда интенсивность эксплуатационных затрат Ясо(т) стратегии Ссо определяется равенством
т т
CaFpr(T) jFa(t)dt + CprFa(T) JfFpr(t)dt
R„(t) = Ca Ja + CprJpr = -0-;-0-.
Ф(Т) jFa(t)dt
0
Если Fpr(t) = Fa(t), то формула интенсивности затрат Ясо(т) совпадает с формулой (1) интенсивности затрат стратегии Сс [1].
Для определения величины т, при которой функция интенсивности затрат Ясо(т) принимает наименьшее значение, исследуем ее свойства. Имеем
lim Rco(t) = lim ClMT. + lim V^ Um 0 т —^ 0 т —^ 0 Ф(т) т —^ 0 Ф(т) т —^ 0
^Fpr(t t) dt
JFa( t) dt
r Fpr(T) CprFpr(T)
= Ca lim — + lim --- = да.
\ — 0 ф(т) т — 0 ф(т)
Здесь учитывается, что при т —»- 0 (по правилу Лопиталя)
|Fpr(t)dt I IFpr(t)dt|
VJ 1 F (т) 1 lim 0- = lim - = lim F^ = 1 = 1
т —0 * т —0 /т |. т —0 Fa(T) 1
|Fa(t)dt I |Fa(t)dt I 00 и Ф( 0) = 0, Fa( 0) = 1, Fpr( 0) = 0.
Рассмотрим поведение функции Rco(t) на бесконечности, что соответствует не проведению профилактических восстановлений. Так как
lim Ф(т) = |>a(t)dt = ^, то lim Rco(t) = ^.
с — ю J т — ю [la
0
Заметим, что са/ца = Яа — интенсивность затрат стратегии Са только аварийных восстановлений. Характерные графики функции Ясо(т) интенсивности затрат в случаях существования и не существования минимума изображены на рисунках 1 и 2.
т
т
0
Рис. 1 Рис. 2
Рассмотрим разность интенсивностей затрат стратегий Ссо и Са У(т) = Кса(т) - Ка = СаУ1(т) + СрГУ2(т),
_ ^рГ(т) 1
_ Фто- ца., у2^ _
Fa(т) 'рг(,t)Л
0_
т
Ф(т) ^а(t)Л
Заметим, что у2(т) > 0, Ишт ^ юУ2(т) = 0.
Преобразуем функцию у1(т) и рассмотрим ее поведение на бесконечности
Fpr(т) JF.(t)Л - Fpr(т) JFа(t)Л - Г.(т) ^рг(t)Л
У-(т) _
Ф(т)Ца
Fpr(т) J'Fа(t)Л - Fa(т) 'рГ(.t)Л
F,
Fpr(т) - -
,(т) |Рр,( t )Л о_
да
а( t) Л
Ф(т)Ца
Ф(Т)Ц а
(2)
Если Ха(т) — интенсивность отказов при аварийных восстановлениях, то по правилу Лопиталя,
Иш
т ^ да
_ Г_ Цш _ Нш Хв(т) _ \в(«>).
да_ V т^да Fa (т) т^да "К ' а ;
Пусть
- - ^а(™)ЦрГ < 0,
(3)
тогда (по непрерывности) существует некоторое число т1, когда при т > т1 будет выполняться неравенство
т
0
да1
т
т
т
да1
да
т
т
т
Вид распределения Функция распределения Мрг
Экспоненциальное -аг г) = 1 - е , а > 0 а 1/а
Эрланга порядка п " - 1 к Д г) = 1 е а £ ^ , к = 0 а > 0 а п/а
Вейбулла-Гнеденко Д г) = 1-е , в, 9 > 0 0, если 0 < в < 1; 1/9, если в = 1; да, если в > 1 9Г(в +1)
Гамма-распределение ец) = Га г(в ), а, в > 0, 1 ; Г(в) , , р , да Г(в) = ^х, 0 аг Гаг(в) = |е Ххв -1 dx 0 а в/а
]Х( г) Л
и вместе с ним неравенство ^(т) < 0, которое следует из (2).
Пусть ^(т^ = -еь У2(т:) = С2, С > 0, С2 > 0, тогда у(т:) = Ясо(т1) - Яа = -е1еа + С2Срг и если
Са/Срг > c2/c1, (4)
то у(Т1) < 0 и Ясо(Т1) < Ла.
Таким образом, при выполнении условий (3) и (4) для стратегии ССо существует время т1, при котором интенсивность эксплуатационных затрат будет меньше интенсивности эксплуатационных затрат стратегии Са (в стратегии профилактические восстановления не проводятся).
Так как Ишт ^ 0ЛСо(т) = да и Ишт ^ шЛСо(т) = са/ца, то у стратегии ССо существует время т = т* > т1, при котором интенсивность эксплуатационных затрат будет минимальной и Лсо(т*) < Ла.
В общем случае, для конкретных значений параметров Са и Срг, величину т* находят с помощью численных методов.
В табл. 1 приведены различные случаи функций распределений при аварийных и профилактических восстановлениях и соответствующие им А,а(<») предельные значения интенсивностей отказов и црг математические ожидания. В табл. 2 приведены условия, при которых выполняется неравенство (3). Параметры с индексами 1 относятся к функциям Fa(t), а с индексами 2 относятся к функциям Fpr(t). Вместе с услови-
т
Профилактика Авария Экспоненциальное Эрланга Вейбулла—Гнеденко Гамма-распределение
Экспоненциальное а2 < а! а2 < п^ + *)> 1 /а- а2/Р2 < а1
Эрланга а2 < а[ а2 < п^ + *)> 1 /а- а2/Р2 < а1
Вейбулла— Гнеденко Р1 = 1 а2 < 1/91 а2 < п2/91 е2г(|-2 +1)>е- а2/Р2< 1/е1
Р1 > 1 а2 любое а2, п2 любые 92, Р2 любые а2, Р2 любые
Гамма-распределение а2 < а1 а2 < п^ е2г( - + *)> 1 /а- а2/Р2 < а1
ем (4) они дают возможность определить те случаи, в которых следует применять стратегию Ссо с профилактическими восстановлениями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход. М.: Радио и связь, 1988. 392 с.
2. Вайнштейн В.И. Математическое и программное обеспечение оптимизации проведения профилактических восстановлений при эксплуатации информационно-вычислительных систем. Автореф. дисс. на соискание уч. ст. к.ф.-м.н. Красноярск, 2006. 149 с.
Красноярск Поступила в редакцию 25.XI.2013
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.