РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 3, с. 292-299
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.372.824
ОПЫТ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛНОВОДНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ИМПУЛЬСНЫХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ НЕРЕГУЛЯРНЫХ КОАКСИАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
© 2004 г. В. И. Короза, М. Н. Голиков
Поступила в редакцию 29.10.2002 г.
Изложена постановка задачи о распространении электромагнитных импульсов с первоначальной структурой ТЕМ и финитной формой в нерегулярных коаксиальных линиях передачи во временном представлении. В основе метода ее решения - применение нестационарных волноводных уравнений. Приведены примеры расчета для линий с переменным сечением. Показана возможность достижения высокой точности расчетов (~0.05% и выше) и контроля их погрешности.
ВВЕДЕНИЕ
Возрастающий в течение последнего времени интерес к технике электромагнитных импульсов с короткими (например, субнаносекундными) временными параметрами [1, 2] стимулирует развитие теоретических методов электродинамики неустановившихся и импульсных процессов в нерегулярных линиях передачи и, в частности, расчетно-тео-ретических методов исследования распространения в таких линиях сверхширокополосных электромагнитных импульсов (UWB ЕМР).
При исследованиях монохроматических режимов работы нерегулярных электромагнитных волноводов, ограниченных стенками из металла, оказался плодотворным метод поперечных сечений [3-5], использующий идею редукции краевых задач математической физики к системам дифференциальных уравнений с меньшим числом независимых переменных [6]. В статье [7] метод поперечных сечений был распространен на исследование взаимодействия потоков заряженных частиц с периодическими волноводными замедляющими системами в линеаризованном гидродинамическом приближении. Отметим, однако, что при исследовании импульсных режимов работы, особенно в случаях UWB ЕМР, использование частотного анализа, заключающегося в определении монохроматических решений с последующим интегрированием по частотам (обратное преобразование Фурье), оказывается неприемлемым, так как при численном интегрировании по широкому частотному спектру быстро осциллирующих функций получение удовлетворительной точности расчетов становится весьма проблематичным. Это приводит к необходимости отказа от применения частотных представлений и к потребности в развитии новых более общих методов, обладающих высокой точностью расчетов и возможностью контроля их погрешности.
Не останавливаясь здесь на сеточных методах решения исходной электродинамической задачи, отметим среди возможных путей преодоления указанных трудностей возможности, заложенные в методе частичного разделения переменных [8, 9], на что обращено внимание в монографии [10]. Подобным методом автором указанной монографии были решены задачи о возбуждении секто-риального [11] и конического [12] рупоров. Однако такой подход пригоден лишь для ограниченного класса волноводов канонической формы и, к сожалению, не может быть использован для расчета более широкого класса нерегулярных волноводов.
Имеются также публикации по решению нестационарных задач методом интегральных уравнений с применением пространственно-временных представлений. Так, в статье [13] при помощи соответствующего численного метода, описанного в [14], приводится решение нестационарных уравнений Максвелла и исследуется влияние токов, возбуждаемых на внешней стороне открытых аксиально-симметричных резонаторов полями диполя и электронного сгустка, на характер излучаемого поля. Такой подход, в отличие от сеточных методов, позволяет более естественным образом рассматривать открытые электродинамические системы.
Остановимся на работах, в которых были показаны возможности обобщения основанных на применении идеи поперечных сечений методов и значительного расширения круга волноводных задач, которые могут быть поставлены и решены. Как было показано, при рассмотрении импульсных и неустановившихся процессов в нерегулярных волноводах волноводные задачи с помощью вариационного метода могут быть редуцированы к системам дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными (продольная координата г и время г) как для свободных [15], так и для вынужденных [16] колебаний - нестацио-
нарные волноводные уравнения. С помощью применения понятия "волноводов сравнения" нестационарным волноводным уравнениям может быть придана удобная и наглядная форма системы уравнений связанных струн, когда каждой волно-водной моде отвечает своя струна. При этом перекачка энергии между связанными струнами соответствует механизму взаимной трансформации мод. Адекватный учет этого механизма позволяет объяснить не только количественные, но и качественные расхождения, возникающие при распространении UWB ЕМР в нерегулярных волно-водных трактах, с представлениями обычной одномодовой теории линий передач из-за недостаточно полной адекватности этой теории строгому электродинамическому подходу. В частности, эксперимент [17] и выполненный методом [15] расчет для примера трапециевидного импульса структуры ТЕМ [18] указывают на это. Как было показано [19], применение метода нестационарных волноводных уравнений для исследования импульсных процессов в нерегулярном планар-ном слое обеспечивает высокую точность вычислений и возможность контроля их погрешности.
Здесь с помощью метода нестационарных волноводных уравнений [15] будут рассмотрены характерные примеры расчета импульсных процессов в нерегулярных коаксиальных волноводах. Важное преимущество такого подхода по сравнению с прямыми решениями уравнений Максвелла с помощью конечных разностей - в наглядности и обозримости результатов. В частности, динамика процессов взаимной трансформации мод, что при использовании прямых разностных методов явилось бы трудноразрешимой задачей, может быть непосредственно прослежена, как это будет показано далее. Несмотря на то, что приведенные ниже примеры ограничиваются лишь случаем распределенных гладких нерегулярностей, изложенный метод может быть успешно распространен и на более сложные случаи с включением сосредоточенных нерегулярностей, например, таких как: а) нарушения гладкости (изломы) граничных поверхностей; б) скачки диэлектрической проницаемости (например, включение диэлектрических втулок); в) топологические разрывы (сочленения волноводов с различной топологией поперечных сечений, в частности коаксиального, имеющего двусвязные сечения, с рупором с односвязными сечениями).
1. ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим билинейный функционал
J (H, Ho) =
= J{£-1 (rotH, rotHo) - |(дH/дt, дHo/Эt)}d4Q,
(1)
зависящий от двух независимых вектор-функций -
напряженностей магнитного Н (г, г) и вспомога->
тельного Но (г, г) полей. Здесь область интегрирования О - внутренность отрезка (0 < г < Т) 4-мерного цилиндра с осью времени г в качестве образующей, а в качестве направляющей - граничной поверхности отрезка (г1 < г < г2) волновода вдоль некоторой прямолинейной оси X (условия на выбор значений Т, г1 и г2 будут уточнены в разд. 3);
£ = е( Г± , г) и ц = Г±, г) - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды (г± - проекция г на ортогональную оси X плоскость). Условие стационарности
„
8-> J(H, Ho) = 0
Ho
(2)
при варьировании функционала (1) с условиями "закрепленных концов"
8Ho( r, z, to) = 8Ho (r, z, to + T) = = 8Ho(r, zi, t) = 8Ho(r, z2, t) = o
(3)
соответствует электродинамическому уравнению для H (r, t) внутри Q
rot (£-1rotH) + |д2 H/ д tL = o
и краевому условию [rot H, n ] = 0 на границах металла, которое для финитных импульсов соответствует условию идеальной проводимости.
2.НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНОВОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕРЕГУЛЯРНОЙ КОАКСИАЛЬНОЙ ЛИНИИ
Система нестационарных волноводных уравнений является системой уравнений Эйлера для вариационной задачи (1)-(2)-(3) и в векторно-ма-тричных обозначениях имеет вид [15, (7)]:
д/дz[G(z)д f/dz + Q(z) f] - QT(z)д f/дz -
(4)
- Р( г) / - Т (г )Э2 //д гА = 0.
Для рассматриваемого здесь случая нерегулярного коаксиального волновода координата г вдоль его оси и время г - независимые переменные. Предполагается, что и форма волновода, и характеристики заполняющей его среды, и распространяющееся в нем электромагнитное поле обладают симметрией вращения (т.е. не зависят от азимутальной координаты ф). Координатами /(г, г)
неизвестного вектор-столбца / (г, г) являются разложения единственной в интересующем нас случае азимутальной компоненты напряженнос-
Q
ти магнитного поля Н(гх, z, t) по модам волноводов сравнения
H(гх, z, t) = £(гх, z) f¡(z, t).
(5)
Размерности N столбца f (г, t) и квадратных N х N матриц-функций G(z), Q(z), P(z) и T(z), являющихся матричными коэффициентами системы (4), определяются числом N, равным количеству учитываемых в сумме (5) слагаемых. Эти матрицы-функции задаются своими матричными элементами, которые в рассматриваемом нами случае коаксиальной геометрии вычисляются по формулам
Ь( г)
Ь( г)
О,
,(z) = | е 1в5впгйг, Т„Хz) = | |е,е,гйг,
а( г)
а( г)
Ь (г)
г) = | е-1(е,)геп^г,
(6)
а (г)
Ь( г)
Р.
Г -1 -2
Xг) = ]е {(е,)г(е,)г + г (ге,)г(ге,)г}гйг.
а( г)
В приведенных равенствах Qт(z) - транспонированная Q(z); индексы г и г соответствуют дифференцированию по этим переменным. Пределы интегрирования в (6) определяются формами поверхностей внутреннего г = а(г) и наружного г = Ь(г) проводников (а(г) < Ь(г)).
В качестве набора базисных функций {е( Гх , г)} в разложении (5) будем использовать функции распределения поля в волноводах сравнения для рассматриваемого здесь случая коаксиальной геометрии:
е1 = 1/г ; е: +1 = N (X X:) /1 (х:г/а) -
(7)
- /о(Хх})N1 (х//а), ] = 1, 2, ...
В выражениях (7) X = Ь/а; х: (0 < х1 < х2 < х3 < ...) -корни уравнения
No(XXj)Jo(Xj) - /оСХх^оХ = 0.
Так как в общем случае для нерегулярного волновода X = Х(г), то и х: = х:(г). При этом амплитуда ^(г, t) соответствует магнитному полю моды ТЕМ, а остальные ^ + 1(г, г) (/ > 1) - магнитным полям мод ТМщ (волны Е-типа). Моды же ТЕщ (волны Н-типа), по предположению при t = 0 отсутствующие, в указанных условиях не возникают и поэтому здесь не учитываются.
Отмети
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.