АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2008, том 42, № 2, с. 99-118
УДК 521.1:514.122.2:514.752.6
ОРБИТАЛЬНЫЙ ПЫЛЕВОЙ ТОР КАК ОГИБАЮЩАЯ ПОВЕРХНОСТЬ СЕМЕЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ ИЗОТРОПНО ВЫБРОШЕННЫХ ЧАСТИЦ
© 2008 г. С. А. Орлов, К. В. Холшевников
С.-Петербургский государственный университет Поступила в редакцию 14.05.2007 г.
Падение метеоритов на малый спутник приводит к выбросу в космос массы реголита, во много раз превосходящей массу ударника. Пусть в момент t0 произошел изотропный выброс со скоростями, меньшими максимально возможной b. В силу неравенства орбитальных периодов траектории частиц плотно заполнят некоторую область D. Та же самая область заполняется при взрыве ИСЗ на высокой орбите. Через 1-3 месяца долготы узлов и перицентров распределятся по окружности и область D станет телом вращения, топологическим полноторием. Объектами исследования являются область возможного движения частиц и ее граница S сразу после ударного события (невозмущенный случай) и та же область в предположении, что начальные долготы узлов и перицентров успели претерпеть значительные изменения (возмущенный случай). В обоих случаях область D и ее границу S удалось построить аналитически: для S получены параметрические уравнения, содержащие лишь относительно простые функции. Полностью исследованы основные топологические и дифференциально-геометрические свойства S.
РАС8: 91.10.Sp, 96.15.Qr
введение
Как выяснилось в последние десятилетия, пылевые комплексы представляют собой распространенный тип населения Солнечной системы. Они возникают под действием различных механизмов, поэтому имеют как общие черты, так и различия.
Давно известны метеорные рои, вызванные выбросами материи из кометного ядра. Обычно выбросы происходят в узком конусе и далеки от изотропных. Орбита кометы весьма эллиптична. Поэтому моделирование поведения облака выброшенных частиц возможно только численными методами с последующим сравнением с наблюдениями метеорных потоков. Картина эволюции пылевого комплекса получается сложной и зависящей от многих параметров (Бабаджанов, Обрубов, 1991а; 19916; Рябова, 1989; 1997; Кайзер и др., 2003). В 1971 г. Soter выявил следующий механизм образования роя метеорной материи в окрестности маломассивного спутника типа Фобоса (Soter, 1971; Кривов и др., 1991; КЬо^Иеуткоу и др., 1993). Падение метеоритов на спутник приводит к выбросу в космос массы, во много раз превосходящей массу ударника. Поэтому характерные скорости выброса частиц значительно меньше скорости ударника, но из-за малости массы спутника они все же больше скорости убегания с поверхности. Таким образом, вещество поступает в космос и остается на орбитах Т, близких к орбите спутника. Получающийся метеорный рой заполня-
ет область В, заметаемую семейством {Т} (рис. 2). В 1960-х гг. обнаружилось, что взрыв ИСЗ, а также столкновение двух ИСЗ ведут к образованию роя осколков, подобного вышеописанному пылевому рою вокруг орбит естественных маломассивных спутников. Математически задачи описания области В в этих двух случаях эквивалентны. Математически эквивалентна им и задача построения области достижимости при одноимпульсном полете с кеплеровой орбиты (Кирпичников, 1990; Малев и др., 1978). При учете всех возмущающих факторов моделирование эволюции комплекса возможно только численными методами (Мишкин, 2002; Шайдулин, 2005; Бордовицына, Дружинина, 1998; Горелов, Зарубкин, 2005; Васильчен-ко, Бордовицына 2000). При упрощающих предположениях возможно аналитическое решение. Без учета возмущений задача решена в работах (Кирпичников, 1990; Малеев, и др. 1978). Здесь мы приведем точное решение в параметрической форме, собрав воедино и дополнив построения (Холшевников, Орлов, 2000; Холшевников, и др., 2003; Орлов, Холшевников, 2004; Орлов, 2006).
Перечислим главные допущения.
1. Мы ограничиваемся рассмотрением относительно крупных частиц с массами более 10-7 г. Поведение более мелких в значительной степени определяется электромагнитным взаимодействием с фотонным и корпускулярным солнечным излучением (Кпуоу, 1996).
Рис. 1. Начальные условия задачи.
2. Орбита бомбардируемого естественного спутника или ИСЗ считается круговой экваториальной.
3. Рассматривается изотропный выброс вещества в момент ц со всевозможными скоростями у0, по модулю равными фиксированной скорости Ь. В реальности скорости различны, выброс неизотропен. Однако получаемая нами область Б будет шире реальной. Следовательно, можно гарантировать, что рой реально заполнит часть Б и ни одна частица не выйдет за его пределы.
4. Возмущения в движении частиц или не учитываются (и тогда теория справедлива в течение нескольких недель), или учитываются только вековые движения узлов и перицентров (и тогда теория работает на интервале 1-2 года).
В условиях изотропного выброса искомая область Б ограничена огибающей поверхностью 5 двупараметрического семейства кривых {Г}. Разумеется, траектории частиц физической нагрузки не несут. Но за несколько оборотов (несколько суток для Фобоса или Деймоса) из-за неравенства орбитальных периодов частицы плотно заполнят Б. Таким образом, Б представляет собой пылевой комплекс, возникающий через несколько дней после ударного события. Через несколько месяцев Б расплывется из-за движения узлов и перицентров в поле сжатой планеты и получится более простая фигура (КЬокИеуткоу, и др., 1993).
часть I. невозмущенный случай
Семейство траекторий
Перейдем к точным формулировкам. Пусть точка 01 массы т1 описывает кеплерову окружность вокруг точки О массы т. В момент ¿0 происходит изотропный выброс из 01 частиц бесконечно малой массы по всевозможным направлениям с одинаковой относительно 01 скоростью Ь > 0 (рис. 1). Требуется найти огибающую поверхность 5 двупараметрического семейства эллипсов (рис. 2), описываемых выброшенными частицами. В работе (Коблик, Холшевников, 1994) задача решена аналитически для двумерного случая выброса в плоскости орбиты 01. Здесь задача решена в трехмерном случае также в аналитическом виде.
Считаем массу т1 столь малой, что она не оказывает влияния на выброшенные частицы (комета, астероид, Фобос, Деймос, КА, ...). В таком случае 01 "не заметит" выброса (по изотропности реактивная сила равна нулю; по малости т1 изменение массы не скажется на гравитационном параметре ж2, равном произведению гравитационной постоянной на т). И частицы, и 01 будут описывать конические сечения, отвечающие параметру ж2.
Обозначим через Я радиус круговой орбиты 01
относительно 0; через м/ = ж/^Я - круговую скорость 01, с = Ь/ж В дальнейшем считаем м> + Ь меньшей параболической скорости:
1
Рис. 2. Семейство орбит в невозмущенном случае при с = 0.2. Система координат задана в физическом пространстве; масштаб по осям соответствует радиусу круговой орбиты О1; точка (1, 0, 0) соответствует положению О1 в момент выброса.
ъ + Ь < ж /- о Ь < (л/2-1 )о с <72-1, (1)
тогда траектории всех частиц эллиптичны. Условие отсутствия прямолинейных и обратных движений менее ограничительно
b < w о c < 1.
(2)
Введем систему декартовых невращающихся координат с центром в О; ось X направим в О1 в момент выброса, ось У - в плоскости орбиты в сторону движения О1? ось X - по вектору площадей орбиты О1. Обозначим через Ь, 0, X сферические координаты вектора скорости выброса относительно О1. Считаем модуль скорости Ь > 0 фиксированным, а точку (0, X) принадлежащей единичной сфере 8 (рис. 3). В начальную эпоху положение и скорость выброшенной частицы Q, выделенной двумя параметрами 0 и X, будут
r0 = (R, 0, 0), v0 = (bsin0cosX, w + bsin0sinX, bcos0).
(3)
p = RA2,
2 -i
a = R(1-2csin0sinX-c ) ,
e 2/c 2 = (A 2-1)2/c 2 + A 2sin20 cos2X =
22 = sin 0( 1+3sin X) + 2csin0sinXx
2 2 2 2 2 x (2 - sin 0 cos X) + c (1 - sin 0 cos X),
ecosg = A -1, esing = -Acsin0cosX, Q = u = 0,
1+ c sin 0 sin X . c cos 0 //14 cos i = ---, sin i = —-—. (4)
Здесь р, а, е, I, g, О, и - параметр, большая полуось, эксцентриситет, наклон, аргумент перицентра, долгота узла, аргумент широты в эпоху ¿0;
По начальным данным (3) орбита Т точки Q определяется элементарно (Субботин, 1968):
A = ( 1+ c sin 0 sin X) + c2cos20, A > 0. (5)
При условии (2) легко показать, что
1 - c < A < 1 + c, (6)
причем максимум и минимум достигаются в точках Q1(n/2, п/2) - выброс вперед и Q2(n/2, -п/2) -выброс назад. Других особых точек функции A на сфере S нет.
Точка O1 является восходящим узлом для выбросов вверх и нисходящим для выбросов вниз. Для сохранения непрерывности мы полагаем Q = 0, -п/2 < i < п/2. Отрицательному наклону отвечают траектории прямого (не обратного) движения, долготы вдоль которых считаются от точки O1, т.е. от нисходящего узла.
Экстремальные значения наклона 0'экстр = = ±arcsin c) достигаются в точках Q3(arcsin c, -п/2) -максимум и Q4 (п - arcsinc, -п/2) - минимум, причем в обоих случаях A = 71- c2 . Других особых точек функции i на сфере S нет, так что |sin i| < c. Легко находятся и точные границы e, a, p:
Траектория O1
Z, Y'
Траектория O1
= я/2, X = 0
9 = я
Рис. 3. Сфера параметров.
0 < e < с (2 + с),
R
1+2с-с
< a < -
R
1-2с-с2
(7)
(1-с2 )< R <( 1+ с)2.
Границы достигаются. Для эксцентриситета -при 0 = агс8т(с/2) или 0 = п - агс8т(с/2), X = -п/2 (нижняя) и при 0 = п/2, X = п/2 (верхняя). Заметим, что (2 + с)с возрастает вместе с с и обращается
в единицу при с = 72 - 1. Нижние границы а, р достигаются при 0 = п/2, X = -п/2, верхние - при 0 = п/2, X = п/2.
Положим далее Я = 1: масштабный множитель легко восстановить по соображениям размерности. Вектор положения () задается формулами
r = r (cos u, cos i sin u, sin i sin u),
(8)
r =
1 + a cos u + в sin u
где a = A2 - 1, в = -Асsin9cos X, причем A, i выражаются через 9, X согласно (4) и (5). Например, для орбит экстремального наклона
r =
1 2
1 - с
- (cos u, V1 - с2 sin u, ±с sin u).
менной и е [0, 2п]. Семейство {Г} есть объединение всевозможных Г, выделяемых двумя параметрами 0 и X, пробегающими единичную сферу 8: 0 е [0, п], X е [0, 2п].
Параметрические уравнения огибающей семейство {Г} поверхности 5 даются (Фавар, 1960) соотношениями (8) и
Ф(и, 0, X) = 0,
(9)
где
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.