научная статья по теме ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, ЗАПОЛНЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук

Текст научной статьи на тему «ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, ЗАПОЛНЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

Физико-математические науки

Механика

Механика деформируемого твердого тела

Тер-Акопянц Г.Л., аспирантСанкт-Петербургского государственного морского технического университета

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ, ЗАПОЛНЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ

В работе исследуется распространение волн в упругой цилиндрической оболочке без жидкости и заполненной несжимаемой и сжимаемой жидкостью, в режиме осесимметричных колебаний. Найдены дисперсионные кривые и модальные коэффициенты. Проанализировано изменение модальных коэффициентов на частотах, где затухающие волны переходят в распространяющиеся. Исследовано влияние на модальные коэффициенты эффекта сближения дисперсионных кривых в случае сжимаемой жидкости.

Ключевые слова: упругая цилиндрическая оболочка с жидкостью, сжимаемая жидкость, несжимаемая жидкость, распространение волн, дисперсионные кривые, модальные коэффициенты.

AXISYMMETRICAL WAVE PROCESSES IN CYLINDRICAL SHELL FILLED WITH

FLUID

Wave propagation in the elastic cylindrical empty shell and shell filled with compressible or uncom-pressible fluid has been studied for the case of the breathing mode.Dispersion curves and modal patterns are considered. Changes in the modal patterns ^for ^frequencies at the transform point between evanescent and propagating wavesare analyzed. The influence of the veering effect on the modal patterns for the case of a compressible fluid is investigated.

Keywords: elastic cylindricalfluid-filled shell, compressible fluid, uncompressible fluid, wave propagation, dispersion curves, modal patterns.

Введение

Целью работы является исследование распространения упругих волн в тонкой упругой бесконечной цилиндрической оболочке толщины h с радиусом срединной поверхности R , заполненной несжимаемой или сжимаемой жидкостью, анализ дисперсионных кривых и модальных коэффициентов при осесимметричных колебаниях. Случай изгибных колебаний рассмотрен в [1].

Методы решения и полученные результаты

Будем искать решения системы динамических уравнений равновесия в перемещениях, учитывающей наличие жидкости внутри оболочки, (см. [1] и [3]) в виде:

™ „kz-iwt u (z,p, t) = e

' U cos mp V sin mp W cos mpJ

(1)

где 2 - продольная безразмерная координата, к - приведённое осевое волновое число, т -число окружных волн, со - приведённая частота, связанная с частотой О соотношением

1 2

2 1 — V 2 2

с =р-Я О , р - плотность материала оболочки, Е , V- упругие константы.

Е

Выбор перемещений в виде (1) означает, что чисто мнимые значения к соответствуют распространяющимся волнам, чисто вещественные и полностью комплексные - затухающим волнам, не осциллирующим и осциллирующим по координате 2. Рассматриваются только волны, для которых 1т(к) > 0 и Яе(к) < 0 .

В частном случае осесимметричных колебаний т = 0 система для амплитуд перемещений принимает вид:

(

к2

+ с 0

—к

где а = к

—— (1 + 4а )к 2 + с 2

0

—к 0

у 4 2 2 р А Я г ^ \ 1 + ак —с — с —--/э(к ,с)

р к

Г и Л

V

V у

Г 0 Л

0 0

(2)

12Я

2 , р/ - плотность жидкости, с и С/1 - скорости звука в оболочке и в жидко-

Jo(k) 3 0(к)

сти /0(к ,с) = /0(к) =

д3 0 (гк )

дг г=1

к31(к)

для несжимаемой жидкости,

3 0

/0(к ,с) = —-

II

к2 + —— с2 ■

.V

к2 +

с

для сжимаемой, р/1 = 0 без жидкости.

Дисперсионное уравнение получается, если приравнять к нулю определитель матрицы системы (2). Дисперсионные кривые, характеризующие зависимости к = к (с) представлены на рис.1, а модальные коэффициенты и и № на рис.2. Отметим, что впервые дисперсионные кривые для осесимметричных колебаний оболочки со сжимаемой жидкостью были проанализированы в [3]. Метод нахождения модальных коэффициентов, приводится в [1]. В [4] модальные коэффициенты ищутся для пустой оболочки.

Общими для всех рассмотренных случаев являются красная и голубая ветви дисперсионных кривых, описывающие распространяющиеся волны структурного происхождения, причем красная ветвь описывает волну, зарождающуюся как преимущественно продольную, а затем, с ростом частоты, переходящую в преимущественно радиальную. Этот переход при наличии жидкости происходит на меньших частотах. Голубая ветвь описывает распространяющуюся волну, характеризующуюся чисто окружными перемещениями. Серая полностью комплексная ветвь во всех случаях характеризует затухающую осциллирующую по осевой координате волну с преимущественно радиальными перемещениями. Для оболочки без жидкости она превращается при с = 0.96 в две чисто вещественные ветви (светло-зелёные линии), которые характеризуют затухающие не осциллирующие по осевой координате преимущественно радиальные волны. Одна из них при с = 1 переходит в чисто мнимую ветвь (тёмно-зелёная линия). Эта ветвь характеризует распространяющуюся волну. Она зарождается как радиальная и переходит в продольную с ростом частоты. При этом перемещения на-

0

2

2

С

2

С

с

ходятся в противофазе по осевой координате. Отметим, что при наличии жидкости полностью комплексная дисперсионная кривая (серая ветвь) продолжается и при о > 1, а тёмно-зелёная ветвь начинается с о = 0, что свидетельствует о том, что жидкость способствует появлению третьей распространяющейся волны при о = 0. В случае сжимаемой жидкости имеется и четвёртая распространяющаяся волна (розовая кривая), начинающаяся с о = 0. Это связано со способностью сжимаемой жидкости передавать распространяющиеся волны. Четвертая волна также появляется как продольная и с ростом частоты переходит в радиальную.

Рис. 1. Дисперсионные кривые. Серой линией показаны полностью комплексные корни.

В случае сжимаемой жидкости наблюдаются волны, которые до определённых частот отсечки являются затухающими, а после - распространяющимися (синяя, коричневая и оранжевая дисперсионные кривые). Все они появляются как преимущественно радиальные. В районе частот отсечки и квазипересечения (сближения) дисперсионных кривых модальные коэффициенты претерпевают резкие изменения, включающие возможное изменение фазы по осевой координате и переход преимущественно радиальной волны в преимущественно продольную. Такие явления с точки зрения процессов обмена энергией между перемещениями анализируются в [2].

и

ш

С несжимаемой } жидкостью ^ (толстые линии) и ^ без жидкости \ (тонкие линии) *

т = 0

С несжимаемой жидкостью

(толстые линии) и

без жидкости (тонкие линии)

0.5

1.5

0.5

1 й)

1.5

и

0.5

■0.5

- 1

и = 0

Сжимаемая жидкость

0.5

1

со

1.5

Рис. 2. Модальные коэффициенты. Пунктирные линии - мнимые значения,

сплошные - вещественные.

Заключение.

Обсуждено появление новых распространяющихся волн в случае сжимаемой жидкости, проанализированы переходы продольных волн в радиальные и наоборот, а также резкое изменение модальных коэффициентов на частотах квазипересечения дисперсионных кривых.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тер-Акопянц Г.Л. Дисперсионные кривые и модальные коэффициенты при распространении волн в оболочке с жидкостью. // Естественные и технические науки - 2015. - № 6.

2. Филиппенко Г.В. Энергетические аспекты осесимметричного распространения волн в бесконечной цилиндрической оболочке, полностью погруженной в жидкость. // Вычислительная механика сплошных сред. - 2013. - Т. 6, № 2. - С. 189-197.

3. Fuller C.R., Fahy F.J. Characteristics of wave propagation and energy distributions in cylindrical elastic shells filled with fluid. // Journal of Sound and Vibration (1982) 81(4), pp. 501-518.

4. Yu-Cheng Liu,Yun-Fan Hwang, Jin-Huang Huang. Dispersion relations and modal patterns of wave in a cylindrical shell. // Wave process in classical and new solids, Prof. Pasquale Giovine (Ed.), 2012, ISBN: 978-953-51-0821-4, in tech, DOI: 10.5772/50477.

The list of references

1. Ter-Akopyants G.L. Dispersionnyie krivyie i modalnyie koeffitsientyi pri rasprostranenii voln v obolochke s zhidkostyu. // Estestvennyie i tehnicheskie nauki - 2015. - № 6;

2. Filippenko G.V. Energeticheskie aspekty osesimmetrichnogo rasprostraneniya voln v besk-onechnoy tsilindricheskoy obolochke, polnostyu pogruzhennoy v zhidkost. // Vychislitelnaya mekhanika sploshnykh sred. - 2013. - T. 6, № 2. - S. 189-197.

3. Fuller C.R., Fahy F.J. Characteristics of wave propagation and energy distributions in cylindrical elastic shells filled with fluid. // Journal of Sound and Vibration (1982) 81(4), pp. 501518.

4. Yu-Cheng Liu, Yun-Fan Hwang, Jin-Huang Huang. Dispersion relations and modal patterns of wave in a cylindrical shell. // Wave process in classical and new solids, Prof. Pasquale Giovine (Ed.), 2012, ISBN: 978-953-51-0821-4, in tech, DOI: 10.5772/50477.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком