Автоматика и телемеханика, № 12, 2014
Нелинейные системы
© 2014 г. И.Н. БАРАБАНОВ, канд. физ.-мат. наук (ivbar@ipu.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва),
А.Т. ТУРЕШБАЕВ, канд. физ.-мат. наук (aturesh@mail.ru) (Кзылординский государственный университет, Кзылорда, Казахстан),
В.Н. ТХАЙ, д-р физ.-мат. наук (tkhaivn@yandex.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
ОСНОВНОЙ РЕЖИМ КОЛЕБАНИЙ В МОДЕЛИ, СОДЕРЖАЩЕЙ СВЯЗАННЫЕ ПОДСИСТЕМЫ1
Изучается модель, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой подсистемы — системы автономных обыкновенных дифференциальных уравнений; модель распадается на несвязанные между собой подсистемы, когда параметр связи е = 0. Исследуется основной режим модели, содержащей связанные подсистемы, для которого решаются задачи колебаний, бифуркации, устойчивости и обобщаются результаты, полученные ранее для случая двух подсистем второго порядка.
1. Введение
Рассматривается математическая модель, содержащая связанные подсистемы (МССП). Модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которой подсистемы — системы автономных ОДУ. Связь между подсистемами задается параметром е; при е = 0 модель распадается на независимые подсистемы. Таких параметров в МССП может быть один или несколько. Параметры отражают иерархичность подсистем в МССП. Размерность каждой подсистемы в МССП в общем случае индивидуальная, а сама подсистема может быть линейной или нелинейной. МССП бывают автономные и неавтономные. Различные примеры МССП приведены в [1].
МССП относится к сложным системам. Характерные отличия модели: иерархичность, многоуровневость, многорежимность, нелинейность, высокая размерность. МССП относится также к «большим системам».
МССП распадается на независимые подсистемы, когда параметр е = 0, при этом происходит естественная декомпозиция МССП на подсистемы. Что касается взаимосвязей в МССП, то они учитываются как «действие равно
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 13-01-00347, № 13-01-00376) и Программы 14 ОЭММПУ РАН.
противодействию». Последнее позволяет изучать более тонкие динамические свойства, чем при декомпозиции.
Задаче о существовании и устойчивости периодических движений МССП логически предшествует задача о существовании и устойчивости колебаний квазиавтономных периодических систем, которая рассматривалась в работах различных авторов, в частности в [2-6] и др.
В [1] предложен подход к исследованию динамики МССП, который естественным образом отражает существо модели (естественный подход). Подход основан на классификации подсистем по типам (динамическим свойствам), выделении различных связок подсистем и последующем анализе этих связок. На основе подхода изучались колебания, устойчивость, стабилизация, бифуркации, резонанс.
Ниже изучаются одночастотные колебания (периодические решения). Подсистемы не содержат время в явном виде. В линейной модели имеем изохронные одночастотные колебания. В нелинейной модели получим цикл или семейство колебаний, на котором период Т по закону [7, 8] зависит от одного параметра (Т = Т(К), К € К).
Определение 1. Точки семейства одночастотных колебаний, на которых (1Т = 0, называются обыкновенными (о-точки), а точки, в которых (1Т = 0, называются критическими (с-точки).
Замечание 1. Критическая точка может вырождаться в равновесие (е-точка).
Определение 2. В соответствии с типом точки семейства (о-точка, с-точка, е-точка) порождающей автономной системы режим колебаний в возмущенной периодической системе будем называть как о-режим, с-режим и е-режим соответственно.
Пусть периодическая МССП содержит т подсистем, каждая из которых допускает семейство колебаний. Режим колебаний в каждой возмущенной подсистеме задается в соответствии с определением 2. Режим колебаний МССП зависит от режимов в каждой подсистеме, при этом качественно различное поведение демонстрируют МССП, для которых имеются сочетание двух или более подсистем в одинаковых режимах (обозначим такие сочетание о — о, с — с, е — е), двух подсистем в различных режимах (о — с, о — е, с—е), одной подсистемы в одном режиме и двух или более подсистем в другом (о — с — с, о—о—с, о—е—е, с—с—е, с—е—е). Случай МССП, у которой имеется не менее трех подсистем в различных режимах (о—с—е), является следующей степенью вырождения по сравнению с приведенными сочетаниями и поэтому представляет меньший практический интерес. Комбинация режимов, где в подсистемах имеются только о-точки, названа основным режимом колебаний в МССП [1].
Основной режим изучался ранее [1] для МССП, содержащей две подсистемы второго порядка. Ниже рассматривается МССП с произвольным числом подсистем, каждая из которых имеет свою размерность. Находятся условия существования изолированного колебания и их устойчивости. Задача стабилизации будет решаться в дальнейшем на основе результатов по устойчивости.
2. Изолированные колебания в МССП
Рассмотрим гладкую 2п-периодическую по времени Ь МССП, в которой подсистемы находятся на одном уровне иерархии:
(1) X5 = X3(х3) + еХж5 € Rras,
8 = 1,...,т, т ^ 2, = п.
Пусть е = 0. Тогда получим m независимых систем. Обозначим общее решение s-й системы через xs(xf0,..., ж^^, t). Необходимые и достаточные условия существования T-периодического движения в этой системе даются равенством
(2) fs = xs(xf,...,xsn0 ,T) - xs0 = 0,
где xs0 = (xf°,..., xS0) _ начальная точка (при t = 0), а существование T-периодического решения понимается как существование T-периодической
функции, являющейся решением задачи Коши для s-й подсистемы с началь-s0
ными условиями xs0.
Предположим, что уравнение (2) имеет решение xs0 = xs*,T = 2п. Далее вычислим ранг Raj матрицы Якоби для функции fs в точке xs* при T = 2п. Так как в силу автономности подсистем в случае несвязанной системы (1) уравнение (2) вместе с указанным решением всегда обладает однопараметри-ческим по параметру 7s семейством решений
xs0 = xs*(7s), T = 2п,
то получим: ранг Raj ^ ns — 1.
Пусть в подсистемах ранги Raj = ns — 1, s = 1,..., m (невырожденный случай), а подсистема с номером s допускает семейство периодических решений вида
х3 = + 7в),
на котором период Т3(Л3) зависит от параметра Тогда порождающая система (система (1) при е = 0) допускает в общем случае семейство условно-периодических решений с т частотами. Предположим, что среди этих решений находится 2п-периодическое решение, которому отвечает фиксированный набор параметров — вектор Л = Л*, Л = (Л1,..., Лт). Ставится вопрос о существовании в системе (1) при малых е = 0 периодических решений, которые при е — 0 стремятся к 2п-периодическому решению порождающей системы.
Порождающие решения совпадают между собой с точностью до сдвига по траектории. Поэтому для поиска 2п-периодического решения системы (1) имеется произвол в выборе вектора 7 = 7*, 7 = (71,... ,7т). Следовательно, ставится задача нахождения вектора 7*, для которого возмущения удовлетворяют условиям существования периодического решения при е = 0.
Предполагается, что ^Т3(Л*) = 0, в = 1,..., т. В дальнейшем, имея в виду поиск вектора 7*, параметры Л3 в явном виде выписывать не будем.
Из постановки задачи ясно, что рассматривается основной режим колебаний МССП [1], когда во всех подсистемах имеются обыкновенные точки. При этом в каждой подсистеме периодическое решение обладает парой нулевых характеристических показателей (ХП) в жордановой клетке [9], а остальные ХП отличны от нуля.
Заметим, что периодические решения порождающей МССП образуют семейство £, на котором выполняется закон зависимости периода от одного параметра [7, 8]. При этом в рассматриваемой порождающей системе ранг для функции / = (/1,..., /т), т.е. число — 1) = п — т меньше числа п — 1; случай относится к вырожденным.
Обозначим через
(3)
= (х1(е,х°,г),...,хт(е,х° ,£))
решение системы (1) с начальной точкой х0 (при £ = 0). Далее вычислим частную производную от функции (3) по параметру е в точке е = 0 в случае, когда решение (3) совпадает с решением
(4)
х(71,...,7т,*) = (^ + 71),---,^т(£ + 7т))
при 7 = 7*. Искомая производная будет решением линейной неоднородной системы
т
(5)
' И = »*,•(/ + 7,*) Нгг ) + П(0, Л + 71*), • • •, <ртЦ + 7^)),
де ) '
3 = 1
(дХ 5
\ де
8 = 1,..., т, к = 1,
(звездочка означает вычисление частной производной при подстановке функций (4) с 7 = 7*) с нулевыми начальными условиями.
Однородная часть системы (5) распадается на т подсистем, каждая из которых содержит свой параметр 7* и имеет одно 2п-периодическое решение. Сопряженная с однородной частью система также распадается на т подсистем, каждая из которых имеет решение [ф| (£ + 7*)} периода 2п. Поэтому условие существования в (5) решения периода 2п имеет вид
(6) 5(7*) = 0,
где компоненты векторной функции 5(7) определяются формулами
2п
£ X(0, р1 (£ + 71),..., (£ + 7т))Ф5(£ + ъЖ 8 = 1,...
п к= 1
т.
Равенства (6) дают необходимые условия существования в системе (5) решения периода 2п. С другой стороны, условия (6) приводят к системе т «амплитудных» уравнений относительно неизвестных «фаз» 7*,... ,7т. При
*
этом если система (6) совместна для данного набора 7*, то необходимые условия существования в системе (5) периодического решения выполнены. Оказывается, что для простых корней системы (6) условия будут также достаточными.
Теорема 1. Каждому простому корню системы «амплитудных» уравнений (6) отвечает изолированное колебание МССП (1).
Доказательство теоремы 1 приводится в Приложении.
Замечание 2. При выполнении условий теоремы 1 происходит бифуркация семейства £ и рождаются изолированные периодические решения.
Замечание 3. Так как функция $(7) является 2п-периодической по каждой переменной 7з, то существование корня 7* уравнения (6) влечет существование еще одного корня 7**. Тем самым в системе (1) существует не менее двух изолированных периодических решений.
Замечание 4. Для рассматриваемой МССП не применимы результаты [9, гл. 6, § 8 и 9], где для системы порядка п изучалось семейство пер
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.