научная статья по теме Особенности числовых характеристик открытых многоканальных систем массового обслуживания Биология

Текст научной статьи на тему «Особенности числовых характеристик открытых многоканальных систем массового обслуживания»

3. Якубовский Ю.Е. Нелинейная теория изгиба и расчет составных пластин и пологих оболочек переменной жесткости: Автореф. дис.докт.тех-нич.наук. Екатеринбург, 1994. 46 с.

4. Линейная теория тонких оболочек/ В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, Е.И. Михайловский. Л.: Политехника, 1991. 656 с.

5. Донкова И.А. Исследование составных цилиндрических оболочек постоянной жесткости // Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. Вып. 13. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2013. С. 128-133.

особенности числовых характеристик открытых многоканальных систем массового обслуживания

Кирпичников А.П., Титовцев А.С., Фадхкал З.

Казанский национальный исследовательский технологический университет, Казань, Российская Федерация

В работе рассмотрено поведение коэффициента вариации, связывающего первые и вторые моменты основных величин, характеризующих поведение систем массового обслуживания различных типов. Показано, что изучение этой характеристики позволяет сделать ряд нетривиальных выводов о режимах функционирования этих систем, особенно о режимах функционирования многоканальных систем массового обслуживания с ограниченным объёмом накопителя.

Ключевые слова: система массового обслуживания; коэффициент вариации; поток требований; очередь; обслуживающее устройство.

features of the numerical characteristics of open multichannel queuing systems

Kirpichnikov A.P., Titovtsev A.S., Fadhcal Z.

Kazan national research technological university, Kazan, Russian Federation

In this paper we examine the behavior of the coefficient of variation, linking the first and second moments of the basic quantities characterizing the behavior of queuing systems of various types. It is shown that the characteristics of this study leads to a number of non-trivial conclusions about modes of operation of these systems, especially on the modes of operation of multichannel queuing systems with limited storage volume.

Keywords: queuing system; variation coefficient; flow of requirements; queue; serving device.

Вторые моменты являются одними из основных числовых характеристик как установившегося, так и нестационарного режимов систем массового обслуживания (СМО) различных типов. Между тем даже для установившегося режима систем массового обслуживания с простейшим входящим потоком заявок и экспоненциальным временем их обслуживания аналитические формулы этих величин известны лишь для ограниченного числа моделей. При этом моменты высших порядков сравнительно хорошо изучены лишь для однока-нальных моделей различных СМО, в том числе и не обязательно марковского типа [1]. Что же касается систем массового обслуживания с большим числом каналов, то до недавнего времени в научной литературе можно было найти лишь формулы вторых моментов некоторых характеристик для модели с неограниченным объёмом накопителя (в рамках классификации Дж. Кендалла - модель М/М/m) [2]. В моно-

графиях [3, 4] и примыкающей к ним работах [5, 6] впервые были представлены как первые, так и вторые моменты главных характеристик для пяти основных (базовых) моделей систем массового обслуживания, в том числе:

1. Классической СМО (модель М/М/1);

2. Многоканального устройства (модель М/М/т);

3. Модели А. Эрланга (модель М/М/т/0);

4. Модели с очередью конечной длины (модель с ограниченным объёмом накопителя, по классификации Дж. Кендалла - модель М/М/т/Е)

5. Модели с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди в предположении о простейшем входящем потоке заявок и экспоненциальном времени их пребывания в обслуживающем устройстве (эта последняя модель в настоящей работе не рассматривается). Эти результаты позволяют сделать ряд весьма нетривиальных выводов о режимах функционирования этих систем, особенно, как мы увидим в дальнейшем, это касается режима функционирования многоканальных систем массового обслуживания с ограничением на объём накопителя.

В математической статистике при изучении зависимостей случайных процессов принято вводить коэффициент вариации

у=ст(г>£(0 (1)

который в данном случае равен отношению среднеквадратического (стандартного) отклонения числа заявок, поступающих в систему за единицу времени с(/), к математическому ожиданию Е(Г) этой величины. Заметим, что в теории массового обслуживания коэффициентом вариации иногда называют несколько другую величину [7]

у=Я(0/Я(0 (2)

где лГ =у2 е($), которая также характеризует степень нерегулярности соответствующего потока заявок. При этом для простейшего потока заявок этот коэффициент равен единице, для регулярного или детерминированного потока, то есть потока, в котором промежутки

времени между двумя последовательными заявками являются постоянными величинами, коэффициент вариации лГ равен нулю, для большинства же других законов распределения 0 < V* < 1. Ясно, что в этом случае

лГ=У2Я(Т). (3)

Коэффициенты вариации вида (1) и (2) мы будем в дальнейшем для определённости называть коэффициентами вариации первого и второго рода.

Введём теперь по аналогии с соотношениями (1) и (2) в рассмотрение величины, составленные из первых и вторых моментов основных числовых характеристик установившегося режима систем массового обслуживания. К этим характеристикам относятся, как известно [3, 4],

- во-первых, число заявок, одновременно находящихся под обслуживанием;

- во-вторых, число заявок в очереди на обслуживание (находящихся в ожидании обслуживания);

- в-третьих, общее число заявок в системе в целом (как в очереди, так и под обслуживанием);

- в-четвёртых, число заявок в так называемой реальной очереди (впервые комплексно изученной в работах [3, 4]) и,

- в-пятых, число заявок, обслуженных подряд в обслуживающем устройстве (приборе).

Заметим, что последняя из этих характеристик почти не изучена, и для неё данные о первых и вторых моментах, кроме результатов, полученных в рамках простейшей классической одноканальной СМО, до сих пор отсутствуют. В данной работе мы рассмотрим пока, как вводятся коэффициенты вариации для числа заявок, ожидающих обслуживания в очереди, и к каким результатам это нас приведёт. В основном нас будут интересовать многолинейные системы массового обслуживания.

Коэффициент вариации числа заявок, находящихся в ожидании обслуживания

Перейдём к вычислению коэффициентов вариации для числа заявок (требований) ^ находящихся в очереди и тем самым ожидающих начала обслуживания. В этом случае для классической СМО (модель М/М/1)

откуда

1-р' ' 1-р (1-рУ

(4)

(5)

1-р 1-р

Для многоканального устройства (модель М/М/т)

/_Р Роошд. гт2_т+рт -2 _ррожид(т+р-ррОЖ11д)

I — , СТ, — II — , „ ,

т-р т-р [т-р )

так что

^Чт^т-1 =Г+р-рр--, (6)

У(т-р)/ V Р Рожш, ~(2) = /п + р -1 = т + р-рр0жид ' т-р т-р

Для модели с очередью конечной длины (модель М/М/т/Е)

1 = р(раж^-Еротк). ^_{т+р)1-рЕ(Е + \)ропк -{г т—р ' т-р

и тогда

«М- I т + р РЕ(Е + 1)Р°™ ь (8)

V (т_Р у _ {т-рГ '

*(4)=т + р рЕ{Е + \)ротк ' - Р (т~ рУ '

т

В вырожденном случае р = m имеем [3-5]

-| _Е(Е+\) , _Е+_1 ,

___— ^ Ротк\„-т~ „ Рожид „-„

р=т 2

,2 =Е(Е+фЕ+\) ,

'1р=т £ "отк\„=т

_ (Д+1)(2Д+!) ~ 6

в результате чего

I I2 Рожид\а=т Ц__

(4), = 2Е + 1_и у~(4)| =М±1_/. (10)

1 ^ ]1 31 'р=» 3

Анализ полученных соотношений

Обратимся к исследованию коэффициента вариации числа требований, находящихся в очереди на обслуживание. Для коэффициентов вариации первого рода имеем следующий результат: 1<у;(1)<оо, 1<уг(2)<°о, 0<У,(4)«ю.

Как легко видеть, критическое значение приведённой интенсивности р {у = 1) в данном случае существует только для модели системы с ограничениями. Обратимся к коэффициентам вариации второго рода.

Здесь для систем с неограниченной очередью мы имеем обратный результат

оо ><ГР >1, оо >1, оо >у,(4) > 0.

Отсюда для систем массового обслуживания с ожиданием

V« У«^. (11)

Как видим, в данном случае отношение среднеквадратического отклонения числа требований, находящихся в очереди к обслуживающему устройству, к их средней величине ограничено снизу, но не ограничено сверху, то есть при определённых условиях может значительно превысить среднее число заявок, находящихся в очереди на обслуживание. Говоря другими словами, колебания числа заявок в очереди достаточно велики. Далее, для системы с ограничениями (по классификации Дж. Кендалла - модель М/М/т/Е) также должно существовать некоторое критическое значение приведённой интенсивности потока требований рДу/4>=1> Это критическое значение приведённой интенсивности

можно назвать по аналогии с введённой выше терминологией критическим значением второго рода.

Постановка задачи для многоканальных систем массового обслуживания

Для многоканальных систем массового обслуживания задачу о вычислении критических значений параметров, при которых значения у^=1, у(^ = 1 и у^=1, можно поставить следующим образом. В реальных условиях эксплуатации систем и объектов, работающих по принципу систем массового обслуживания, естественным желанием является организовать процесс их эксплуатации таким образом, чтобы работа этих объектов и систем протекала бы как можно более в равномерных режимах. При этом следует учесть то обстоятельство, что единственным параметром, который можно было бы более или менее быстро изменять в реальных условиях, для многоканальных устройств на практике является только число параллельно работающих однородных обслуживающих устройств т.

Коэффициенты вариации и являются функциями, как переменной р, так и параметра т (числа обслуживающих каналов в многоканальном устройстве). Будем теперь рассматривать эту последнюю величину в качестве некоторой формальной непрерывной переменной, и попробуем в этом случае также найти некоторые критические значения ), ткр (у/(4)=1) и т (у,® = 1), при которых выполнены условия у/^=1, у^=1 и у^=1, которые будем считать пограничными условиями для равномерного режима работы многоканального устройства. При этом имеется ввиду, что такого рода равномерный режим наступает при значениях параметров у/4-* и у'/4-', меньших единицы. Конечно, с точки зрения возможных приложений результатов данной работы, равномерный режим э

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком