ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2004, № 12, с. 3-9
УДК 550.344.5
ОСОБЕННОСТИ ПОЛЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ КАСАНИЯ КАУСТИК
© 2004 г. Т. Б. Яновская
Санкт-Петербургский государственный университет Поступила в редакцию 19.04.2004 г.
Вследствие латеральной неоднородности и сферичности Земли трассы поверхностных волн образуют каустики на полусфере, противоположной эпицентру. Каустики имеют специфическую форму -они состоят из двух ветвей, образующих острие в точке касания. Наличие таких каустик должно приводить к ошибкам при определении характеристик поверхностных волн (фазовых и групповых скоростей, амплитудных спектров). Волновое поле в окрестности каустики с острием выражается через интеграл Пирси [Реагсеу, 1946]. Этот интеграл зависит от двух параметров, связь которых с пространственными координатами определяется формой каустики. Выполнено численное моделирование амплитуд и фаз стационарной поверхностной волны в окрестности каустики подобной той, которая образуется в реальной Земле. Показано, что амплитуда и фаза волны сильно варьируют по отношению к тем, которые бы имели место в отсутствии каустики. Это может приводить к существенному завышению оценки фазовой скорости при определении ее дифференциальным методом (по разности спектров на двух станциях, расположенных в створе с эпицентром). Вследствие вариаций амплитуды амплитудный спектр будет содержать осцилляции, что может приводить к ошибкам при определении групповой скорости. Кроме того вариации амплитуды будут сказываться на определениях параметров очагов землетрясений по спектрам поверхностных волн.
ВВЕДЕНИЕ
Исследования строения земной коры и верхней мантии по данным о групповых и фазовых скоростях поверхностных волн основываются на измерениях этих скоростей с помощью спектрально-временного анализа (СВАН). При этом неявно предполагается, что спектр поверхностной волны достаточно гладкий: в этом случае максимум амплитудной диаграммы СВАН с достаточно хорошим приближением соответствует групповой скорости волны. Соответственно и фазовый спектр оказывается пригодным для оценки фазовой скорости. Однако наблюдения показывают, что в ряде случаев диаграммы СВАН имеют нерегулярный характер, и определения групповой скорости по ним характеризуются большими ошибками, а иногда и вообще невозможны. Обычно такие наблюдения просто исключаются из рассмотрения, причем отбрасывание "плохих" данных производится в значительной степени субъективно. При этом не анализируются причины, приводящие к искажению поля поверхностной волны и соответственно к ошибкам в определении скоростей.
Главной причиной того, что поле поверхностной волны отличается от "классического", является латеральная неоднородность среды - коры и верхней мантии Земли, - приводящая к интерференции волн, распространяющихся по разным путям. Особенно сильным этот эффект оказывается на больших эпицентральных расстояниях (>90°)
благодаря сферичности Земли. На полусфере, противоположной эпицентру, трассы, по которым распространяются поверхностные волны, пересекаются, что приводит к образованию каустик. Этот эффект для волн R2-R5 был отмечен в работе [Lay and Kanamori, 1985] при моделировании распространения длиннопериодных (Т = 200 с) релеевских волн. В книге [Dahlen, Tromp, 1998] приведена схема трасс волн R1-R2 в окрестности антицентра, рассчитанная для модели M84A, иллюстрирующая наличие множества каустик. К настоящему времени на основе обработки большого числа данных построены достаточно детальные глобальные распределения фазовых скоростей волн Релея и Лява для различных периодов [Trumpert and Woodhouse, 1995; 2001]. Рассчитанные на основе этих распределений лучевые схемы характеризуются наличием каустик даже достаточно далеко от антицентра - на расстояниях порядка 100-120°. Записи поверхностных волн на таких расстояниях часто используются для тех или иных исследований. На рис. 1 изображены трассы релеевских волн для периода 40 с, возбужденных источником в точке 15° ю.ш., 75° з.д. в ортографической проекции, центр проекции помещен в эпицентр. Видно, что на полусфере с центром в эпицентре лучи не пересекаются, хотя и несколько отклоняются от дуг большого круга. Но к окружности А = 90° они подходят под углами, отличными от прямого, и за счет этого на полусфере, противоположной эпицентру, они пересекаются и образуют каусти-
Рис. 1. Трассы релеевских волн, рассчитанных для модели распределения скорости Трамперта и Вудхау-за, соответствующей периоду 40 с. Эпицентр принят в точке 15° ю.ш., 75° з.д.. Центр ортографической проекции помещен в эпицентр. На полусфере противоположной эпицентру (нижний рисунок) отчетливо видны каустики.
ки. Каустики имеют специфическую форму -каждая состоит из двух ветвей, которые образуют острие в точке касания. В области между этими ветвями происходит интерференция трех волн -приходящей к и уходящей от одной из ветвей и приходящей к другой ветви. Схематично лучи этих трех волн изображены на рис. 2.
Рис. 2. Схема лучей, проходящих через точку, обозначенную кружком. Точки касания лучами каустики указаны крестиками.
Случай каустики такого типа был впервые рассмотрен Пирси [Pearcey, 1946], который дал оценку решения волнового уравнения в однородной среде в форме интеграла, получившего название интеграла Пирси:
P(р,ст) = J exp [i- + ^4/4)ld^. (1)
Равномерное асимптотическое разложение решения волнового уравнения в случае наличия каустики такой формы дано Людвигом [Ludwig, 1966] в виде ряда, члены которого включают интеграл Пирси и его первые производные.
Анализ интерференционной картины в окрестности угловой точки каустики проводился в ряде работ в оптике [Berry and Klein, 1996]: за счет различия в показателе преломления света для разных длин волн образуются сложные разноцветные картины при прохождении света через объекты определенной формы. Главной сложностью при моделировании поля в окрестности такой каустики является определение связи параметров интеграла Пирси с пространственными координатами, которая определяется формой каустики.
Целью настоящей работы является моделирование поля стационарной поверхностной волны в окрестности угловой точки каустики для того, чтобы выявить основные свойства поля, обусловленные именно близостью к каустике. В связи с тем, что форма каустик весьма различна (что видно из рис. 1), а также из-за того, что картина расположения и формы каустик будет разной при разных положениях эпицентра, мы не задавались
целью моделировать поле в окрестности какой-то конкретной каустики в реальной среде, а упростили задачу за счет рассмотрения однородной среды и соответственно прямолинейных лучей. При этом мы постарались сохранить приблизительно масштаб и конфигурацию лучей и каустики с тем, чтобы выявить те особенности поля, которые могут быть важны при интерпретации реальных наблюдений.
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
В двумерном случае в однородной среде решение волнового уравнения
Ф,
(А + k )U(x) = 0
(2)
может быть представлено в виде хорошо известного разложения по плоским волнам:
U(x) = JА(%)exp(ikф(x,%))d%. (3)
При больших значениях k этот интеграл оценивается по методу стационарной фазы в случае изолированной стационарной точки. Наличие двух близких стационарных точек соответствует обыкновенной каустике, и в этом случае фазовая функция раскладывается в ряд в окрестности точки, где
= 0, с сохранением кубичного члена. Соответственно интеграл выражается через функцию Эйри. Если каустика имеет угловую точку, то в ее окрестности фазовая функция будет иметь уже три близкие стационарные точки, отвечающие трем интерферирующим волнам. Соответственно фазовая функция должна раскладываться в ряд в окрестности той точки, где третья производная обращается в нуль, и в разложении следует удерживать члены вплоть до четвертой степени. Выражение для амплитуды такой волны содержит интеграл Пирси (1), в котором связь между параметрами р, а с пространственными координатами x, y определяется формой каустики.
Равномерное асимптотическое разложение решения волнового уравнения (2), годное как вблизи угловой точки каустики, так и вдали от нее, было дано Людвигом [Ludwig, 1966] в виде суммы членов, содержащих интеграл Пирси и его первые производные. Если амплитуда волны на достаточно большом удалении от каустики слабо меняется вдоль фронта, то главный член разложения будет содержать только интеграл Пирси:
u(x) = ------exp(iffl6(x))P(ffl3/4р(x), ю1/2а(x)). (4)
В таком же виде может быть построено решение и для неоднородной среды. Амплитуда А может быть определена из сравнения этого выражения с главным членом лучевого разложения вдали от ка-
Рис. 3. Схематичный вид фазовой функции.
устики. Неизвестные функции 0(х), а(х), р(х) определяются из системы уравнений
(У0)2 + р(Ур, Уа) = С-2, 2(У0,Ур) - а(Ур, Уа)-1 р(Уа)2 = 0,
- (У0,Уа) + (Ур)2 + 1 а(Уа)2 = 0,
где с - скорость распространения волны.
Эти уравнения не сводятся к уравнениям эйконала, как в случае обыкновенной каустики, однако неизвестные функции внутри угла, образованного касающимися каустиками (будем далее называть эту область внутренней зоной), могут быть определены через фазы трех интерферирующих волн. Вне этого угла (во внешней области), где распространяются не три, а одна волна, они могут быть получены с помощью аналитического продолжения.
Вид фазовой функции в случае трех волн изображен на рис. 3. На каустике две стационарные точки сливаются, и там становится равной нулю вторая производная фазы, а при переходе через каустику эти стационарные точки уходят на комплексную плоскость, так что реальной остается только одна точка, соответствующая волне, приходящей к другой ветви каустики.
Решение (4) получается путем замены переменной интегрирования в интеграле (3) Е —► в таким образом, чтобы фазовая функция представлялась точным полиномом четвертой степени
ß2 ß4
фф) = 0 + pß + аß- + ß.
Стационарные точки определяются как корни кубичного уравнения
р3 + ар + р = 0.
(6)
Если обозначить эйконалы трех интерферирующих волн ф; = ф(Р;), i = 1, 2, 3, то нетрудно пока-
Уф; а2
зать, что 6(х) = + — . Функции же а(х), р(х)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.