ФИЗИЧЕСКАЯ ^^^^^^^^^^^^^^ АКУСТИКА
534.24,534.25
ОСОБЕННОСТИ ПРЕЛОМЛЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ ЗВУКА НА ГРАНИЦЕ ПУЗЫРЬКОВОЙ ЖИДКОСТИ
© 2015 г. В. Ш. Шагапов*, **, В. В. Сарапулова**
*Институт механики УНЦ РАН 450054 Уфа, просп. Октября 71 **Бирский филиал Башкирского государственного университета 452450Бирск, ул. Интернациональная 10 E-mail: Vero_nika_09@mail.ru Поступила в редакцию 04.04.2014 г.
Изучены особенности отражения и преломления при косом падении акустической волны на границу раздела между чистой и пузырьковой водой. На основе анализа полученных аналитических решений установлено, что в случае падения волны на границу раздела со стороны пузырьковой жидкости существует критический угол падения, зависящий от частоты и параметров дисперсной системы, при углах больше которого волна полностью отражается от границы.
Ключевые слова: акустика пузырьковой жидкости, коэффициенты отражения и преломления, полное внутреннее отражение, звуковой канал.
DOI: 10.7868/S032079191406015X
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 1, с. 40-48
УДК
ВВЕДЕНИЕ
Пузырьковая жидкость по своим акустическим свойствам является уникальной [1, 2]. В частности, завесу из смеси жидкости с газовыми пузырьками можно использовать в качестве защитного слоя для подводных объектов от воздействия ударных волн, для "маскировки" при гидролокации, а также в качестве подводного звукового канала [3]. Особенности акустических свойств пузырьковой жидкости позволяют сканировать размеры и структуру пузырьковых "облаков", образовавшихся при выбросах газа со дна водоема [4].
Наиболее полная математическая модель, описывающая распространение малых возмущений в жидкости с газовыми пузырьками, представлена в [5]. Другой подход, основанный на приближении среднего поля в теории многократного рассеяния, для описания пузырьковой жидкости представлен в работах [6—9]. Распространение звуковых волн в двухфракционных смесях жидкости рассмотрено в [10], где также приведено сравнение теории с экспериментальными данными из [11]. Особенности отражения и преломления на границе воды и воды с пузырьками при прямом падении акустической волны изучались в [12—14]. Однако проблема отражения и преломления акустических волн при косом падении на границу раздела между "чистой" жидкостью и пузырьковой системой до настоящего времени осталась незатронутой как в теоретическом, так и в экспериментальном плане, хотя отражение и
преломление при косом падении звука на границу раздела между различными однофазными средами изучено достаточно широко [15].
В настоящей работе анализируется отражение и преломление акустических волн на границе чистой и пузырьковой жидкости при косом падении. Установлено, что для волн, падающих со стороны чистой воды, при любом угле падения угол преломления меньше прямого угла и, следовательно, волна всегда проникает в зону, охваченную пузырьковой водой. В обратной ситуации, когда волна падает со стороны воды с пузырьками на границу раздела, для низкочастотной зоны
(ю < ю(й), ю(Д) — собственная частота пузырька) при углах падения 9(0), превышающих некоторое
л(0)/л(0) ^ л(0)\
предельное значение (0 > 0* ), зависящее от параметров дисперсной смеси, происходит полное внутреннее отражение. В связи с этими свойствами слой пузырьковой жидкости в воде является звуковым каналом.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Запишем, согласно [5], линеаризованные уравнения сохранения масс, числа пузырьков, импульсов и изменения давления в пузырьках в предположении однородности:
dp, dv< дщ п дп dv , du г,
-Z7 + + Pi°-г1 = ° ^ + п°dv + п°~Г = °
dt dx dy dt dx dy
(p,° + | = (p,° + р.°)| + | =
dh =- da - 3(y- 1) ^
a° dt Anal
(1)
dt
Pi° = P°°a;-, a i ° + a g ° = 1, a g° = 4 nna3, i = l, g.
Здесь нижние индексы i = l и g относятся к параметрам жидкой и газовой фаз; p(-, р°, v,p, ai, a, n — средняя по фазе и средняя по смеси плотности, скорость, давление, объемное содержание, радиус пузырьков, число пузырьков в единице объема смеси соответственно, q и у — интенсивность теплообмена, отнесенная к единице площади поверхности, и показатель адиабаты газа.
Уравнения состояния дли жидкой и газовой фаз примем как
Pi = p° + Cl (pi -pi°), Pg = RgpgTg,
(2)
dt
(R) , (A) = w, w = w + w .
Причем w(R) описывается уравнением Рэлея— Лэмба
a dw(R) + Av, (R) _ Pg - Pi
a°—— + — w _-°—.
dt a° Pi°
,,( A)
(4)
Акустическая добавка ж ) находится из решения задачи о сферической разгрузки [5] на сфере и запишется как
(А) Ря - р1 Ж =
p°°Ci ag°
добавка) получено на основе решения задачи о сферической разгрузке. Как показывает дисперсионный анализ, такое уточнение никак не сказывается на динамике низкочастотных возмущений, когда частота гармонических волн ниже собственных частот включений. В то же время, такое уточнение неплохо описывает затухание упругого предвестника, наблюдаемого в экспериментах [16]. Следовательно, такое уточнение модели практически не сказывается при распространении длинных волн (когда характерные времена изменения давления жидкости не превышают период собственных колебаний пузырьков). Эта акустическая добавка "начинает работать" при быстрых изменениях давления, когда радиальное движение пузырьков, описываемое уравнением Рэлея—Лэмба, "замораживается". Все это, в свою очередь, в значительной степени оправдывает правомерность такого уточнения модели.
Для описания межфазного теплообмена необходимо добавить уравнение теплопроводности и граничные условия для газа в пузырьках:
где ^ — газовая постоянная, Т& и р — распределение температуры и плотности в пузырьках. Дополнительный нижний индекс (0) относится к начальному равновесному состоянию.
При описании динамики радиального движения пузырьков будем полагать, что радиальная скорость состоит из двух слагаемых:
да
° dTg Pg°Cg dt
r2 dr У g dr J dt dTg
(5)
Модель пузырьковой жидкости, когда для радиального движения пузырьков используется уравнение Рэлея—Лэмба, не может адекватно описать эволюцию волн давления, содержащих достаточно "крутые" участки. В частности, явление расслоения волны на упругий предвестник, распространяющийся со скоростью звука в жидкости, и на основную волну, где проявляются нелинейные эффекты и радиальная инерция. Для устранения такого эффекта было предложено уточнение, которое основывается на том, что радиальная скорость пузырька состоит из двух слагаемых. Причем первое слагаемое описывается уравнением Рэлея—Лэмба, а второе (акустическая
Т - То, г < а; = 0, дг
г = о • Щ,
где се — теплоемкость газовой фазы при постоянном давлении.
Решение вышеприведенной системы ищется в виде затухающей бегущей волны
(р, V,а,п) = Ар),А^, АаЛ») ехР[*'(КХ - юЮ)],
Т = Ат)(г) ехр[/(Кх - ю?)], (6)
(К = к + /5, Ср =Ю к),
где ю — частота возмущений, К — волновой вектор, действительная часть которого отвечает за фазовую скорость Ср, а мнимая — за коэффициент затухания 8. Из условия существования нетривиального решения вида (6) системы (1)—(5) следует дисперсионное уравнение
K2 (1 - а .о)
1
ю
1
ю
(R)2
Ce CMV ' Q хю Q — 1 + 3(y -1) (zcthz -1)/ z2,
-4Viw(R)
CM — ,
YPo
|pe°a g °(1 - а g °)
JR) — a oV3YP° / P0,
-, z — ^-maljvg), (7)
ю
k g
(T) kg 1 • ,, ,, -1/3^-1
v g — —V, X — 1 - ^tA, tA — a° а g0 Ci .
cgp g°
Запишем уравнение, которое следует из уравнений импульсов (1) для решений вида (6):
4» -
K Ap) .
ЮР/0 + Pg0
(8)
(0) , (r) (s) Р + p = p ,
(0) , va cos(
,(0) (r) t
i - va cos (
,(r) (s) ,
i = va cos(
(9)
Здесь 9(0), 9(г) и 9® — соответственно углы падения, отражения и преломления. Ось х направим вертикально вверх в сторону воды, а ось у направим так, чтобы волновой вектор был параллелен координатной плоскости х0у. Тогда для падающей, отраженной и преломленной волн вида (6) при косом падении можем записать
р(0) = АГ ехр [/ (К(0) х + п'у0)у) -ш?)], р(г) = Ар) ехр [ (К(г) (х + пУг)у) - ш?)] , р() = А« ехр[/ ((м (пХ^)х + п(;]у) - ш?)], (10)
/ (0) , (nx = cos(
(r) • I
ny = sin(
(0)
|(r)
(0)
ny = sin (
(s) ,
nx = cos (
Г nXr)
cos
l(r)
,(s)
(s) • ,
ny = sin(
,(s)
Для волновых чисел К0 и имеет место
К(0) = К(г) = ю/ С,. Волновое число определяется из дисперсионного уравнения (7). Амплитуда возмущений скоростей с амплитудами давления связаны выражениями вида (8). Тогда имеет место
A (0) A (r)
Л0) _ A(Р) A(r) _ _ 4p)
4v) - 4(v) -
p/0C/ p/0C/
A (s) = K
4(v) - —
(s)
4(s) Л p)
ю Р, 0 + Р л0
На основе условий (9) для решений вида (10) с учетом (11) при х = 0 получим
Здесь А^) и А( р) — амплитуды для возмущения скорости и давления воды в пузырьковой жидкости.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Пусть на плоскую границу раздела между жидкостью и газонасыщенной жидкостью падает волна. Будем полагать, как и в случае обычных однофазных сред, что отраженная от границы и преломленная волны представляют собой плоские гармонические волны [17]. Тогда в зоне воды малые возмущения представляют собой сумму из двух гармонических волн, а в зоне пузырьковой жидкости — одну гармоническую волну. Возмущения, соответствующие падающей, отраженной и преломленной волнам, снабдим верхними значками (0), (г) и («). В рамках принятой модели для пузырьковой жидкости, когда вязкостные и теплооб-менные процессы учитываются лишь вблизи межфазных границ, смесь односкоростная, тензор напряжений — шаровой (следовательно, пузырьковая среда в целом идеальная), поведение жидкости изотермическое. Поэтому на границе, как и в случае однофазных сред, можно ограничиться лишь двумя граничными условиями: непрерывности давления и нормальной компоненты скорости:
4((p0) exp (iK
(0Ч0) y) + A(p) exp
(iK
= As) exp((K%(;}у),
(r)nyr) y) =
(0)
4p) cos
- Ap) cosí
3(0) exp (iK(0)ny0)y
)
(12)
|(r)
exp
(k
(r) (r) \
()ny )y) =
= Ap) cos Q(s) K
(s)
exp (iK(s)n(;]y
ю Р, 0 + Р Л0
Чтобы эти уравнения выполнялись для любых значений у, должны выполняться равенства
К%уо) = К ^ = К {5)пУ). (13)
Отсюда имеем
sin 0(0) = sin (
,(r)
л(0)
sin и*-'= (K(s)/®) C¡ sin 0(s). (14)
Поскольку волновое число Ks) комплексное, то, как это следует из второго равенства (14), угол преломления также имеет мнимую часть. Для коэффици
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.