№ 3
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК536.2
ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В СИСТЕМЕ С АКТИВНОЙ ТЕПЛОЗАЩИТОЙ
© 2014 г. АТТЕТКОВ А.В., ВОЛКОВ И.К.
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (МГТУ им. Н.Э. Баумана)
e-mail: fn2@bmstu.ru
С использованием композиции сингулярного и регулярного интегральных преобразований в аналитически замкнутом виде найдено решение задачи об определении температурного поля в многослойной конструкции, имитируемой охлаждаемой изотропной пластиной с активной теплозащитой, представляющей собой систему из термоактивной прокладки и анизотропного покрытия, внешняя поверхность которого подвержена воздействию нестационарного теплового потока.
Ключевые слова: охлаждаемая изотропная пластина, термоактивная прокладка, анизотропное покрытие, температурное поле, интегральные преобразования.
PECULIARITIES OF FORMATION OF THE TEMPERATURE FIELD IN A SYSTEM WITH AN ACTIVE HEAT SHIELD
Attetkov A.V., Volkov ¡.К.
Bauman Moscow State Technical University e-mail: fn2@bmstu.ru
With the composition of the singular and regular integral transformations in analytical closed form solution of the problem of determining the active temperature field of a multi-layered structure, the simulated cooled isotropic plate with an active heat shield, which is a system of thermo-activestrip and anisotropic coating the outer surface of which is exposed to unsteadyheat flow.
Key words: cooled plane wall, thermal active layer, anisotropic coating, temperature field, integrated transformation.
Введение. Необходимость разработки новых высокопроизводительных и абсолютно устойчивых численных методов решения задач тепломассопереноса в составных твердых телах обусловлена многими объективными причинами, в т.ч. внедрением в инженерную практику композиционных материалов, обладающих значимой степенью анизотропии [1, 2]. В отличие от классической теории теплопроводности [3—5], в "анизотропной теории теплопроводности" наблюдается явный дефицит тестовых задач: известны лишь единичные случаи решения этого класса в аналитически замкнутом
виде [1, 2, 6, 7] и среди них нет задач сопряжения, т.е. смешанных задач для составных областей.
Цель проведенных исследований — нахождение в аналитически замкнутом виде решения задачи об определении нестационарного температурного поля в трехслойной области при отсутствии идеального теплового контакта [3—5] между слоями и наличии значимой степени анизотропии [1, 2, 5] в одном из них.
ИСХОДНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Для достижения поставленной задачи в качестве объекта исследований использовалась система, состоящая из трех основных элементов: 1) изотропной пластины постоянной толщины L, незащищенная поверхность которой охлаждается внешней средой с постоянной температурой T0, равной начальной температуре объекта исследований; 2) термоактивной прокладки [8] постоянной толщины s, функционирующей по принципу обратной связи [9]; 3) теплозащитного покрытия из композиционного материала постоянной толщины l, внешняя поверхность которого находится под воздействием нестационарного теплового потока.
Согласно цели исследований, при построении математической модели процесса формирования температурного поля изучаемой системы предполагалось, что:
1) на охлаждаемой поверхности изотропной пластины (плоскость y = h + 1) реализуется стационарный режим теплообмена с внешней средой, т.е. Bi — const;
2) термоактивная прокладка представляет собой изотропную пластину постоянной толщины с пленочными покрытиями пренебрежимо малой толщины, суммарная удельная поверхностная мощность теплопоглощения которых пропорциональна отклонению достигнутой температуры от начальной температуры объекта исследований;
3) функционал Q0(x, z, Fo), задающий внешний тепловой поток, воздействующий на объект исследований, интегрируем с квадратом по совокупности пространственных переменных x е (—<», +<»), z е (—при каждом фиксированном значении Fo > 0.
Сформулированные исходные допущения позволяют представить математическую модель изучаемого процесса формирования температурного поля в следующем виде:
2 д9 д 9 dFo дх2
+ 2
д29 дхд у
+ 2
д29
дх дг + ду
д29 + 2 д29
2 дудг
+ Цзз-
д29
з 2, д z
Fo > 0, -H< у < 0,
е К
а* М. = д!9 + д!9 + ^, Fo > 0, 0 < у < h, дFo дх2 ду2 дг2
е R2;
д9 д29 д29 д29 ^ >п , < < , ^ , - = — + — + —, Fo > 0, h < у < h + 1,
дх2 ду2 д zJ
е R2;
9(х, у, z)| fo = 0 = 0;
д9 д9 д9
+ Т" + Ц23Х"
дх ду дг.
= -йй(х, z, Fo);
у = -H
9(х, 0 - 0, г, Fo) = 9(х, 0 + 0, г, Fo);
(1)
59 59 59 п М-12^ + т- + И23"-;- - о09
дх ду дг
у = 0 - 0
9(х, к - 0, г, Ро) = 9(х, к + 0, г, Ро);
- ц ¿9 = ц*
ду
у = 0 + 0
д9
ц* — - «09
ду
■¿39
ду
+ Б19
у = к - 0
- 0:
ц 0-
ду
у = к + 0
у = к + 1
60(х, г, Ро)|Ро>0 е Ь (Я ); О (х, у, г, Ро )|
(Ро > 0) л (-Н< у < к + 1) *=
где последнее условие в (1) означает, что для каждого фиксированного значения Ро е е [0, +<»] и для каждого фиксированного значения у е [—H, h + 1] функционал интегрируем 9(х, у, z, Ро) по совокупности переменных x, у в R2
9 = ^;
х1 х2 х3
х = —; у = —; г = —; Ро = Ь * Ь Ь
. н = - •
т2 ип ип' Т '
Ь с р Ь
1 ап ап-ип д дЛ ип Л ип
, Е 'ц 2 С р ' 2 С р ' '
к = -; ц.,- = —-; а = —---; а* = —---; ц = —;
Т'\ ип ип» * ип ип» д ' \
Ь 1^22 с р ' -- с р ' 1^22
ц* =
-; 60 =
= ОЬ .
'22 Т0
ип '22 * ип ип с р '
(о Ь, Б1 = ^.
'22 'ип
22
0
д
0
22
МЕТОД РЕШЕНИЯ
1. Исходная задача в пространстве изображений двумерного экспоненциального интегрального преобразования Фурье. Математическая модель представляет собой смешанную задачу для системы уравнений в частных производных параболического типа, одно из которых содержит смешанные производные второго порядка по пространственным переменным. При этом функционалы 9^, у, z, Ро), Q0(x, у, z, Ро) как функции x, z интегрируемы с квадратом в R2 и для нахождения решения смешанной задачи (1) допустимо использование двумерного экспоненциального интегрального преобразования Фурье [10], задаваемого двумя линейными операторами:
да да
Ф[-]= | | ехр(- ¡рх - ¡гг)йхйг;
(2)
-да-да
дада
Ф 1[-] = —1—- | |ехр(.рх + ¡гг)dpdr. (2 п)
у ' -да -да
Полагая далее
А(р, у, г, Ро) = Ф[9(х, у, г, Ро)]; Я(р, г, Ро) = Ф[О0(х, г, Ро)],
воспользовавшись стандартными свойствами экспоненциального интегрального преобразования Фурье [10, 11] и обозначениями (3), представим смешанную задачу (1) в пространстве изображений сингулярного интегрального преобразования (2) в виде:
а2-дГ = + 2'+ и-зг)- (ц1ЬР2 + + ЦззГ2)А,
дБо д у2 д у
Бо > 0, -Н< у < 0;
а- — = — - (р2 + г2)А, Бо > 0, 0 <у < к; дБо ду2
— = — - (р2 + г2)А, Бо > 0, к <у < к - 1; дБо ду2
А(р, у, г, 0) = 0;
ТТ + г'(^1-р + и-зг) А .ду
-д(р, г, Бо);
(4)
у = -Н
А (р, 0 - 0, г, Бо) = А(р, 0 + 0, г, Бо);
д-А + ¿(Ц1-Р + и-зг) А - Юс А _ду .
= и дА = и* т-
у=0-0 ду
у = 0 + 0
А(р, к - 0, г, Бо) = А(р, к + 0, г, Бо);
■ дА .
и*^— - Ю0А
ду
^ + АБ1"
у = к - 0
= и дА
у
у = к + 0
у
0.
у = к + 1
Для удобства дальнейших преобразований целесообразно считать, что изображение
А (р, у, г, Бо) = В(р, у, г, Бо)
ехр [-(и1-р + и-зг)у]; -Н< у < 0
(5)
1; 0 < у < к + 1
где функционал В(р, у, г, Бо) является решением смешанной задачи, соответствующей (4):
(6
.М. = d(y) — - е(р, у, г)В, Бо > 0, -Н< у < к + 1;
дБо
у 2
В(р, у, г, 0) = 0;
-д(р, г, Бо)ехр[-;(и1-р + и-зг)Н];
дВ
у
у = -Н
В(р, 0 - 0, г, Бо) = В(р, 0 + 0, г, Бо);
В
В
— + Ю0В
у
= и* ^
у=0-0 ду
(7 (8
(9 (10
у = 0 + 0
В(р, к - 0, г, Ро) = В(р, к + 0, г, Ро);
' дВ '
ц* — - «0В
ду
дВ + Б1в"
у = к - 0
ц дВ
д у
у = к + 0
.д у
0,
(11) (12)
(13)
у = к + 1
при записи которой использованы следующие обозначения:
d ( у ) =
а 2; -Н< у < 0 а*2; 0 < у < к 1; к < у < к + 1
е (р, у, г)
а у(р, г); -Н < у < 0 а* 8(р, г); 0 < у < к 8(р, г); к < у < к + 1
(14)
Y(P, г) = (цц - ц 12)р2 + 2(ц1з - ц^з^ + (цзз - ц2з)г2;
\ А 2 2
8(р, г) = р + г
и квадратичная форма у(р, г) полагалась положительно определенной [12].
Теоретически решение смешанной задачи (6)—(14) может быть получено либо с использованием интегрального преобразования Лапласа [4], применяемого по пространственному переменному Ро, либо с использованием конечного интегрального преобразования [11], применяемому по пространственному переменному у е [—H, h + 1]. Результаты предварительного анализа каждого из этих вариантов демонстрируют их весьма существенные недостатки. В первом случае возникают далеко неординарные трудности при обращении преобразования Лапласа. Достаточно заметить, что в комплексной плоскости изменения параметра интегрального преобразования Лапласа мы
будем иметь три точки ветвления: 501 = a-2y(p, г); s02 = а*2 8^, г); s03 = 8^, г), взаимное расположение которых зависит от параметров p, г использованного сингулярного интегрального преобразования (2). С учетом сказанного предпочтение было отдано второму возможному варианту, недостатки которого проявляются на заключительном этапе его реализации и будут обсуждаться ниже.
2. Конечное интегральное преобразование по пространственному переменному у е [—Н, А + 1] и его использование. Согласно общей теории интегральных преобразований [11], искомое интегральное преобразование, предназначенное для решения смешанной задачи (6)—(13), порождается линейным дифференциальным оператором второго порядка
d(у) —- - е(р, у, г) [>[•], dy
(15)
а также граничными условиями и условиями сопряжения, соответствующими граничным условиям (8), (13) и условиям сопряжения (9)—(12). Следует заметить, что зависи-
мость определяющего линейного дифференциального оператора (15) от параметров р, г использованного двумерного экспоненциального интегрального преобразования Фурье (2) порождает основные трудности при практическом использованием полученных результатов.
Согласно сказанному, идентифицируем интегральное преобразование по пространственному переменному у е [-Н, к + 1]:
к +1
Ж(р, Хда г, Бо) = | В(р, у, г, Бо)р(у)К(Хда у)dy =
-Н
0
= |В(р, у, г, Бо)р(у)К(Хда у)йу + (16)
-Н
к к +1
+ \В(р, у, г, Бо)р(у)К(Хда у)dy + | В
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.