ВЕСТНИК ЮЖНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА Том 11, № 1, 2015, стр. 16-23
= МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 539.3
ОСОБЕННОСТИ ВОЛНОВОГО ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЫ С ПОКРЫТИЕМ
© 2015 г. Т.И. Белянкова1, А.С. Богомолов1, В.В. Калинчук1, В.А Лыжов1
Поступила 30.10.2014
Предложен эффективный метод построения матрицы-функции Грина бесконечного кругового цилиндра со слоисто-неоднородным покрытием. Метод основан на сочетании аппарата операционного исчисления для неоднородных составляющих покрытия с матричным подходом при удовлетворении граничных условий. Построены удобные для программирования матричные формулы, позволяющие с высокой точностью изучать влияние параметров элементов, составляющих покрытие, на структуру поверхностного волнового поля и особенности распространения поверхностных волн. На примере задачи о торсионных колебаниях цилиндра проведен анализ влияния параметров элементов двух- и трехслойного покрытия на поверхностное волновое поле. Выявлено существенное влияние наличия жесткой или податливой составляющей покрытия на структуру волнового поля. В частности, показана трансформация дисперсионных характеристик неоднородного цилиндра в зависимости от соотношения механических и геометрических параметров составляющих его покрытия. Исследование свойств функции Грина показало, что в цилиндре с низкоскоростным слоистым включением каждая мода поверхностной волны существует в ограниченном диапазоне частот. Наряду с критической частотой возникновения моды существует частота ее исчезновения - частота, выше которой данная мода подавляется за счет наложения нуля функции Грина на ее полюс. Амплитуда моды волны становится близкой к нулю. Исследование, проведенное для цилиндра с высокоскоростным покрытием, показало, что поверхностные волны существуют во всем диапазоне частот.
Ключевые слова: слоисто-неоднородные среды, полый цилиндр, многослойное покрытие, функция Грина многослойного цилиндра, торсионные колебания, поверхностные волны, дисперсионные характеристики.
ВВЕДЕНИЕ
Изучению особенностей распространения волн в слоисто-неоднородных средах уделяется большое внимание в литературе. Систематическое изложение теории распространения различных типов волн в слоистых средах дано в [1; 2]. В [3-8] рассмотрены различные аспекты процессов возбуждения и распространения волн в неоднородных и слоисто-неоднородных средах, предложены эффективные методы исследования, развиты элементы теории распространения поверхностных волн. В [8] на основе исследования свойств функции Грина показано, что в среде с низко скоростным слоистым включением каждая мода поверхностной волны существует в ограниченном диапазоне частот. Наряду с критической частотой возникновения моды существует частота ее исчезновения -
1 Южный научный центр Российской академии наук (Southern Scientific Centre, Russian Academy of Sciences), 344006, г. Ростов-на-Дону, пр. Чехова, 41, тел. 8 (863) 250-98-10, e-mail: kalin@ssc-ras.ru
частота, выше которой данная мода подавляется за счет наложения нуля функции Грина на ее полюс. Амплитуда моды волны становится близкой к нулю. В [9-24] рассмотрены различные аспекты процессов возбуждения и распространения волн в цилиндрических телах. В [9] исследовано волновое поле, инициированное жестким бандажом, совершающим радиальные колебания на поверхности предварительно напряженного цилиндра. В [10-14] исследованы нормальные и крутильные колебания цилиндров, выполненных из предварительно напряженных материалов. В [15] изучены свойства поверхностных волн, показано существенное влияние геометрических параметров стенки цилиндра на его акустические свойства. В [16-23] исследованы особенности возбуждения и распространения волн в заполненном жидкостью цилиндре. Показано, что наличие жидкости приводит к существенному усложнению структуры волнового поля. В то же время основную роль в распространении волн играют упругие свойства системы бесконечный цилиндр-жидкость. В настоящей работе предложен
эффективный метод исследования динамических свойств бесконечного кругового цилиндра со слоисто-неоднородным покрытием. Построены удобные для программирования матричные формулы, позволяющие с высокой точностью изучать влияние параметров элементов, составляющих покрытие, на структуру поверхностного волнового поля и особенности распространения поверхностных волн в цилиндрических телах. На примере задачи о торсионных колебаниях цилиндра проведен анализ и выявлены некоторые закономерности влияния параметров элементов двух- и трехслойного покрытия на формирование и структуру поверхностного волнового поля. Показана трансформация дисперсионных характеристик неоднородного цилиндра в зависимости от соотношения механических и геометрических параметров составляющих его покрытия.
КОЛЕБАНИЯ ТРУБОПРОВОДА С НЕОДНОРОДНЫМ ПОКРЫТИЕМ
Рассматривается задача о колебаниях трубопровода, стенка которого представляет собой пакет N вложенных друг в друга и сцепленных между собой круговых бесконечных однородных цилиндров (рис. 1) под действием нагрузки ( 2, ?), рас-
пределенной в области 21 < 2 < 22 на его поверхности. Предполагается, что механические параметры составляющих стенку трубопровода материалов Rn- 1 < гп < Rn (п = 1, 2, ..., N являются постоянными: Рп (гп) = Рп, Ап (гп) = Ап, Пп (гп) = Пп.
Полагаем, что колебания вызваны действием гармонической нагрузки с частотой режим колебаний установившийся. При исследовании колебаний неоднородного трубопровода со слоистой (многослойной) стенкой традиционно используют безразмерные параметры: линейные величины относят к характерному линейному размеру 10 (например, толщине одного из слоев 10 = Нп = Rn - Rn_1 стенки цилиндра, толщине стенки цилиндра 10 = = Rn - R0 или полуширине бандажа 10 = 0,5 | г2 - 21 |), напряжения и усилия - к значению модуля сдвига "опорного" материала слоя и0: I * = II о1, А* = Аио\ и* = и* По1, плотность - к значению плотности "опорного" материала слоя р: р* = рро1. В качестве частоты использован безразмерный параметр
к2 = ~к¥°х, где У8 = Vи0Ро1 - скорость сдвиговой волны в однородной среде с параметрами А0, и0, Р0. Далее звездочки опущены.
В сделанных предположениях краевая задача описывается системой уравнений
а2 и(п)
V- @(п) =
Рис. 1. Сечение трубопровода из пакета вложенных друг в друга сцепленных однородных цилиндров
и граничными условиями
г = RN: п- &№ =
-гШ
2 ] < 2 < 2
1 ^ ^ ¿2, 2 < 21, 2 > 22;
= ь (г, {, 2) е
I0,
гп = К ,|2 |< 3:
п Гп) - @ (п) = п Гп+1) - @(п+1), и (п) = и(п+1), п = 1,2,., N-1; г = К0, 121 < з: пГ1) - &(1) = 0
(2)
(3)
(4)
&(п) - тензор, определяющий напряженное состояние среды п-го слоя стенки трубопровода, компоненты которого в цилиндрических координатах представляются выражениями (1тп = Ап + 2ип):
1 ди (п) ди <п)Х
д2 д2 1 ди (п) ди К
гд{
ди^
дг
дг
,(п )\
(5)
Рп
дt2
(1)
е(п) = е(п) = и
фГ гф I ,
(п) _ П(п)
(п)
ди (п) 1 ди д2 г д(
ди Гп) ди 2)
д
дг
u<">(г, ф, г, t) = |и^), и), и?)| - вектор смещения верхности, " - частотаколебаний. Используя пред-1 J ставления компонент (5), можно уравнения движе-
в упругой среде, р„ и п(п) - плотность материала ния (1) для однородных цилиндров, составляющих п-го слоя стенки трубопровода и нормаль к его по- стенку трубопровода, переписать в виде
L (п ) [и
(п)
(Ап + Пп)~- (Ап + 3Пм) 1 д
г дгдф
д{
д2 и (п)
и фп ) + (Ап + = 0,
дгдг
(Ап + 3Пп) диГп) , (Ап + Пп) д2иГп\т(п^ (пЛ , (Ап + Пп) д2и) _
+ + L ф I и ф I + 0,
г 2 дф г дгдф 1 J г дфдг
(Ап + Пп)
д2
1д
дгдг г дг
^О^п! +L zn) [и п ] = о.
г дгдф
(6)
L (,п), L ф11), L Zn) - дифференциальные операторы, определенные в п-м цилиндре пакета, составляющего стенку трубопровода, имеют вид
д2
L(n) = 1тп
д2
1 д 1
дг2 г дг
-Пп
1 д2
- Рп
L
дг 2 г2 дф2
1 д2
дt
2
(п) =
1тг
г2 дф2
д2 д2
1 д
дг2 дг2 г дг
- Рп
дt2
L
(п) _
1т п
д2
1 д
"дг2 1 д2
дг2 г дг г2 дф2
- Рп
дt2
(7)
Граничные условия (2)-(4) с учетом (5) принимают вид
2
2
2
2
ф
г = RN■■
ег5) = 1тп ^ + Ап
N)
1 ди ф^ ди N
е(Ж) = п
^гг У-п
дг п г г д{ дг
1 ди N ди ф^ и ф^
Чг(г, ф, г), 21 < 2 < 22,
г д{ дг
/ ди^ Р
\ дг дг
= чф (г, ф, г), г 1 < г < г2
Чг(г, ф, г), г 1 < г < г2,
(8)
е^= егфф) = ег^) = 0, г < гь г >.
2
гп = Rn, |г|< 3 (п = 1,2,..., N-1):
е(п) = е(п+1) е(п) = е(п+1) е(п) = е(п+1)
гг гг г{г{ гг гг
и г и г , и фп и фп , и г и г ; (9)
г = R0, | г | < з:
еЦ > = егф) = ег1) = 0 (10)
Система уравнений (6) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, для реше-
ния которой можно использовать эффективные численно-аналитические методы [5-14]. Исследование колебаний многослойного цилиндра представляет собой достаточно сложную многопараметрическую задачу, решение которой представляется в интегральной форме и зависит не только от материальных констант составляющих стенки цилиндра, но и от их геометрических параметров. Для прозрачности исследования влияния параметров на динамические характеристики рассмотрим частный случай описанной выше задачи,
а именно будем исследовать торсионные колебания трубопровода, что позволит при существенном упрощении выражений, определяющих движение среды, исследовать основные закономерности влияния параметров многослойного трубопровода на его динамические характеристики.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТОРСИОННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ТРУБОПРОВОДА С МНОГОСЛОЙНОЙ СТЕНКОЙ
Рассмотрим торсионные колебания кругового бесконечного цилиндра в предположении, что выполнены условия
ди(п)
(п) _ (п) _
I г и 2
0, и (п) = и (п)(г, 2),
д{
0, (11)
и {п) - тангенциальная компонента вектора перемещений. С учетом представлений (5) выпишем отличные от нуля компоненты тензора напряжений:
з(«) = е(п) = и
г{{г
ди
(п ) ф
и
(п ) ф
дг г
ди (п) (п) = е(п) =,,Н{ 2( иф2 М-п
(12)
д2
де(Гг> ег()+е(г> де{2 д2 и(п)
дг
д2
дt2
с граничными условиями:
2) е 12 | > а,
е^ ) =
г{
*0, |2
-а < 2 < а,
(13)
(14)
Ь1 =
(18)
ло слоев в стенке трубопровода), размерность матрицы Ь N - 2N X 2N. Пусть N = 1. Представим матрицу ЬN в виде
^ 1ц Р
\р 011
Здесь А *т и Р 01 - двухэлементные векторы ([1x
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.