научная статья по теме ОСРЕДНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ПОСТОЯННОМ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТАВОЗМУЩАЮЩЕМ УСКОРЕНИИ Астрономия

Текст научной статьи на тему «ОСРЕДНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ПОСТОЯННОМ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТАВОЗМУЩАЮЩЕМ УСКОРЕНИИ»

АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 91, № 12, с. 1060-1068

УДК 521.1

ОСРЕДНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ПОСТОЯННОМ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА ВОЗМУЩАЮЩЕМ УСКОРЕНИИ

© 2014 г. Т. Н. Санникова1*, К. В. Холшевников1'2

'С.-Петербургский государственный университет, С.-Петербург, Россия 2Институт прикладной астрономии Российской академии наук, С.-Петербург, Россия Поступила в редакцию 01.12.2013 г.; принята в печать 21.05.2014 г.

Рассмотрено движение точки нулевой массы под действием притяжения к центральному телу и возмущающего ускорения Р, постоянного в трех наиболее употребительных в астрономии системах отсчета: основная инерциальная О и две орбитальные О8 с осью х по радиусу-вектору при в = 1 и по вектору скорости при в = 2. Отношение |Р| к основному ускорению, вызванному притяжением центрального тела, считаем малым. К уравнениям движения в оскулирующих элементах применено осредняющее преобразование в первом приближении по малому параметру. Получены замкнутые выражения как для функций замены переменных, так и для правых частей уравнений движения в средних элементах. В системах О, О1 все встречающиеся функции элементарны; в системе О2 появляются эллиптические интегралы. Получены разложения всех нужных величин в ряды по степеням эксцентриситета е, сходящиеся при 1е1 < 1. Решение уравнений планируется в следующей публикации. Возможные приложения рассматриваемой задачи: движение космического аппарата с малой постоянной по модулю тягой; движение астероида, на котором установлен реактивный двигатель, обеспечивающий малую постоянную по модулю тягу с целью, например, предотвращения столкновения с Землей.

001: 10.7868/80004629914120093

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим следующую задачу. Пусть точка нулевой массы А (например, астероид) движется под действием притяжения к центральному телу Б (например, Солнце) и возмущающего ускорения Р. Введем три наиболее употребительные в астрономии системы отсчета с общим началом Б, но разными направлениями осей: основная инерци-альная О с ортами 1, ^ к и две сопутствующие О3 с ортами х^,^, к5. Орты системы О1 направлены по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей). Орты системы О2 направлены по вектору скорости, главной нормали к оскулирующей орбите и бинормали. В качестве вспомогательной понадобится также система О3 с ортами, направленными в перицентр оскулирую-щей орбиты, по нормали к в плоскости оскули-рующей орбиты в сторону движения и бинормали.

Пусть в одной из систем О, О1, О2 компоненты вектора Р постоянны. Случаи постоянства Р в

E-mail: TNSannikova@gmail.com

системах О, О1 рассмотрены в [1]. Здесь мы дополним результаты [1] и исследуем более трудный случай постоянства в системе О2. Именно, получим уравнения движения в оскулирующих элементах и применим к ним осредняющее преобразование, считая отношение возмущающего ускорения |Р| к основному к2¡г2 малой величиной порядка / ^ 1 и ограничиваясь возмущениями первого порядка. Здесь г = БА, к2 — произведение постоянной тяготения на массу тела Б. Решение осредненных уравнений мы исследуем в следующей статье.

Поставленная модельная задача имеет несколько приложений.

Постоянство Р в системе О соответствует предельному случаю задачи двух неподвижных центров, интегрируемой в квадратурах даже без осреднения. Вывод квадратур и приложение к задаче об учете светового давления в движении ИСЗ можно найти в книге [2, § 3.8] вместе со ссылками на оргинальные статьи.

Для перевода ИСЗ на более высокую орбиту с помощью двигателя малой постоянной по модулю тяги проще всего (с точки зрения управления движением) считать Р постоянным в системе О2 или

01. Разумеется, здесь необходим учет значительных возмущений от сжатия Земли. Как известно [3], [4, § 17.12], при ограничении первой степенью сжатия осредненный гамильтониан зависит только от большой полуоси, эксцентриситета и наклона, так что учет сжатия легко осуществим, и мы получаем качественную картину движения. Высокоточный учет возмущений в любом случае возможен только численными методами.

Рассмотрим движение астероида, на котором установлен реактивный двигатель, обеспечивающий малую постоянную по модулю тягу с целью, например, предотвращения столкновения с Землей. Если астероид не вращается, или двигатель установлен на одном из его полюсов, то Р постоянно в системе О. Однако при установке двигателя на зависнущем рядом с астероидом КА по схеме гравитационный тягач [5] можно осуществить постоянство Р и в любой из систем 03. Возникающие здесь технические трудности мы не рассматриваем. Если выяснится, что требуемое изменение орбиты недостижимо, дальнейшая работа не нужна. Если же схема окажется эффективной, можно будет заняться ее техническим воплощением.

2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ИХ ОСРЕДНЯЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Обратимся к уравнениям движения типа Эйлера в оскулирующих элементах [6]. За последние выберем кеплеровские элементы и, е, г, 0,,а,М — среднее движение, эксцентриситет, наклон к основной плоскости с ортами 1, ^ долгота восходящего узла, аргумент перицентра и средняя аномалия. Выбор среднего движения вместо большой полуоси а сильно упрощает операции осреднения, поскольку скорость изменения М в невозмущенном движении линейно зависит от и, но существенно нелинейно от а.

Принято различать вектор медленных переменных х = (и,е,г, 0.,а), постоянных в невозмущенном движении, и скалярную быструю переменную у = М, линейно зависящую от х1 = и. Здесь и ниже компоненты трехмерного вектора Р и пятимерных векторов х, {, и, X, Е обозначены теми же буквами с номером компоненты в виде нижнего индекса.

Приведенные в [7] уравнения типа Эйлера в любой из трех указанных системах отсчета имеют вид

х = ^ (x,y), 0)

У = Х1 + м(х,у).

Здесь точка означает дифференцирование по времени ¿, ^ — малый параметр, который мы

вводим искусственно и считаем постоянным, а f = = (fi, f2, /з, ¡4, /5) иg - вещественно-аналитические функции в окрестности начальных данных. Более того, аналитичность гарантируется при всех вещественных и, Q,a,M. Ограничимся эллиптическим оскулирующим движением. Особенности в этом случае возникают при e = 0 и sin i = 0, но они устраняются переходом к переменным типа Лагранжа.

Совершим замену переменных x = X + |u(X,Y), y = Y + |v(X,Y), в результате чего (1) перейдет в систему X = |F(X, Y) + ..., Y = Xi + iG(X, Y) + ....

В дальнейшем мы ограничимся возмущениями первого порядка и не будем указывать на наличие членов более высокого порядка.

Согласно [8, 9], функции u,v и F,G от X,Y связаны соотношениями

^ dv ^

=ui+g -G.

dY

(2)

Первые пять (в скалярной форме) уравнений (2) независимы друг от друга и от последнего уравнения, и каждое содержит две неизвестные функции ик, Fk (к = 1,..., 5). После определения и1 в последнем уравнении (2) также остаются две подлежащие определению функции V, О.

Уравнения вида (2) досконально изучены в небесной механике. В случае одной быстрой переменной не возникает малых знаменателей и решение находится элементарно. Согласно методу осреднения следует за Е взять среднее значение {:

П

¥(Х) = £((Х, У) = J ((X, У)йУ.

— П

После этого и находится простой квадратурой

и(Х,У )= (3)

= 2Т(Х, У) ±- I р(X, У) - ЩХ, У)] с1У,

где первообразная выделяется однозначно условием нулевого среднего

Е и = 0.

Теперь однозначно находятся О и V:

О(Х)= Ед(Х,У), (4)

v(X,У)= 1 [и1 (X, У) + д(Х, У)] , Ev = 0.

Таким образом, функции Е, С не зависят от У, а функции и, V периодичны по У и обладают нулевым средним.

Обычно уравнения небесной механики сложны настолько, что интегралы (2), а тем более (3), (4) не берутся в элементарных и даже стандартных специальных функциях. В более простых задачах интегралы элементарны. Примеры можно найти, например, в книге [10]. Приведенные в [7] уравнения в системах О, О1 также допускают элементарные интегралы. Что касается системы О2, то наряду с элементарными там встречаются выражения, содержащие эллиптические интегралы, а для V и неопределенные интегралы от подобных выражений. Впрочем, для малых и умеренных эксцентриситетов их легко вычислить с помощью рядов по степеням эксцентриситета, что и сделано ниже.

гп 3е 3е .

^з = ---соэстФз, Е4 = -~-:—тэто-Фз,

2шап 2шапвш г

^ 3п ж 3еctgг .

= ' + » втаФз,

2иае

2иап

с = 3<1+е2>Ф,.

2шае

Здесь г] = л/1 — е2, Фк ~ компоненты Р во вспомогательной системе О3:

Фк = Ъ^ Р1 + Ъ2к Р2 + Ъзк Рз.

Коэффициенты Ъ3к служат элементами матрицы поворота В(г, О, а) от системы О к системе О3

3. ОСНОВНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ О

Правые части уравнений (1) в функции от истинной в и от эксцентрической аномалии Е содержатся в [7].

Средние значения {, д вычислены в [1]:

= 0,

р2 =

2ша

(5)

Р1 Ф1 Ф1 Р1

Р2 =В Ф2 , Ф2 = В* Р2

Р3 Ф3 Ф3 Р3

, (6)

где В* — сопряженная В матрица. Согласно [6, §3.8]

В

сов а сов О — сов г вш а вшО — вш а сов О — сов г сов а вшО вш г вшО, ^ сов а вш О + сов г в1п а сов О — в1п а в1п О + сов г сов а сов О — в1п г сов О вш г в1п а в1п г сов а сов г у

Функции замены переменных и, V также содержатся в [1]:

3

и1

[(е + 2 сов Е)Ф1 + 2г] в1п ЕФ2] , (7)

2иа

Ти 1 = ^^|[-2(2-е2)вт£; + евт2£;]Ф1 + + п[2е + 4 сов Е — е сов 2Е]Ф2 },

П

и2 = Т-Т- [V СОё 2Еф1 + (~2е вт Е + вш 2Е)Ф2], и3 = Л 0 _ ([2(2 - е2) &\пЕ -евт 2Е] со& а +

4и2ап I

+ п[2е + 4сов Е — есов2Е] вта|Ф3,

1

и4 =

4и2ап в1п г

— е2) в1п Е —

— е в1п 2Е] в1п а — п[2е + 4 сов Е —

1

и5

4ш2ае

— е сов 2Е] сов а |Ф3,

—2е в1п Е + в1п 2Е)Ф1 +

+ (2е2 + 4е сов Е — сов 2Е)Ф21 — сов ги4,

— (1 — 3е2 )в1п2Е]Ф1 + п[2е2 +4е сов Е + + (1 — 2е2) сов 2Е ]Ф^,

— I Г—2е(9 - 4е2) вт Е -4ш2ае1

V =

— (1 — 6е2)в1п2Е]Ф1 + п[8е2 + 16есов Е +

+ (1 - 5е2)сов2^]Ф^.

и1

и1 =

[(е + 2 сов Е)Б - 2п вт ЕТ], - е2) эт Е - е вт 2Е]Б +

Зе

2иа 3е

4и2 а

+ п[2е + 4 соэ Е — е соэ 2Е]т}, ^Л_[-2г](е + 2со8Е)Б +

и2 =

+

и5 = -

2(4 - 3е2) эшЕ - е вт2Е Т^,

3 эт ЕБ + [2е(2 - е2) +

4и2 ае

+ 4(2- е2) соэ Е - есоэ2Е]т} - соэ г

и 1

вт Е - е эт2Е)Б + 2

4и2ае

+ п[2е(2 - е2) + 4(2 - е2) соэ Е - есоэ 2Е]т}, 1 Г [2(2 + бе2 — Зе4) эт Е —

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком