ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 6, с. 503-515
= ТОКАМАКИ
УДК 533.9.01
ОСТРОВА И ЭРГОДИЧНОСТЬ ТОКА В ПЛАЗМЕ ТОРОИДАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ЛОВУШЕК
© 2014 г. А. А. Сковорода, Е. А. Сорокина
НИЦ "Курчатовский институт", Москва, Россия e-mail:skovorod@nfi.kiae.ru,sokate@mail.ru
Поступила в редакцию 23.09.2013 г. Окончательный вариант получен 26.11.2013 г.
Гамильтоново описание используется при анализе магнитных и токовых структур, возникающих в результате резонансных возмущений равновесной тороидальной магнитной конфигурации с током. Основное внимание уделяется осесимметричным конфигурациям токамака и пинчей. Показано, что из-за сильного различия в зависимостях магнитного и токового вращательного преобразований от давления плазмы, резонансы (острова) поля и тока могут не совпадать. Рассмотрено возмущенное бессиловое равновесие пинча в цилиндре, где острова поля и тока совпадают. Дается объяснение долгоживущей ribbon-структуры, наблюдаемой в токамаке JET, как бессилового магнитотоко-вого острова.
DOI: 10.7868/S0367292114050084
1. ВВЕДЕНИЕ
За последние десять лет накопились многочисленные экспериментальные свидетельства наличия локальных токовых структур в токамаках, обращенных пинчах (RFP) и сферических токамаках, см., например, [1]. Ключевое слово здесь токовые. Хотя в работах [2, 3] было показано существование стационарного решения идеальных МГД-уравнений в тороидальной плазме в виде токовихревой нити (current carrying filament) и были получены уравнения взаимодействия нескольких токовихревых нитей, униполярный ток при объяснении наблюдаемых структур и вызываемых ими явлений в токамаке, как правило, не учитывался.
Новейшие наблюдения сильных токовых структур на периферии плазмы ассоциируются с активностью краевых локальных мод (ELM) в улучшенном H-режиме удержания плазмы тока-мака, которые схожи с локальными blob-структу-рами, наблюдаемыми в L-режиме удержания [4]. Генерацию этих структур связывают с сильной турбулентностью краевой плазмы [5]. Помимо сравнительно короткоживущих и мелкомасштабных токовых структур наблюдаются и долгоживу-щие достаточно крупные винтовые токовые структуры (ribbon) [6]. В работе [6] наблюдавшиеся ранее в токамаке JET МГД-колебания под названием Outer Mode были идентифицированы как долгоживущий (длительностью 1.4 с) тороидально вращающийся с ионной скоростью (co-rotating) винтовой (m = 4, n = 1) токовый (ток 100— 300А в направлении основного разрядного тока) замкнутый филамент диаметром несколько сан-
тиметров. Эта локальная токовая структура (Юге-БЬМ) возникает спонтанно при небольшой плотности плазмы на малом участке плоского профиля давления пьедестала и исчезает с генерацией первого БЬМа. Теоретическое описание наблюдаемых явлений далеко от завершения.
В настоящей работе рассматриваются островные пространственные структуры, формируемые силовыми линиями магнитного поля и тока в результате малых глобальных резонансных возмущений базовых равновесных тороидальных конфигураций с током. Пренебрегая токами смещения, имеем связь вектора плотности тока '} с
с
вектором магнитного поля В, ' = УхВ, — > 1,
и А
где с — скорость света, и А — скорость Альвена. Естественная соленоидальность плотности тока V •' = 0 отражает условие непрерывности и квазинейтральности в плазме. Соленоидальность ' дает основание для использования гамильтонова описания силовых линий плотности тока по аналогии с гамильтоновым описанием силовых линий соленоидального магнитного поля, V • В = 0. Такое описание проведено в работе [7], где показано, что отмеченная выше аналогия приводит к понятиям остров тока и эргодичность тока. Основное внимание в настоящей работе уделяется осесимметричным базовым конфигурациям (то-камак, пинч).
Статья организована следующим образом. Раздел 2 посвящен гамильтонову описанию магнитного поля и тока. В 3 разд. демонстрируется формирование пространственных структур и эр-
годичности силовых линии вектора плотности тока при задании резонансного возмущения гамильтониана магнитного поля. Возмущение гамильтониана тока рассчитывается, исходя из связи = V х В. Важно заметить, что при этом не требуется сохранение условия равновесия. Таким образом, проводимое в разд. 3 рассмотрение ничего не говорит о дальнейшей быстрой (с альфве-новскими скоростями) эволюции возникающих возмущений, а только демонстрирует возможность образования островных структур и эргодичность тока. В четвертом разделе рассматривается возмущенное бессиловое равновесие в цилиндре. В отличие от разд. 3, в разд. 4 требуется сохранение равновесия при возмущении. В разд. 5 дается описание г1ЪЪоп-структур как бессилового магнитотокового острова. Заключение завершает статью.
2. ГАМИЛЬТОНОВО ОПИСАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ТОКОВ
Известно, что тороидальное магнитное поле, в том числе и эргодическое, можно представить в виде
2пВ = УФ х У а2 + х Уа3,
(1)
где
¥ = ¥ (Ф, а2, а3)
— гамильтониан поля,
Ф, а2, а3 — радиальная, угловые полоидальная и тороидальная координаты [8]. Используя (1), записываются гамильтоновы уравнения магнитных силовых линий
йа2 В • Уа2 _ (д^
йа3 В • Уа3 1дФ,
йФ В •УФ
йа3 В •Уа3 чда2 у
(2)
Ф, а = сош!
Магнитные конфигурации с вложенными магнитными поверхностями (базовые конфигурации) характеризуются гамильтонианом ¥ = ¥ 0 (Ф 0), где ф = ф 0 принимает смысл тороидального магнитного потока, а ¥ 0 — внешнего полоидального магнитного потока. При этом из (2) следует
й а2 дЧ
й Ф
йа -дФ1= *(Ф0), йа=0,
йа дФ0 йа
(3)
где ц 0 — вращательное преобразование магнитного поля. Для задания базового гамильтониана равновесного магнитного поля достаточно знать функцию ц 0 (Ф0). Заметим, что использованные в
/1 \ 2 3
(1) специальные угловые координаты а , а выпрямляют магнитные силовые линии [9].
Естественным дополнением к представлению магнитного поля (1) служит потоковое представление плотности тока '} = V х В
2%} = УI х Уа2 + УР х Уа3,
(4)
порождающее токовое представление магнитного поля
2п В = IV а2 + Р Уа3 + Уи.
(5)
Здесь токовые функции I, Р (ф, а2, а3) — периодические функции угловых координат а2, а3, периодическая функция с нулевым средним значением и (ф, а2, а3) определяется из условия V • В = 0. Используя (4), записываются уравнения силовых линий вектора плотности тока1
дР
дР д1
йа21 __дФ [ йФ) _ да2 да3 йа3); , Iйа3
(6)
д1_
дФ дФ
Равновесие базовой магнитной конфигурации с вложенными магнитными поверхностями требует выполнения условия ' УФ = 0. В (6) это
йФ
означает выполнение равенства, 3
чйа / ]
= 0 или
дР д1
да2 да3
= 0.
(7)
Общее решение уравнения (7) имеет вид Р =
Р(Ф0) + -Щ, I = ] (ф0) + . В результате (5)
да да
принимает стандартный вид [9]
2пВ = / (Ф0) Уа2 + Р (Ф0) Уа3 - vVФ0 + Уф, (8)
где т = и + Е, V = —. Специальным выбором уг-дФ
ловых координат (координаты Хамады) всегда можно получить V = 0 и выпрямить токовые траектории [9]
йР
--й-Р(®0).
йа
(9)
йМ М йФ 0
Здесь ц7 — токовое вращательное преобразование. В этом случае Р = Р (/) является токовым га-
мильтонианом.
Используя интегральное уравнение равновесия Крускала—Калсруда
йФ 0 йФ 0 йФ 0 йФ 0 йФ 0'
(10)
1 Предполагаем наличие тороидального тока, — Ф 0.
дФ
Рис. 1. Сечение Пуанкаре при у = 0.005, (а) для магнитного поля (23), (б) для плотности тока (24) при р р = 0.001, (в) вр = 0.25, (г) вр > 0.35.
можно получить для Ц J формулу
Ц j = Цо
f dp йУ л d W 0 dФ
1 --
'о
dJ
dФ
(11)
о у
Здесь p = p (¥ 0) — давление плазмы, V = V (Ф 0) — объем внутри магнитной поверхности Ф 0 = const. Функция p (¥ 0) считается известной. При dp
d
= 0 (бессиловое равновесие) вращательные
преобразования тока и поля совпадают, ц j = ц 0.
При увеличении градиента давления
dp d¥o
> 0 то-
ковое вращательное преобразование уменьшается до нуля при-= 0 (параметр бета, В , рассчи-
аф Р
танный по полоидальному магнитному полю близок к единице, рр ~1). Токовое вращательное преобразование меняет знак при дальнейшем увеличении давления, рр > 1.
Мы приходим к важному выводу, что токовое вращательное преобразование значительно более
чувствительно к изменению давления плазмы, чем магнитное вращательное преобразование. Это является причиной появления существенных различий в виде и положении пространственных структур магнитного поля и тока.
3. ОСТРОВА И ЭРГОДИЧНОСТЬ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ '
Используя равновесные координаты Хамады Ф0, а2, а3, зададим малое возмущение у <§ ¥0 базового гамильтониана магнитного поля2
¥ = ¥ 0 (Ф 0 ) + У (Ф 0, а2, а3). (12)
Получим выражения для соответствующих возмущений /, 1,3 в токовом представлении магнитного поля
Р = Т (Фс)+ / (Фс, а2, а3), I = I (Ф0) +1 (, а2, а3), (13)
и = ф + $(ф0, а2, а3).
2
В возмущении у использованы координаты Хамады, полученные в невозмущенном равновесии. Такая процедура корректна для малых островов вдалеке от магнитной оси. Поэтому рис. 1в, 2в, 4в надо рассматривать только как тенденцию.
Для этого приравняем токовое (1) и потоковое (5) представления магнитного поля в ко- и контрвариантных обозначениях
f
да
ез-dL e 2
дФо да
i +
ду §23 + gi3
0Фо^§ да2 V§'
§22 , §12
2 ei
V§
где ei = -drj, 4§ =
= /Уа2 + PVa3 + Vu (14) 1
да2 дФо4§ да24§'
§12 + ду §11
дФо
да1' УФ0 (Уа2 хУа3)
— якобиан. В
основном и первом порядках разложения получаем
§33 + Ц 0 §23
Vi
_ F +
дф §23 + Цо§22 _ J + дф
да3' 4§ §13 + Цо§12 _ дф
4§ дФо'
да
da2 da3
dФ da3
§12
(15)
д 2у
да2 41'
Здесь g¡k — метрика базовой конфигурации. Из последнего уравнения системы (16) определяем 9 и затем I и/, которые входят в уравнения для токовых траекторий (6).
Осесимметричная магнитная конфигурация Рассмотрим магнитную конфигурацию с метрическими коэффициентами g13 = g23 = 0. После простых преобразований приходим к системе уравнений для силовых линий плотности тока
2
§11 д у
4§ дФ0да3 4§ да2да3
дФ0
1 +
дФ0
дУ §22 + _дУ§12 дФо V§ да2 V§
да2
ду §12 +_ду §11 дФо^ да24~§.
дФ0
-1 -
(
§ 22
д 2у
§12
д 2у
V§ дФ0да3 -J§ да2да3
J
дФ0
(17)
1 +
§22 + _дУ §12 дФо I дФо Vi да2 Vi,
да2
ду §12 + _дУ §11 дФо4§ да^
j
дФо
-1 -
Общие формулы (17) еще более упростим, рассмотрев цилиндри
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.