МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <1 • 2008
УДК 532.526:536.252
© 2008 г. В. П. РЕУТОВ, Г. В. РЫБУШКИНА
ОТБОР КОНВЕКТИВНЫХ ВАЛОВ В ТОНКОМ СЛОЕ ИСПАРЯЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ, ОБДУВАЕМОМ ВОЗДУШНЫМ ПОТОКОМ
Численно изучаются процессы отбора продольных конвективных валов в тонком слое испаряющейся жидкости, обдуваемом воздушным потоком в режиме турбулентного пограничного слоя. Выясняется зависимость свойств двумерного течения от числа Рэлея и начальных условий. Проведены расчеты с учетом термокапиллярного эффекта. Результаты численного моделирования сопоставляются с экспериментальными данными.
Ключевые слова: Термическая гравитационная конвекция, селекция конвективных валов, испарение, термокапиллярный эффект, численное моделирование.
Процессы генерации и отбора структур играют важную роль в динамике конвективных течений [1]. В последние два десятилетия повысился интерес к исследованию термической конвекции в присутствии горизонтальных сдвиговых течений. Значительное число работ посвящено исследованию отбора структур вблизи порога возникновения неустойчивости [2-4]. В экспериментах [5, 6] изучалась конвекция в подогреваемом снизу слое силиконового масла, в котором горизонтальное сдвиговое течение возникало под действием касательных напряжений, созданных на поверхности жидкости воздушным потоком. При увеличении скорости воздушного потока обнаружен переход от шестигранных ячеек к системе конвективных валов с дефектами. При этом оси валов были ориентированы вдоль потока (продольные валы). В [6] предложена феноменологическая модель для описания этого явления. Аналогичный переход от шестигранников к продольным конвективным валам наблюдался в тонком слое испаряющейся жидкости (этилового спирта), обдуваемом воздушным потоком [7, 8]. В данном случае конвективная неустойчивость возникает в отсутствие поступления тепла в жидкий слой извне и определяется охлаждением поверхности жидкости при испарении. Такая постановка задачи представляет интерес, в частности, для геофизических приложений, связанных с возникновением холодного пограничного слоя (холодной пленки) вблизи морской поверхности [9-11].
Работы [5-8] показали, что наличие сдвигового течения может существенным образом влиять на отбор конвективных структур. В частности, при достаточно большой скорости течения конвективные валы становятся основной формой конвекции в жидком слое со свободной поверхностью. В отсутствие сдвигового течения валиковая конвекция, как правило, возникает в жидких слоях между твердыми пластинами [1, 12], тогда как в слоях со свободной поверхностью наблюдаются полигональные структуры [10, 13, 14].
Валиковый характер конвективного течения в обдуваемом жидком слое позволяет исследовать его динамику в рамках двумерных моделей. Проведенный в [8] теоретический анализ включал в себя вывод граничных условий на поверхности слоя и численное моделирование решетки продольных валов, период которой задавался на основе анализа экспериментальных данных. Была определена структура гидродинамических полей и изучен механизм образования температурного пограничного слоя.
4 _____ з _______
\ -
5
Ч------ -<------
2
-<------ •<------
5
м _^_
4 ______з ------_
Фиг. 1. Схема экспериментальной установки (вид сверху): 1 - набегающий воздушный поток, 2 - течение в рабочей части кюветы, 3 - возвратное течение, 4 - экраны над возвратным течением, 5 - вертикальные разделители
В данной работе на основе двумерной модели конвективного течения, построенной в [7, 8], проводится численное исследование отбора периода продольных конвективных валов при различных начальных возмущениях и числах Рэлея, выясняется роль термокапиллярного эффекта.
1. Постановка задачи и схема численного решения. Физическая постановка задачи соответствует экспериментам, представленным в [7, 8]. Кювета с рабочей жидкостью (этиловым спиртом) обдувалась в аэродинамической трубе. При этом конвекция возникала из-за охлаждения испаряющейся жидкости сверху. Общая схема установки была такой же, как в работах [5, 6], в которых обдувался слой с неиспаряющейся жидкостью (силиконовым маслом), подогреваемый снизу. В обоих случаях в центральной части формировалось стационарное течение с линейным профилем скорости по вертикали (течение Куэтта), которое замыкалось через боковые секции, отгороженные от центральной части кюветы вертикальными стенками. Возвратное течение в секциях было отделено от воздушного потока жесткими экранами (фиг. 1). Проведенные эксперименты показали, что при достаточно больших скоростях обдувания в кювете формируется квазидвумерная система продольных валов, которые отображаются в виде полос на поверхности слоя, вытянутых вдоль потока. Наблюдаемое конвективное течение было приблизительно однородным в пределах рабочей части кюветы, что дает основание для его описания в рамках двумерной модели.
Оси х, у, г правой декартовой системы координат направим соответственно вдоль воздушного потока, в поперечном направлении и вертикально вверх (против силы тяжести). Если предположить, что в отсутствие конвективных возмущений ветровой поток создает внутри слоя 0 < г < Н стационарное плоскопараллельное течение в направлении оси х, уравнения гидродинамики допускают конвективные движения в виде валов, вытянутых в этом направлении (продольные валы). При этом двумерное поперечное течение подчиняется замкнутой системе уравнений, которую запишем в безразмерном виде через функцию тока у, завихренность О и возмущения температуры Ф [1, 15]:
1 (дО дудО дудО^ пдФ .„ . -I + -V--=- =-Яг— + АО, Ду = О
Р |дг дг ду ду дг) ду т
дФ д¥дФ дудФ . „ дг дг ду ду дг
О = -(rOtи )х, и = (и, и, V), V = ^у, V = -ду
(1.1)
(1.2)
д = 4+4, Я
ду дг
<*о ё § ТН у о X о
Р = -0 Хо
1
Здесь VI] - коэффициент кинематической вязкости жидкости, %0 - коэффициент температуропроводности, а0 - коэффициент теплового расширения, g - ускорение силы тяжести, 5Т - масштаб изменения температуры. В присутствие сдвигового течения поле скорости и имеет три компоненты, причем продольная скорость ы(у, г, Г) удовлетворяет отдельному уравнению
1 (Эи ЭуЭи Э?Эы\ . ,, ,ч
л т- + ^ т- - т^ = ды (1.3)
Р№ Эг Эу Эу Эг)
В качестве коэффициентов в уравнение (1.3) входят поперечные составляющие скорости, определенные замкнутой системой (1.1), (1.2). В (1.1)—(1.3) приняты нормировки через масштабы длины Н и времени Н2/%0 [1], и введены безразмерные возмущения температуры Ф = (Т - Т0)/8Т, где Т0 - начальная абсолютная температура воздуха и жидкости, Т - абсолютная температура. Уравнение (1.3) в данной работе не рассматривается, поскольку скорость и не оказывает влияния на процессы отбора валов. Его решения для строго периодической цепочки валов изучались в [8].
На дне слоя зададим условия теплоизоляции, "непротекания" и прилипания
г = 0: ^ = 0, Эг = 0, Э? = 0 (1.4)
Э г Эу Эг
Граничные условия на поверхности жидкости запишем в виде
г = 1: ^ = - Ь Ф -1, ^ = 0, О = 0 (1.5)
Э г Эу
где Ь - коэффициент теплоотдачи (число Био) [15, с. 50, 287]. Первое граничное условие (1.5) получено в [8] из теплового баланса на границе раздела воздух - жидкость с использованием автомодельных решений для плотности пара и температуры в пристеночной (буферной) области турбулентного пограничного слоя воздушного потока. Там же даны оценки, подтверждающие применимость данного приближения для проведенных экспериментов. Анализ проводился в рамках полуэмпирических гипотез, типичных для задач взаимодействия турбулентного пограничного слоя с обдуваемой поверхностью [16-18]. Граничное условие для температуры аналогичного вида использовалось в [18] для описания конвекции с турбулентным течением в воздухе и жидкости. Второе и третье равенства - это обычные условия "твердой крышки" и отсутствия поперечного к потоку касательного напряжения на поверхности слоя [1]. Решение будем искать в прямоугольной области, на боковых стенках которой зададим условия теплоизоляции и свободной границы
у = 0, Ь: ^ = 0, = 0, О = 0 (1.6)
Коэффициент b в (1.5) определяет стационарную температуру полностью охлажденного слоя ftst(z) = const = —1/b. Масштаб температуры ST выбран так, чтобы третье слагаемое в уравнении теплового баланса (1.5), определяющее поток тепла испарения и наклон профиля температуры на границе раздела в начальный момент времени, было равно -1. Если формально продолжить безразмерный профиль температуры с таким наклоном на всю глубину слоя, получим Ф = -z. Таким образом, единица на шкале возмущений температуры (масштаб ST) соответствует перепаду температуры между границами такого слоя. Следует иметь в виду, что реальные профили температуры при боль-
ших числах Рэлея сильно отличаются от линейного. Выражение для 5Т через физические параметры задачи дано в [8]
Здесь Ьу - удельная теплота парообразования, к0 - коэффициент теплопроводности жидкости, Б - коэффициент диффузии пара в воздухе, ¡Б - масштаб диффузии пара в вязком подслое турбулентного пограничного слоя (уа - кинематическая вязкость воздуха, и* - динамическая скорость, ¡ - половина длины кюветы), Рф(Т0) - плотность насыщенного пара при температуре Т0, Ар - влажность окружающего воздуха (определенная по плотности пара рабочей жидкости), й1 ~ 0.54 - числовой коэффициент.
Для численного решения задачи гидродинамические поля задавались на дискретной сетке с постоянным шагом по координатам у и г, а производные по у и г заменялись центральными разностями второго порядка точности. В соответствии с граничными условиями на боковых границах и с учетом свойств симметрии системы (1.1), (1.2) функция тока и завихренность представлялись (в каждом слое сетки по г) в виде дискретного синус-преобразования Фурье, а температура - в виде дискретного косинус-преобразования. При этом волновые числа кратных спектральных гармоник завихренности и функции тока кд = пд/М, где М - число шагов дискретизации на интервале Ь, q = 1, 2, ..., М -номера гармоник. В разложении температуры Ф присутствует нулевая гармоника (д = 0), определяющая профиль средней температуры (Ф).
Большая система обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов спектральных разложений в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.