ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 372.851
ОТДЕЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В ВУЗЕ. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ, СХОДЯЩИЕСЯ НА ВСЕЙ ЧИСЛОВОЙ ОСИ
Е. Е. АЛЕКСЕЕВА, канд. пед. наук, доцент
Балтийская государственная академия РФ ул. Молодежная , 6, г. Калининград, Калининградская область, 236029, Россия
В данной статье автор предлагает единую методику разложения алгебраических, тригонометрических, обратных тригонометрических функций в ряды, сходящиеся на всей числовой оси.
Ключевые слова: алгебраическое выражение, бесконечный ряд, сходящийся ряд, разложение в ряд, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, ряд эквивалент.
Если алгебраическое выражение может быть сведено к произведению или отношению сумм геометрических прогрессий, то разложение этого выражения в бесконечный ряд, как правило, сходится на интервале величины х от -1 до +1. В этом случае так же может быть поставлен вопрос о сходимости ряда на всей числовой оси. К примеру, [2] разложение алгебраической
функции
1 + х
(1 - х2)
ляется выражением:
1 + х
в бесконечный ряд представ-
х (1 + -)
х
1 +
(1 - х)2
- х I 1 -
х 1-
Ряд 2 сходится в пределах изменения аргумента х от -1 до - ¥ и от +1 до + ¥ .
Другой пример разложения алгебраической функции такого же рода из [3] для выражения
1+х
вида:
= 1 + 22 х + 32 х2 + 42 х2 + ...
I 2 2
(1 - х)
характеризуется сходимостью в пределах изменения аргумента —1<х<+1. Аналогичное преобразование даёт:
1 + х
(1 - х)3
х I 1 + -
(
(-х)3 1 -
1 2 32
1
А
1 + -
1-
(3)
- + — + — + — +... + -^1 +... 1 х х х х
1+х
-- = 1+3х + 5х2 + 1х3 +...+(2п-1)хп-1 +..., (1),
(1-х)2 ' '
которое характеризуется сходимостью в области изменения аргумента х в пределах -1<х<+1.
Для получения сходящегося ряда в области —1> х >+1 тождественно преобразуем исходную функцию, как это делалось ранее, и выполним деление по схеме многочлена на многочлен:
1 3
- + — +
■ + ...
(2)
Ряд в преобразованном выражении (в квадратных скобках) сходится в пределах изменения аргумента х от -1 до - ¥ и от +1 до + ¥ .
Очевидно, что для разложения в ряд элементарных тригонометрических функций
3
.5
х х
81И х = х---1--
3! 5!
1! +...
(4)
ео8х=1 - —+х— — + ...
2! 4! 6!
вопрос о сходимости на всей числовой оси неактуален, т.к. они изначально являются таковыми.
Однако, для неэлементарных тригонометрических функций дело может обстоять иначе и проблема разложения таких тригонометрической функции на всей числовой оси может быть тоже весьма актуальной. Покажем это на некоторых конкретных наиболее выразительных примерах.
Известно [3], что разложение в ряд:
1
1
5
1
х
+
2
2
2
3
1
1
1
X
X
X
X
х
х
1
х
00
1
1
1
х
х
3
2
3
1
х
х
х
2
1
4
п
2
х
1
1 - 2 а cos в + a '
1 + —1— [а sin 2в + а 2 sin 3в + а 3 sin 4в + ... ] |а| • 1 (5) sin в L J I I
сходится только при |а| * 1, хотя сама функция существует и за пределами отрезка а от -1 до +1. Разложение этой функции в ряд в пределах а от -1 до - ¥ и от +1 до + ¥ можно получить тем же способом, преобразовав саму функцию к виду:
1 1 1
1 - 2а cos в + а
2
1
1--cos в +-
а а2
Здесь видно, что в полученном преобразовании функции первая дробь представляет собой
масштабирующий множитель -1—, а вторая
а
имеет абсолютно такую же запись, как и исходная функция только уже относительно новой переменной 1. Это обстоятельство позво-
а
ляет переписать разложение функции 5 в такой же самый ряд, но относительно нового аргумента 1. Новое разложение запишется в виде:
а
а 2 - 2 а cos в + 1 а 2
sin в I а
1 + í — sin 2в + -^sin 3в + -^sin 4в +.
2
1
1
а
а
Очевидно, что новый ряд, заключённый в до + ¥. Это значит, что окончательно можем квадратных скобках сходится на всей числовой записать: оси значений аргумента а от -1 до - ¥ и от +1
1
1 -2azos& + а'
= 1 +—— [дзт20 + д2 sin30 +а3 sin40 + ...] |fl|-íl
1
1 -2а cosí +й2 a1
SITLÉ?
1 + —— í — sin 2в + Дгэт 38 + sin A& +.
sin£? I a
|fl|í-l
Эти выражения говорят о том, что функция раскладывается в сходящийся ряд на всей чи- ской функции словой оси значений а.
Имеется [3] разложение тригонометриче-в ряд вида:
sin в
1 - 2 а cos в + а2 Для определения недостающих частей разложения в ряд исходная функция переписывается к виду:
sin в 1 - 2 а cos в + а2
= sin в + а sin 2в + а sin 3в + ...
sin в
1--cos в +
а • 1
Из этой записи видно, что первый множи- лишь тем, что в ней вместо аргумента а стоит
1
1
тель —- это масштабный коэффициент, а вто- обратная величина — .
рая дробь отличается от исходной функции
sk^
1-2а cosв+а2 sin в 1
С учётом сказанного, имеем конечный результат:
=sk^+аsin2в+а^тЗв+... |а| •!
1-2 а cos в + а2
а
sin в + 1 sin 2в + -^sin Зв + ...
а • 1
Как видно из приведённых примеров, такой приём отыскания недостающих частей разло-
1
2
1
а
2
а
а
а
а
а
а
жений в ряд и в случае неэлементарных тригонометрических функций показывает себя весьма нетрудным и эффективным.
Общеизвестны и приводятся, например, в [3]
Функция arcSinx получается разложением в
ряд алгебраического выражения
1
лЯ—
и по-
следующим его интегрированием в пределах от разложения в степенные ряды обратных триго- д до х:
нометрических функций.
x3 1 • 3 • x3 1 • 3 • 5 • x3 I .
arcsin x = x +---1---1---+... при\x • 1
2 • 3 2 • 4 • 5 2 • 4 • 6 • 7 1 1
(6)
В соответствии с определением функции агс8т х из последнего равенства можно записать, что:
f x3 1 •3•х5 1 •3•5•х7
x = sin х +---1---1---+ ...
2 • 3 2 • 4 • 5 2 • 4 • 6 • 7
при |х| • 1
Поскольку функция синуса не может превысить значение единицы, то и величина х стоящая слева не может принимать значений больших единицы. В этом смысле говорить об отыскании сходящегося ряда-эквивалента [1] при
значениях |х| • 1 не имеет смысла, т.к. сама
функция синуса за этими пределами значений х
не существует. Если же в функции агсБ1пх вместо аргумента х применить новый аргумент 1
равный величине —, то в этом случае при
х
1 ряд 6 можно записать в виде:
.1 f 1 1 1 • 3 • 1 • 3 • 5
arcsin— = 1 — +-- +-- +--
х I х 2 • 3 • х3 2 • 4 • 5 • х5 2 • 4 • 6 • 7 • х7
+... I при х • 1 (7)
Последнее равенство не расширяет зону сходимости функции агс8т х, чего нельзя сделать в принципе. Оно представляет собой лишь тривиальное повторение выражения 6, если величину — считать новым аргументом. Напри-х
мер, разложение 6 при х = 2 и разложение 7
при х = 2 дадут повторяющуюся запись.
Для функции arc COS X разложение в ряд имеет вид:
Ж
агс cos x =--
2
х + -
х
■ + ■
1 • 3 • х5 1 • 3 • 5 • х
- + -
2 • 3 2 • 4 • 5 2 • 4 • 6 • 7
- +...
при х • 1
Производя совершенно аналогичные рассуждения, как с разложением функции
агс sin X, для функции arceosX получим:
1 Ж f 1
arccos— =--1 —+ -
х2
1
1 • 3
■ + -
2 • 3 • х3 2 • 4 • 5 • х3
- +...
при х f1
Всё сказанное в отношении разложения в Для обратной тригонометрической функции ряд обратной тригонометрической функции аг^х разложение в ряд имеет вид: агс8т х справедливо и для функции агссо8 х.
2
х
7
arctgх = х- — + х— — +... при |х| • 1
3 5 7 11
Переход к сходящемуся ряду-эквиваленту таты, которые уже хорошо известны и пред-при значениях х • 1 и при х • -1 даёт резуль- ставлены, например, в [3]:
Р 1111
arctgy =----1--г---г Н--- - ...при x • 1
2 p 3x 5x5 7 x
Р 1111
arctgx =-----1--5---ГН----...при x • -1
2 x 3x 5x5 7x7
Для функции arc ctg x разложение записывается в виде:
3 5 7
Р x3 x x II,
иШех =--xН-----1---...при x • 1
2 3 5 7 11
Сходящиеся ряды-эквиваленты для функции arcctg х так же хорошо известны [3] и имеют вид:
1 1 1 1
arcctgy =---- Н--г--- + ...при x • 1
x 3x 5x5 7x
1 1 1 1
arcctgx = p Н-----н--г--- + ...при x • -1
x 3x 5x5 7 x
Из приведённых формул видно, что разло- способом перехода за пределами зоны сходи-жение обратных тригонометрических функций 1
преобразуется к сходящимся рядам всё тем же мости к обратным величинам аргумента ^ ■
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алексеева Е.Е., Лушников Е.М. Проблемы и решения в теории рядов. Калининград: Янтарный сказ, 2004. 256с.
2. Алексеева Е. Е. К проблеме общего члена арифметического ряда произвольного порядка в компьютерных вычислениях. Сборник научных трудов V-й международной НТК. СПб.: СЗТУ, 2004. с.258-268.
3. Двайт Г.Б.Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Лань, 2005г. 228с.
SEPARATE METHODICAL QUESTIONS OF TEACHING OF HIGHER MATHEMATICS IN HIGH SCHOOL. DECOMPOSITION OF SOME FUNCTIONS IN THE NUMBERS CONVERGING ON ALL NUMERICAL AXIS
E. E. ALEXEEVA
Baltic Fishing Fleet ¡State Academy Molodezhnaya Street, 6, Kaliningrad, 236029, Russia
In given article the author offers a uniform technique of decomposition of algebraic, trigonometrical, return trigonometrical functions in the numbers converging on all numerical axis.
Key words: algebraic expression, the infinite number(line), a converging number(line), decomposition in a number(line), trigonometrical functions, return trigonometrical functions, a number an equivalent.
© Е. Е. Алексеева, 2009
Материал поступил в редакцию 07.09.2009
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.