МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА < 3 • 2008
УДК 532.517.4:532.529
© 2008 г. И. В. ДЕРЕВИЧ
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ СКОРОСТЬ ЧАСТИЦ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
На основе статистического подхода, использующего функцию плотности вероятности распределения координат двух частиц в турбулентном потоке, исследованы параметры относительного движения частиц. Для функций, описывающих вовлечение частиц в турбулентность, получены строгие результаты, использующие трехмерный спектр турбулентности. Приведена методика расчета интенсивности относительной скорости частиц с учетом коррелированности их траекторий. Исследовано влияние инерции и скоростного скольжения частиц на параметры их относительного движения. Предложены простые аппроксимирующие формулы для расчета относительного движения частиц в турбулентном потоке. Результаты расчетов сопоставляются с данными прямого численного моделирования случайных траекторий частиц в поле изотропной турбулентности.
Ключевые слова: турбулентность, спектр, относительная скорость частиц, условное и безусловное осреднение.
Турбулентные течения жидкости или газа широко используются в инженерной практике и реализуются в природных явлениях. Огромную роль в поведении двухфазных турбулентных течений играют коллективные эффекты, связанные с наличием твердой фазы. Во-первых, масса взвешенной дисперсной инерционной примеси может существенно искажать параметры несущего турбулентного поля. Это эффект обратного воздействия частиц примеси на турбулентность. Во-вторых, существуют коллективные эффекты, обусловленные движением частиц примеси друг относительно друга. Эти эффекты приводят к двум возможным сценариям поведения примеси. С одной стороны, в результате относительного движения частиц могут происходить столкновения частиц друг с другом. Это явление - причина изменения спектрального состава примеси. С другой стороны, существует коллективное явление, присущее только турбулентным потокам, - это образования в пространстве случайно распределенных областей с повышенной концентрацией дисперсной примеси (кластеризация частиц).
Отметим, что столкновения частиц в турбулентных течениях и кластеризация частиц -два различных физических процесса. Столкновения частиц между собой могут происходить в любом случайном поле скорости, например, когда флуктуации скорости среды имеют дельта-коррелированную во времени корреляционную функцию (броуновское движение). Образование кластеров частиц может происходить только в турбулентных потоках, представляющих коррелированное движение макрообъемов жидкости. Пример образования устойчивых областей с повышенной концентрацией капель - атмосферные облака Земли. Первая теоретическая интерпретации образования кластеров в турбулентных потоках была предложена на основе анализа результатов прямого численного моделирования турбулентности [1]. Дальнейшее понимание динамики коллективного поведения частиц базируется на прямом численном моделировании десятков тысяч стохастических траекторий частиц в стационарном случайном поле скоростей. Этот замороженный рельеф случайных скоростей несущей фазы предварительно генерируется в результате интегрирования нестационарных уравнений Навье-Стокса [2, 3]. В результате расчетов получается неподвижная в пространстве область с повышенной концентрацией частиц. Использование в физике атмосферы без достаточного теорети-
ческого анализа данных прямого численного моделирования [2, 3] приводит к дискуссионным результатам [4, 5].
Следует заметить, что в настоящее время отсутствуют надежные экспериментальные данные по структуре кластеров частиц в турбулентных потоках. В этой ситуации только данные прямого численного моделирования турбулентности в двухфазных потоках служат базой для проверки различных теоретических гипотез. Численные методы используются для изучения случайной динамики частиц в псевдотурбулентности, реализуемой случайными рядами Фурье [6, 7]. В этом случае простота генерации случайного поля скорости позволяет проследить за процессом образования и перемещения на плоскости кластеров частиц.
Другое теоретическое направление исследования эффектов, связанных с относительным движением частиц в турбулентности, использует методы статистической физики. По аналогии с подходом в статистической физике, коллективные эффекты в турбулентности рассматриваются на основе коррелированного движения произвольной пары частиц [8-11]. В этих работах привлекается математический аппарат, основанный на использовании функции плотности вероятности распределения скоростей, координат и других случайных параметров частиц. В [8] процесс кластеризации в сжимаемых течениях объясняется на основе двух конкурирующих механизмов: относительной турбулентной диффузией, препятствующей образованию кластеров с повышенной концентрацией частиц, и сближением траекторий частиц в результате отличной от нуля дивергенции скорости несущего потока. В [9] образование областей с повышенной концентрацией частиц исследовано на основе системы уравнений для вторых двухточечных моментов флуктуаций скорости частиц. Метод описания спошной среды в рамках подхода Лагранжа привлекался в [10] для оценки параметров структуры кластеров частиц в турбулентных течениях. В [11] относительное движение частиц изучалось на основе полученного замкнутого уравнения для функции плотности вероятности динамических параметров пары различных частиц. Понимание закономерностей стохастического движения частиц относительно друг друга в зависимости от их инерционности, скоростей осредненного скольжения, расстояния между частицами и параметров турбулентного поля является определяющим для прогноза процессов коагуляции частиц или их кластеризации.
Отмеченные выше два типа коллективного поведения дисперсной примеси в турбулентных потоках: обратное влияние на турбулентность, обусловленное добавлением инерционной массы частиц в поток, и коллективное поведение частиц, связанное с их относительным движением, могут исследоваться независимо. В данной работе изучаются только эффекты, вызванные относительным движением частиц.
В настоящей работе представлен метод расчета амплитуды относительной хаотической скорости различных частиц с учетом осредненного скольжения частиц. Используются функции, описывающие вовлечение частиц в турбулентность и учитывающие корреляционное движение пары частиц. Для замыкания полученных выражений привлекаются трехмерный спектр турбулентности и функция плотности вероятности распределения расстояния между случайными траекториями частиц [11].
1. Коэффицент корреляции скоростей частиц. Исследуется движение сферических частиц, размер которых достаточно велик, чтобы можно было не учитывать эффекты броуновского движения. В то же время диаметр частиц предполагается меньше пространственного микромасштаба Колмогорова. Это позволяет не рассматривать неоднородность турбулентных флуктуаций скорости жидкости на масштабах порядка размера частиц. В уравнении движения, например, частицы а учитываются сила вязкого трения и массовая сила
йУа 1 йХа
= Т-(и(Ха, %) + <'^а) - Уа), = V* (1.1)
где и(х, 0 - скорость жидкости, Ха(*), Уа(0 - радиус-вектор и скорость частицы а, ^а) = Т^ - скорость скольжения частицы а под действием ускорения свободного падения g, та - время динамической релаксации частицы а.
Аналогичный вид имеет уравнение динамики частицы р. Актуальная относительная скорость двух частиц а и в в момент времени * зависит от индивидуальных скоростей частиц Уа, Ур, которые они имеют в заданных точках пространства ха, хр
^ар(Уар, *) = [Уа]ха(,) = ха - [Ур]Хр(,) = у Уар = ха - хр
где Хр(*) - радиус-вектор положения частицы р.
Причиной хаотического движения частиц служат флуктуации скорости несущей жидкости, в которой взвешены частицы. В результате осреднения по ансамблю турбулентных флуктуаций скорости жидкости получается выражение для осредненной относительной скорости частиц
<,^ар> = <Уа) - <Ур) = <^а) - <
где <Wр) - относительная осредненная по ансамблю скорость частицы р.
Интенсивность относительного хаотического движения частиц характеризуется квадратом флуктуций их относительной скорости
<^р(Уар)) = <(иа - ир)2) (1.2)
где иа, ир - флуктуации скорости частиц, осредненное значение которых равно нулю.
В результате вычисления (1.2) получаем
< Ч^Уар» = < «а) + < ир)-2 < иа ир) (1.3)
Из (1.3) видно, что интенсивность относительного движения частиц зависит не только от степени вовлечения в турбулентное движение индивидуальных частиц а и р, но и от совместного коррелированного движения этих частиц. Осреднение квадрата флуктуаций относительной скорости частиц в (1.3) выражается через коэффициент корреляции
< ^р( Уар)) = < «а) + < ир) — 2Рар( Уар)7<иКир) (1.4)
Из (1.3) и (1.4) следует, что максимальное значение осредненной относительной скорости получается при отсутствии корреляции в движении частиц. Подобная ситуация характерна для частиц, находящихся в дельта-коррелированных во времени случайных полях, например броуновское движение частиц. В случае абсолютной коррелированно-
сти движения частиц рар ^ 1 относительная скорость частиц исчезает < чар) ^ 0. Этот случай реализуется, когда в турбулентном поле взвешены частицы, времена динамической релаксации которых та, Тр существенно меньше временного микромасштаба Колмогорова Та, Тр < ТК, а сами частицы удалены друг от друга на расстояние, меньшее пространственного микромасштаба Колмогорова |уар| < пК. Коррелированность случайного движения частиц - отражение природы турбулентности. Компоненты случайной скорости жидкости на расстоянии меньше пространственного микромасштаба Колмогорова хорошо коррелированы. Увеличение относительного расстояния уар приводит к вырождению корреляции скорости жидкости, а следовательно, к снижению коэффициента корреляции твердых частиц а и р. Уменьшение коэффициента корреляции частиц вызывает рост интенсивности их относительного движения. Снижение степени корре-лированности движения частиц можно получить как в результате увеличения относительного расстояния между частицами, так и вследствие роста инерции частиц.
Рост инерции частиц - причина снижения коррелиров
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.