МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <4 • 2008
УДК 532.592:551.46
© 2008 г. И. И. ДИДЕНКУЛОВА, Н. ЗАИБО, Е. Н. ПЕЛИНОВСКИЙ
ОТРАЖЕНИЕ ДЛИННЫХ ВОЛН ОТ "БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНОГО" ДОННОГО ПРОФИЛЯ
Исследуется трансформация длинных поверхностных волн в зоне переменной глубины в рамках линейной теории мелкой воды. Для частного случая профиля дна специального вида (содержащего так называемый "безотражательный" участок рельефа, сопряженный с ровным дном) в явной форме получены выражения для отраженной и проходящей волны импульсной формы. Показано, что волны отражаются от такого профиля. Обсуждается роль распределенного и сосредоточенного отражения волны, распространяющейся над неровным дном.
Ключевые слова: сосредоточенное и распределенное отражение, "безотражательный" профиль, длинные волны.
Исследование трансформации морских волн в прибрежной зоне - классическая и хорошо разработанная задача океанологии [1-4]. Если глубина бассейна изменяется плавно, то эффективным методом исследования волнового поля служат асимптотические методы [5-8]. В простейшем случае одномерного распространения поверхностной волны на мелководье, асимптотические методы обосновывают известный закон Грина (Н ~ й"1/4, где Н - высота волны, а к - глубина воды), получаемый обычно из физических соображений сохранения потока энергии. Асимптотическое решение, приводящее к закону Грина, является точным для донного рельефа типа к ~ х4/3 вне зависимости от его плавности [9-11]. Такие же специальные случаи изменения параметров среды, когда асимптотическое решение точное, известны в акустике [12] и плазме [13]. В этих случаях иногда говорят о "безотражательном" распространении волн, имея в виду, что формально решение похоже на суперпозицию двух независимых волн, двигающихся в обоих направлениях. Между тем ситуация более сложная, поскольку "безотражательная" среда обязательно содержит сингулярность, и ее необходимо сшивать в общем виде с "отражательной" средой. Ниже будет показано, что поверхностная волна, приходящая на "безотражательный" участок рельефа из зоны постоянной глубины, обязательно отражается.
Исходная модель для анализа - линейная теория мелкой воды, сводящаяся к волновому уравнению для возвышения водной поверхности п(х, г)
Здесь к(х) - глубина бассейна и ? - гравитационное ускорение. Напомним сначала, как получаются "безотражательные" решения волновых уравнений. Для этого решение уравнения (1), соответствующее бегущей (прогрессивной) волне, ищется в том же виде, как и в методе медленно меняющихся амплитуд
дг2 дх
д- с2(х)тр = 0 с(х) = л/?к(х)
(1)
П(х, г) = А(х)ехр{I[юг - ¥(х)]}
(2)
где А(х) и ¥(х) - действительные функции (амплитуда и фаза), подлежащие определению. После подстановки (2) в уравнение (1) и его разделения на действительную и мнимую части, приходим к двум уравнениям для нахождения искомых функций
Ю ,2, "
k (x)
А +
d2Á + 1 dhdA dx2 hdxdx
0
(3)
2kdA + Adk + 1 dhkA = k x) = dW (4)
dx dx hdx dx
Уравнение (4) интегрируется в общем виде и напоминает закон сохранения потока энергии
A2 (x) k (x) h (x) = const (5)
Уравнение (3) осталось уравнением второго порядка с переменным коэффициентом, которое не решается в общем случае и по существу ничем не проще исходного уравнения (1). В случае медленно меняющейся глубины слагаемые во второй скобке малы и ими пренебрегают. Тогда уравнение (3) легко решается
k (x) = (6)
Jgh(x)
и позволяет однозначно найти амплитуду и фазу волны (закон Грина). Если же глубина меняется не медленно, то слагаемыми во второй скобке (3) пренебречь нельзя. Можно попытаться, однако, приравнять эту скобку к нулю, тем самым переопределив систему уравнений для амплитуды и фазы. Тогда наряду с (5) и (6) получается еще одно уравнение h(x)(dA/dx) = const.
В общем случае система стала противоречивой, и для разрешения этого противоречия необходимо считать глубину бассейна также неизвестной функцией. Тогда она находится в явном виде: h(x) ~ x4/3. Таким образом, в случае этого специального профиля дна, решение (2)
П(x, t) = А(x)exp{iю(t - т(x))}, А(x) = А,
г h 11/4 h ( x )J ,
(x) = í & (7)
имеет тот же вид, что и приближенное решение, но при этом не накладывается условие плавности изменения дна. Для определения константы интегрирования выбрана точка x0, в которой глубина h0. Аналогично находится волна, распространяющаяся "влево" (знак перед т меняется на противоположный). В результате общее решение волнового уравнения напоминает собой сумму независимых волн, распространяющихся в противоположных направлениях с произвольными амплитудами [9-11]. Именно поэтому напрашивается вывод о "безотражательном" распространении волны над донным рельефом специального вида.
Используя принцип фурье-суперпозиции элементарных решений (7), легко написать общее решение для "бегущей" волны над "безотражательным" профилем дна n(x, t) = = A(x)f\t - T(x)|, гдеf(t) описывает форму волны на глубине h0. Волновое поле на мелкой воде задается также полем горизонтальных скоростей частиц жидкости. В частности, монохроматическая и импульсная волны описываются выражениями
u (x, t) = U (x)
1 + "Jgh dh
4 hi® dx.
exp {i ю[ t - т( x)]} (8)
x
0
и( х) = А (х ^ = Ао[?
г к н1/4
Г к0 1
1_к (х )_\
и(х, г) = и(х)|/ф + I?£)^ = г - т(х)
(9) (10)
Из формулы (10) вытекает ограничение на форму волны возвышения над неровным дном
| Д г) &г
0
(11)
В противном случае после прохождения волны останется ненулевое течение, и система не вернется в исходное состояние.
Подчеркнем еще раз, что полученные решения являются точными, и их вид соответствует бегущей волне с переменной амплитудой и фазой. Тем не менее в силу произвольного (не медленного) изменения амплитуды и фазы интерпретация их как бегущей волны, распространяющейся без отражения, нуждается в серьезной проверке. Еще в [12] отмечено, что любое решение волнового уравнения (при любом изменении параметров среды) может быть представлено в виде (2), но оно в общем случае не является бегущей волной. В рассматриваемом случае амплитуда и фаза имеют тот же смысл, что в однородных и в плавно неоднородных средах, что дает определенные основания считать волну бегущей. Тем не менее этих оснований оказывается недостаточно (см. ниже).
Специальный профиль глубины содержит точку нулевой глубины, в которой амплитуда волны обращается в бесконечность (такая же ситуация реализуется и для неоднородных сред другой физической природы). Уже отсюда следует, что зона малых глубин должна быть исключена из рассмотрения для физической корректности задачи, поэтому рассмотрим следующую геометрию подводного рельефа
к(х) = к0, х < 0, к0( 1 + х/Ь)4/3, х > 0
Тогда волновое поле будет ограничено во всем пространстве. Пусть волна падает из зоны х < 0, где глубина постоянна. В общем случае волновое поле в этой зоне будет представлено падающей и отраженной волной, причем это представление однозначно
П1 (х, г) = Агехр
г'ю| г - —
с
+ Аг ехр
• I . х гю| г + —
(12)
где с0 = - скорость длинных волн на ровном дне, а Аг и Аг - амплитуды падающей и
отраженной волн соответственно. В зоне переменной глубины монохроматическая волна описывается формулой (7). Сшивка решений (12) и (7) в точке излома обеспечивается граничными условиями непрерывности уровня (давления) и скорости (расхода), что дает возможность легко вычислить коэффициенты отражения и прохождения
А_г -А----
1
г ют
1 + г'юТ Аг 1 + г ют'
т =
6 Ь
(13)
Ответ зависит от соотношения частоты (периода) волны и характерного времени пробега волны над переменным дном. Если дно резко уходит на глубину (ют мало), то практически вся волна отражается, а ее фаза меняется на 180°. Если же дно меняется медленно (ют велико), то волна проходит в зону переменной глубины. В рамках асимптотических методов, построенных на малости параметра (ют)-1, отраженная волна не
+^
о
возникает [12]. Тем не менее из (13) следует, что малое отражение должно появляться уже в первых порядках теории возмущений
А и __1___1_
А гют ( ют)2
и оно связано с точкой излома, формально не являющейся "гладкой" (сосредоточенное отражение).
Рассмотрим отражение волны импульсной формы. В этом случае формула (13) представляет собой операторное выражение следующего обыкновенного дифференциального уравнения (этот прием подробно описан в [14])
й пг
П (г) + т =-п( г) (14)
связывающего падающую и отраженную волны непосредственно в точке излома. В результате отраженная волна находится в общем виде
Пг( 0 = -ехр^ ^ (,) ехр
о
где приняты естественные условия отсутствия отраженной волны до прихода падающей. Считая, что падающая волна представляет собой импульс, действующий в течение времени Т (0 < г < Т), получаем, что отраженная волна по истечении этого времени имеет вид
Т
Пг(г > Т) = - ехр (т-г'т)г)ехрфйг (15)
о
Отражение от такого профиля отсутствует только для специфических форм падающей волны и некоторых значений ширины этого участка, когда интеграл в (15) оказывается равен нулю, но такие случаи могут не приниматься во внимание. Таким образом, в общем случае после прохождения падающего импульса остается экспоненциальный хвост в отраженной волне, который связан с отражением волны от склона за изломом и доказывает, как минимум, распределенный характер отражения волны от "безотражательного" участка рельефа. Именно поэтому в определении такого донного профиля используются кавычки, подчеркивая, что отражение на нем реализуется так же, как и на других участках дна.
Отметим общее свойство отраженного импульса, вытекающее из (14)
| пг( г )йг = -1 п( г )йг (16)
что даже если падающая волна есть волна повышения уровня (гребень), то в отраженной волне превалирует понижение уровня воды (подошва).
Конкретные расчеты сделаны для падающей волны в виде экспоненциального импульса П;(0 = Аехр(—|г|/Т). Тогда для отраженной волны получаем
П,( г < 0) = -,П( г)
1 + т / T
nr(t > 0) =
А
exp (-t/T) + 2т/T ( t
1 - т/ T +1 - ( т / T) 2 P CT
T (17)
-AÍ + T) exP (" T) ■ T = T
Фиг. 1. Падающая волна экспоненциальной формы
Фиг. 2. Форма отраженной волны (цифрами обозначено отношение т/Т)
Результаты расчетов падающей и отраженн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.