ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 7, с. 1229-1247
УДК 519.634
ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА КРИСТАЛЛИТОВ1}
© 2007 г. А. В. Латышев, А. А. Юшканов
(107005 Москва, ул. Радио, 10а, Московский гос. обл. ун-т) e-mail: avlatyshev@mail.ru; yushkanov@inbox.ru Поступила в редакцию 22.11.2006 г.
Сформулирована и аналитически решена линеаризованная задача об отражении и прохождении плазменной волны через границу полупространства - плоскость, разделяющую два кристаллита. Найдены функция распределения электронов и электрическое поле внутри полупространства вырожденной плазмы. Коэффициенты отражения и прохождения волны найдены как функции исходных параметров задачи. Анализируется длинноволновой предел -резонансный случай, когда частота колебаний самосогласованного электрического поля близка к собственной (ленгмюровской) частоте колебаний плазмы. Библ. 9. Фиг. 5.
Ключевые слова: задача о плазменных волнах, аналитическое решение, вырожденная плазма, вероятность прохождения электронов через границу, длинноволновой предел.
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Описание распространения и прохождения плазменных волн через границу относится к важнейшим задачам физики плазмы (см. [1], [2]). В то же время вопрос об отражении плазменных волн от поверхности плазмы и прохождении через нее остается до сих пор не выясненным. В настоящей работе проводится анализ взаимодействия нормально падающих на границу плазменных волн с поверхностью плазмы и прохождения через нее.
После того как в [3]-[5] выяснена структура электрического поля в задаче о колебаниях плазмы под воздействием внешнего электрического поля, оказалось возможным корректно сформулировать задачу об отражении плазменной волны от границы раздела кристаллитов и ее частичном прохождении при отсутствии внешнего электрического поля.
Пусть плоскость х = 0 является границей раздела кристаллитов. Снизу (х < 0) и сверху (х > 0) от границы раздела находится вырожденная плазма кристаллитов.
Будем считать, что плазменная волна Е1 ехр[-/(£х + ю0] движется из глубины верхнего полупространства перпендикулярно к границе плазмы. На границе эта волна разделяется на две волны, одна из которых Е2ехр[/(£х - ю0] (х > 0) отражается от границы, а вторая Е3ехр[-/(£х + ю0] (х < 0) проходит через границу раздела кристаллитов.
Предполагается, что электроны взаимодействуют с границей диффузно.
В связи с тем, что мы рассматриваем движение волны вдоль одной оси х, задача является одномерной в физическом пространстве. При этом функция распределения электронов зависит от времени пространственной координаты х и скоростной переменной V = (ух, 0, 0).
Наш анализ примыкает к [3], где рассматривалась задача о поведении плазмы в полупространстве металла и с диффузным отражением электронов от границы.
Возьмем кинетическое уравнение Власова с самосогласованным полем и с интегралом столкновений в форме релаксационной т-модели:
! + V 1 + «. Е| = *< /--/ )■
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00642).
К уравнению Власова присоединим уравнение Максвелла на самосогласованное электрическое иоле:
divE = 4 пр, р = e0 J( f - f0)
2 d3 p (2 п h f
Здесь feq - локально-равновесная функция распределения Ферми, f.q = H(eF(x, t) - e), H(x) - единичная "ступенька" Хевисайда, H(x) = 1, x > 0, H(x) = 0, x < 0,f - невозмущенная функция распреде-
m 2
ления Ферми (абсолютный фермион),f = H(eF - e), p = mv - импульс электрона, eF(x, t) = j vF (x, t) -возмущенная кинетическая энергия Ферми, e = m v2 - кинетическая энергия электрона (поверхность Ферми считается сферической), eF = m vF - невозмущенная кинетическая энергия Ферми,
e0 - заряд электрона, р - плотность заряда, h - постоянная Планка, v - эффективная частота столкновений электрона.
Линеаризуем функцию распределения электронов f и локально-равновесную функцию распределения feq относительно абсолютного фермиона f0(e):
f = f о(e) + fi (x, vx, t),
feq = fo(eF- e) + [eF(x, t) - e]8(eF- e),
где 5(x) - дельта-функция Дирака.
Самосогласованное электрическое поле E внутри кристаллита будем искать в виде E = = (E(x, t), 0, 0).
Заметим, что в линейном приближении имеем
ddp = df0 = -vx8(eF- e), Eddp = E(x, t)vx8^- e).
Учитывая последние два равенства, проводим линеаризацию исходных уравнений. Так как поле имеет одну х-компоненту, то функция /1 имеет вид /1 = /1(х, 0, V - проекция скорости электрона на ось х. Теперь уравнения Власова и Максвелла записываются в виде
^7 + Vх|хг + V/1 = 8(еР- е)[еоЕ(х, г)Vх + у(еР(х, г) - еР)], (1.1)
АЕ(х, 0 8пео г , ,з п _
Величина еР(х, ^ - ер, входящая в (1.1), определяется из закона сохранения числа частиц:
г / 2А3р _ / 2 а?3р 1 64 (2 пй )2 1 (2пй )2'
Учитывая, что
/ея-/_ [%(х, ^ - еР]8(еР-е) -/1, из закона сохранения числа частиц получаем уравнение
[еР(х, t) - еР]|8(еР - е)А3р _ I/1 А3р. (1.3)
Правая часть уравнения (1.1) пропорциональна величине 8(еР - е). Из вида уравнения (1.1) следует, что функцию / следует искать в виде
/1 _ ер8(ер- е)Н(х, ц, t), ц _ vJvp. (1.4)
Из выражения (1.4) следует, что функция Н(х, ц, 0 безразмерная.
Теперь уравнения (1.1)—(1.3) представим в виде, записанном относительно функции Н(х, 1): д Н д Н е0 V х V
дН + VхтН + vH(х, 1) = Е(х, 1) + ^ [еР(х, 1) - еР], (1.5)
йЕ( х, 1) 8п з
—= -318(еР - е)Н(х, 1)й р, (1.6)
йх (2 п й)
[еР(х, г) - еР]|б(еР - е)й3р = еР|б(еР - е)Н(х, г)й3р. (1.7)
Вычисляя интегралы из (1.7), находим
|б(еР- е) й3 р = 4 пm2vР, 1
|б(еР- е)Н(х, 1)й3р = 2пт2 vР|Н(х, 1)ф\
-1
Учитывая эти равенства, из уравнения (1.7) получаем
1
ер(х, 1) - ер = 1Н(х, 0ф\ (1.9)
-1
Вернемся к уравнениям (1.5) и (1.6). С помощью равенств (1.8) и (1.9) получаем следующую систему уравнений:
1
дд7 + V х Ц + V Н (х,|, 1) = е^Е (х, 1) + ^ | Н (х,|', 1) ф',
(1.8)
2 2 1 dExo = г я (^)
dx (OttZY J
-i
йх (2пй )3
Введем безразмерное электрическое поле, безразмерные координату и время:
е0 V Р V
Е0 (х, 1) = -Е (х, 1), х1 = — х, 11 = Vt.
vеp V р
Теперь предыдущая система уравнений принимает вид
1
дН + Iд)^ + Н(х1,|, ) = |е(х!, 1! ) + 11 Н(х)ф',
1 1 -1
2 1
йЕ0( х1,^) 3 юр
—IГя(Xi, М-', ti)d^',
dxi 2 v
-i
где юр - ленгмюровская (собственная) частота колебаний плазмы, юр = 4пe20 n/m, n - числовая плотность(концентрация) электронов.
v F
Пусть к - волновое число. Введем безразмерное волновое число к = к — . Тогда имеем
ю р
кх = к Юрх vf = hXXi £ = _V_
ii
' v F v £ Ю р
Известно, что частота плазменных колебаний юр, как правило, много больше частоты столкновений v электронов в металле (см. [1], [6]): v < юр. Поэтому в случае, когда ю ~ юр, выполняется условие v < ю.
Далее, вместо хъ к1 будем писать, соответственно, t, х, к. В этих обозначениях последняя система уравнений запишется в виде
1
дН + Ц + Н(х, Ц, t) _ це(х, t) + 1 |Н(х, ц', t)Ац', (1.10)
-1
2 1
АЕп (х, t) 3 ю „г
Ах ? _ —р | Н(х, ц', t)ф'. (1.11)
-1
Будем искать решения вида
Н(х, ц, t) _ И(х, ц)ехр^-7 Ю-), Е0(х, t) _ е(х) ехр^-7Ю-).
Теперь функции И(х, ц) и е(х) удовлетворяют системе уравнений
1
дИ 1 г
цЭх+ ^И(х, ц) _ це(х) + 2] И(х, ц')ф', (1.12)
-1
2i
^ = f h(x, Ц)ф', Zo = 1- 7(1.13) dx 2 v2 ^ v
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Предположим, что на границу плазмы, которая лежит в плоскости x = 0, движется волна E1exp[-7(£x/e + rot/v)], отражается волна E2exp[7(kx/e - rot/v)], а проходит через границу раздела кристаллитов волна E3exp[-7(kx/e + rot/v)]. Здесь ro = v/rop, к - безразмерное волновое число, го -частота колебаний волны.
Нас интересуют основные характеристики взаимодействия плазменной волны с поверхностью плазмы: коэффициент отражения Ri(k, e) = |E2/E1|2 и сдвиг фазы движущейся к границе волны - угол ф1 = ф1(к, e): ф1(к, e) = arg(E2/E1) = arg E2 - arg E1, а также коэффициент прохождения R2(k, e) = |E3/E1|2 и сдвиг фазы движущейся к границе волны - угол ф2 = ф2(к, e): ф2(к, e) = arg(E3/E1) = = arg E3 - arg Eb
Амплитуды E2 = E2(k, e), E3 = E3(k, e) зависят от параметров задачи к и e, амплитуда E1 является заданной величиной и от этих параметров не зависит.
Задача об отражении и прохождении плазменной волны далее решается в случае диффузного отражения электронов от границы плазмы.
В качестве граничного условия на электрическое поле возьмем условие равенства напряженности поля снизу (x < 0) и сверху (x > 0) на границе раздела
e( +0) = e(-0). (2.1)
В качестве граничного условия на функцию h примем условие диффузного отражения от границы электронов и условие диффузного прохождения электронов через границу раздела кристаллитов. Эти условия приводят к следующим двум равенствам:
h+(+0,Ц) = Ai, 0 <Ц< 1, (2.2)
И~(-0, ц) _ А2, -1 <ц< 0. (2.3)
Постоянные А1, А2 являются неизвестными и подлежат определению в процессе решения задачи.
Помимо условий на функцию И диффузного отражения и прохождения, требуются еще два условия на равенство потоков сверху и снизу на границе раздела. Пусть р-я часть электронов проходит через границу раздела, а остальная часть электронов отражается (т.е. р - вероятность прохождения электронов через границу раздела). Тогда граничные условия на потоки электро-
нов записываются следующим образом:
1
|к+(+0, ф = -(1- р)|к+(+0, ф + р|к(-0, ф, (2.4)
0 -10 0 1 0
к (-0, |)|ф = (1-р)|к (-0, |)|ф- р|к (-0, |)|ф■ (2.5)
1 0 1
Здесь и ниже через к±(х, |) и е±(х) обозначены, соответственно, функции к(х, |) и е(х) сверху (х > 0) и снизу (х < 0) от границы раздела кристаллитов.
Односторонние потоки
0
г + ,
|к+ (+0, |)|ф и |к(-0, |)|ф
1 0
выразим через полные:
0 1 1 |к+(+0, |)|ф = |к+( +0, |)|ф-|к+ (+0, |)|ф,
1 1 0 1 1 0
|к (-0, |)|ф = |к (-0, |)|ф-|к (-0, |)|ф. 0 -1 -1 Подставляя эти равенства в (2.4) и (2.5) и используя граничные условия (2.2) и (2.3), получаем
11
2(А1- А2) = -(1- р)|к+(+0,|)|ф + р|к'(-0,|)|ф, (2.6)
1 1 11
2 (А1- А2) = -(1- р )| к (-0,|)|ф + р | к+(+0,|)|ф. (2.7)
1 1 Складывая (2.6) и (2.7) и вычитая, получаем
11 р(А1 - А2) = - (1 - р)| [к+(+0, |) + к(-0, |)]|ф + р| [к+ (+0, |) + к'(-0, |)]|ф,
1 1 11
0 = -(1-р)|[к+(+0, |)-к"(-0, |)]|ф-р|[к+(+0, |)-к"(-0, |)]|ф,
или
р(А1-А2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.