МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2014
УДК 532.5:534.2:534-18
ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ ОТ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА УПРУГОГО МАТЕРИАЛА И СЛОИСТОЙ УПРУГО-ЖИДКОЙ СРЕДЫ
© 2014 г. А. С. ШАМАЕВ, В. В. ШУМИЛОВА
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва e-mail: sham@rambler.ru, v.v.shumilova@mail.ru
Поступила в редакцию 03.02.2014
Рассмотрена гетерогенная среда, состоящая из изотропного упругого материала и вязкой сжимаемой жидкости. Одна половина такой среды состоит из сплошного упругого материала, а другая — из взаимно чередующихся слоев упругого материала и жидкости. С помощью усредненной модели гетерогенной среды исследована задача об отражении плоской акустической волны от плоской границы раздела сплошного упругого материала и слоистой среды. Найдены амплитуды отраженной и прошедшей волн для среды, слои которой параллельны или перпендикулярны фронту волны.
Ключевые слова: вязкая сжимаемая жидкость, упругий материал, гетерогенная среда, акустическая волна, отражение.
Математические модели, описывающие поведение гетерогенных сред, обычно представляют собой краевые задачи для дифференциальных или интегродифферен-циальных уравнений с резко изменяющимися коэффициентами. Это приводит к тому, что непосредственное численное решение задач об отражении акустических волн от границ гетерогенных сред с быстро чередующимися фазами, как правило, затруднительно даже при использовании современных компьютеров. Вместе с тем, если линейные размеры неоднородностей много меньше как линейных размеров образца среды, так и длины акустической волны, то целесообразно использовать усредненную модель гетерогенной среды. Как известно, усредненная модель включает в себя уравнения с медленно меняющимися коэффициентами, определяющими эффективные характеристики первоначальной среды.
Среди всевозможных моделей гетерогенных сред можно выделить модели периодических двухфазных гетерогенных сред, состоящих из упругого или вязкоупругого материала и вязкой жидкости. Как было установлено в [1—3], усредненные модели таких сред, построенные при стремлении размера ячейки периодичности к нулю, описывают поведение сплошных вязкоупругих материалов с долговременной памятью.
В данной статье исследуется задача об отражении плоской акустической волны от границы раздела x1 = 0 упругого материала и в-периодической гетерогенной среды, состоящей из взаимно чередующихся слоев упругого материала и вязкой сжимаемой жидкости. Дополнительно предполагается, что акустическая волна падает со стороны упругого материала, а ее фронт параллелен плоскости Ox2x3. С помощью усредненной модели гетерогенной среды, построенной в [4], найдены амплитуды отраженной и прошедшей волн для среды, слои которой параллельны или перпендикулярны фронту волны.
У
Фигура. Модель частично слоистой среды в случае: а — слоев, параллельных плоскости ОХ2Х3; б — слоев, параллельных плоскости 0х\х2
x
2
x
x
1. Исходная модель частично слоистой среды. Разобьем куб Q = (-l, l)3 на две равные
2 2
части: = (-l, 0) х (-l, l) и Q2 = (0, l) х (-l, l) . Будем предполагать, что область заполнена сплошным изотропным упругим материалом, а область ^ — взаимно чередующимися слоями изотропного упругого материала и вязкой сжимаемой жидкости. Пусть толщина каждого упругого слоя в ^ равна s d (0 < d < 1, 0 <s < l), а толщина каждого жидкого слоя равна s(1 - d). Модель частично слоистой среды описанного вида в случае слоев, параллельных плоскости Ox2x3, изображена на фигуре а, а в случае слоев, параллельных плоскости OXiX2, — на фигуре б.
Введем следующие обозначения: Q2e — упругая часть области ^; Ds = Q2\(Q2е u 5Q2e) — жидкая часть области Q; QE = Q\(DE u dDE) — упругая часть области Q; ue(x, t) — вектор перемещений; f(x, t) — вектор объемной силы; p1 > 0 и p2 > 0 —
плотность среды в QЕ и Ds соответственно; и ekh(uЕ) — компоненты тензоров напряжений и деформаций
(,
ekh(uЕ) = 2
duk + duh dxh dxk
Определяющие соотношения, связывающие компоненты тензоров напряжений и деформаций, имеют вид
оJ = aiJkhekh(uЕ), x ей
е
<А}= -ЬцР р + 2ц5;Х5¡кекк ^), х е
Здесь 8у — символ Кронекера; ц > 0 — коэффициент вязкости жидкости; ре(х, О давление в жидкости; а^кь — коэффициенты упругости
р (х, г) = -у Шуи , х е
а№ = ^ о5у5 ы + Ц о(5 ¡к8 м +5 ihЪjk), 1 < и j, К к < 3
где у — объемный модуль упругости; у = р2с2; c — скорость звука в жидкости в состоянии покоя; Х0 и цо — постоянные Ламе.
Уравнения движения упругой и жидкой частей гетерогенной среды записываются в виде
+ Мх, г), х еП
ху
д У = д°
дг2 дх
д У =дс
дг2 дх
У + Л(х »Л х е П
(1.1)
Рг -^т = ^ + /Ах, г), х е
При изучении совместного движения упругой и жидкой частей гетерогенной среды уравнения движения (1.1) следует дополнить условиями идеального контакта
[и \ = 0, [<у у = 0
где Vj — компоненты единичного вектора нормали к поверхности 5Е = д^Е п дБ&, а квадратные скобки обозначают скачок заключенной в них величины при переходе через Ss.
2. Усредненная модель частично слоистой среды. В статье [2] была выведена усредненная модель гетерогенной среды, состоящей из упругого материала и вязкой жидкости. Используя результаты этой статьи и учитывая, что область заполнена сплошным упругим материалом, выпишем усредненную модель частично слоистой среды в виде
Р1 д~ит = 1ГУ + /(х, г), х еП1
дг дху
д 2и = дау дг2 дху
Ротт = + /(х, г), х еПг
[иЦ=о = 0, [сдЦ=о = 0 (2.1)
Ро = Р1Л + Рг(1 - Оу = аукквкк(и), х
а у = а ¿дабы(и) + Ру^ (!) + ^(г) * екк(и), х е ^
Здесь постоянные коэффициенты аукк, вукк и ядра сверток я укк(г) определяются через решения вспомогательных периодических задач [2], а символ "*" обозначает операцию свертки по переменной ?
Я1(г) * яг(г) = I Я1(г -
Кроме того перемещения, деформации и напряжения как в исходной, так и в усредненной среде, считаются равными нулю в отрицательные моменты времени.
о
Таким образом, усредненная модель частично слоистой среды описывает движение среды, представляющей собой объединение двух примыкающих друг к другу материалов: изотропного упругого материала, занимающего область и вязкоупругого материала с долговременной памятью, занимающего область П2-
Теперь предположим, что полупространство х1 < 0 занято упругим материалом, а полупространство х > 0 — слоистой средой. Рассмотрим однородные уравнения движения, описывающие распространение вдоль оси Ох1 плоской продольной волны в усредненной (предельной) неограниченной среде. Так как такой волне соответствует вектор перемещений и(х, г) = (и(хь г), 0, 0), то однородные уравнения движения принимают вид
Р1 ^ = Ах % X! < 0 (2.2)
дг дх1
2 2 3 2
д и д и , г, д и , /.4*5 и ^ п /о тч
Р0— = «1—2 + в\—т- + М)* —-, X! > 0 (2.3)
дг дх1 дх1 дг дхх
где используются обозначения
А1 = «1111 =Х 0 + 2^0, ах = «1111, в! =01111, &(г) = £пп(г)
Из (2.1) следует, что условия непрерывности перемещений и напряжений записываются как
[и]х1=0 = 0, А1 ^ (0, г) = а ^ (0, г) + р1 рЦ- (0, г) + Гgl * (0, г) (2.4)
дх1 дх1 дх1дг ^ дх1)
Необходимо отметить, что коэффициенты а^, в1 и функция gl() зависят от расположения упругих и жидких слоев по отношению к координатным плоскостям. В частности, в статье [4] вычислены коэффициенты и ядро свертки одномерного усредненного уравнения (2.3) для двух случаев: 1) слои параллельны плоскости Ох2х3; 2) слои параллельны плоскости ОХ1Х2. Для обоих этих случаев ядро свертки имеет вид
*1(0 = -Я1 ехрКг), ^ + ^ - ") (2.5)
где q1 — положительная постоянная [4]. При этом для первого случая
а1 а п (1 - Л)«12 ,, ,ч
а1 = -1, Р1 = 0, ^ = ±-^ (2.6)
Л
а для второго случая
а = ахй + у(1 -ф, в1 = 2ц(1 -41 = ^(1 -¿)(7 -У)2 (2.7)
2ц
3. Отражение плоской волны от границы упругого материала и слоистой среды. Рассмотрим задачу об отражении акустической волны от границы раздела упругого материала и слоистой среды, упругие и жидкие слои которой параллельны либо плоскости 0х1х2, либо плоскости Ох2 х3. Пусть со стороны отрицательных х1 на границу раздела Х1 = 0 падает монохроматическая продольная акустическая волна единичной амплитуды, фронт которой параллелен плоскости 0х2 х3. Будем предполагать, что длина падающей волны много больше толщины одного упругого или жидкого слоя. В этом случае можно воспользоваться усредненной моделью (2.2)—(2.4) частично слоистой среды, не содержащей величины б, характеризующей период неоднородности среды.
Согласно этой модели данная задача сводится к задаче об отражении акустической волны от границы раздела упругого материала и вязкоупругого материала с долговременной памятью.
Из (2.2) следует, что выражение для падающей волны имеет вид
и0(хь г) = ехр[;(юг - Л1х1)], х1 < 0
где ' — мнимая единица, ш — частота волны, к = ю/с — волновое число, с1 = у/ а1 /р1 — скорость продольной волны в упругой среде.
Выражения для отраженной и прошедшей волн запишем в виде
и1(х1, г) = А1 ехр[;(юг + к1х1)], х1 < 0
и2(х1, г) = А2 ехр(-а2х1)ехр[;'(юг - к2х1)], х1 > 0
где А1 = В1 ехр(;'ф1) и А2 = В2 ехр(/'ф2) — комплексные амплитуды, а2(ю) — коэффициент затухания, к2(ш) = ш/с2(ш) — волновое число, С2(ш) — скорость продольной волны в вяз-коупругой среде.
Так как ядро свертки £1(() имеет вид (2.5) и
г
gl(г) = A2ql(a2 + ;к2)ехр[-(а2 + ^х1] [ ехр[-^(г - 5)]ехр(;'ю5)^5 = 5х1
—да
да
= A2q1(а2 + ;к2)ехр[-а2х1 + ;(юг - к2х1)] |ехр(-^п)ехр(-''юп)^П =
0
= 2A2ql (а2£, + к2ю + ;'(к2£, - а2ю))ехр[-а2х1 + г(юг - к2х1)] ^ + ю
то граничные условия и0(0, г) + м1(0, г) = и2(0, г)
«i I ^ (0, t) + ^ (0, t) I = а! ^ (0, t) + р! (0, t) + \g! * ^ (0, t) ^dxj dx1 J dx1 dx1dt ^ dx1J
приводят к системе
1 + A1 = A2, ia1k1(A1 - 1) = (П1 - Щ2)А2 (3.1)
Ш(ю) = |Р1 + | юк2(ю) -1 a1 - I а2(ю)
I £ +Ю ) К £ +Ю )
П2 (ю) =
^ -^Ц] к2 (ю) + Г
+ ю2
Р1 + 2g1 2 |юа2(ю) ^ +ю
Выделяя вещественные и мнимые части комплексных амплитуд Д и Д, перепишем систему (3.1) в виде
B1 sin ф1 - B2 sin ф2 = 0
B1 cos ф1 - B2 cos ф2 + 1 = 0
B1a1k1 sin ф1 + B2(n2 sin ф2 + n1 cos ф2) = 0
B1a1k1 cosф1 + B2(n2 cos ф2 - n1 sin ф2) - a1k1 = 0
Решая полученную систему уравнений, находим
ф1(<й) = K(<й) + arctan 2 2 2 (3.2) т(ю) + П2(ю) - aiki
<Р2(ю) = - arctan ni(m)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.