ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 7, с. 1208-1220
УДК 519.634
ОТРАЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ ОТ ГРАНИЦЫ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЫ ИЗ СЛОЕВ УПРУГОГО И ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛОВ
© 2015 г. В. В. Шумилова
(119526Москва, пр-т Вернадского, 101, корп. 1, ИПМех РАН) e-mail: v.v.shumilova@mail.ru Поступила в редакцию 12.05.2014 г.
Переработанный вариант 29.09.2014 г.
Рассматривается задача об отражении плоской звуковой волны, нормально падающей на плоскую границу слоистой гетерогенной среды. Данная гетерогенная среда состоит из периодически повторяющихся слоев изотропных упругого и вязкоупругого материалов, причем все слои считаются либо параллельными, либо перпендикулярными фронту волны. Кроме того, предполагается, что толщина каждого отдельного упругого или вязкоупругого слоя намного меньше длины звуковой волны. Для исследования поставленной задачи используется усредненная модель слоистой гетерогенной среды, с помощью которой находятся частотные зависимости комплексных амплитуд отраженной и прошедшей волн. Библ. 23. Фиг. 4.
Ключевые слова: звуковая волна, отражение, гетерогенная среда, усредненная модель.
DOI: 10.7868/S0044466915040158
1. ВВЕДЕНИЕ
При исследовании физических процессов в гетерогенных средах часто используется предположение о наличии в таких средах периодической микроструктуры. В этом случае физические процессы описываются краевыми или начально-краевыми задачами для уравнений с периодическими, но быстро осциллирующими коэффициентами. Последнее обстоятельство приводит к тому, что непосредственное численное решение указанных задач (например, методом сеток или конечных элементов), как правило, довольно затруднительно. В связи с этим, для описания поведения периодических гетерогенных сред возникает необходимость построения таких математических моделей, которые содержат более простые уравнения с постоянными или медленно меняющимися коэффициентами. Такие уравнения, называемые эффективными или усредненными, должны удовлетворять основному требованию, налагаемому на них, — близости решений соответствующих краевых или начально-краевых задач для исходных и усредненных уравнений (см. [1]-[6]).
С точки зрения приложений большой интерес представляют гетерогенные среды, состоящие из двух или более фаз (компонентов) с разными типами определяющих соотношений. Примерами таких сред служат двухфазные среды, состоящие из упругого (вязкоупругого) материала и вязкой жидкости, а также из упругого и вязкоупругого материалов. Усредненные модели для этих двухфазных сред были построены в [7]—[12]. В частности, любопытным оказался тот факт, что все усредненные модели, полученные в этих работах, описывают поведение сплошных вязко-упругих материалов с долговременной памятью.
К важному классу динамических задач, возникающих в механике гетерогенных сред, относится исследование процесса распространения звуковых волн в слоистых средах. Актуальность этого класса задач объясняется двумя причинами. Одна из них заключается в том, что в большом числе геофизических и технических задач среды действительно являются слоистыми или мало отличаются от них (см. [13]). Другая причина состоит в сравнительно простом описании структуры слоистых моделей, что позволяет исследовать их динамическое поведение наиболее детально и досконально по сравнению с другими моделями гетерогенных сред.
При исследовании распространения звука в дискретно-слоистых средах применяются два основных подхода (см. [1], [13]—[22]). Первый подход основан на непосредственном исследовании процессов отражения и преломления на каждой границе, разделяющей слои друг от друга. При этом для нахождения звукового поля внутри слоев используется либо один из вариантов матричного метода, либо метод, который состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений, выражающих условия непрерывности перемещений и напряжений на границах раздела слоев. Однако следует иметь в виду, что увеличение числа слоев сопровождается одновременным увеличением числа волн, распространяющихся в слоистой среде. Это приводит к тому, что в случае большого числа слоев указанные методы приводят к чрезвычайно громоздким формулам, малопригодным для всестороннего изучения влияния параметров того или иного отдельного слоя на акустические свойства многослойной среды.
Второй подход обычно применяется при исследовании распространения звука в слоистых средах, состоящих из большого числа упорядоченно чередующихся слоев. В его основе лежит идея замены исходной неоднородной среды на эквивалентную ей однородную (гомогенную) среду, описываемую усредненной моделью. Очевидно, что благодаря такой замене устраняется необходимость в явном виде учитывать многочисленные отражения и преломления на границах раздела слоев. Вместе с тем необходимо иметь в виду, что указанный переход к однородной среде математически обоснован только в том случае, когда толщина каждого слоя очень мала не только по сравнению с толщиной образца среды, но и по сравнению с длиной звуковой волны. Неоспоримым достоинством второго подхода является повышение точности усредненной модели при увеличении числа слоев среды. Иными словами, при увеличении числа слоев динамические характеристики слоистой среды все точнее описываются с помощью соответствующей ей усредненной среды. Это обстоятельство оказывается весьма полезным для верификации численных методов, применяемых для расчета точного звукового поля для многослойных сред, поскольку формулы, выведенные для усредненных сред, зачастую можно записать в компактном и удобном для анализа виде.
В данной работе рассматривается задача об отражении плоской звуковой волны, нормально падающей на границу х1 = 0 гетерогенной среды, состоящей из периодически повторяющихся слоев двух изотропных компонентов. В качестве первого компонента рассматривается упругий материал, а в качестве второго — либо вязкоупругий материал с мгновенной памятью (материал Кельвина—Фойгта), либо вязкоупругий материал с долговременной памятью, у которого регулярные части ядер релаксации представляют собой сумму нескольких экспонент. Дополнительно предполагается, что длина звуковой волны много больше толщины одного упругого или вяз-коупругого слоя, а все слои гетерогенной среды параллельны либо плоскости Ох2х3, либо плоскости Ох1х2. Для исследования поставленной задачи применяются усредненные модели слоистых гетерогенных сред, полученные в [11] и [12]. С помощью усредненных моделей находятся комплексные амплитуды отраженной и прошедшей волн. Кроме того, приводится система уравнений для расчета точного коэффициента отражения для среды, состоящей из М упругих и М вязкоупругих слоев. С помощью этой системы численно исследуется влияние числа слоев гетерогенной среды на точность коэффициента отражения, вычисленного для ее усредненной модели.
2. ИСХОДНАЯ И УСРЕДНЕННАЯ МОДЕЛИ СРЕДЫ ИЗ СЛОЕВ УПРУГОГО И ВЯЗКОУПРУГОГО (С ДОЛГОВРЕМЕННОЙ ПАМЯТЬЮ) МАТЕРИАЛОВ
Рассмотрим область О = (0, И) х (—I, /)2, занятую взаимно чередующимися слоями двух изотропных материалов: упругого и вязкоупругого. Пусть толщина каждого вязкоупругого слоя равна sd, 0 < d < 1; 0 < б < шт{й, /}, а толщина каждого упругого слоя равна б(1 — <3). Дополнительно будем предполагать, что все слои параллельны либо плоскости Ох2х3, либо плоскости Ох1х2 (см. фиг. 1). Объединение всех упругих (вязкоупругих) слоев области О обозначим через О1е (О2е) так, что О = О1е и О2е и Se, где Se = 5О1е п дО2е.
Определяющие соотношения, связывающие компоненты тензоров напряжений и деформаций в О1е и О2е, имеют вид
= Атекк(и£), х еО!
£
x2
V
Фиг. 1.
где ^^ 1) — вектор перемещений, <3у — компоненты тензора напряжений в Ож, ж = 1, 2, eЛA(ue) — компоненты тензора деформаций, АуШ и ауШ — компоненты тензоров коэффициентов упругости,
ек„(иг) = 2 (ди + ди) , &(* ^<) = ^< - ^^,
Am = ^fitfikh + Hi(&ik&jh + §th§jk), a№ = + Vii^tk^jh + bth^jk), 1 ^ i,j, К h ^ 3.
Здесь 5,y — символ Кронекера, а Xs и s = 1,2, — постоянные Ламе.
Если слои Q2e заполнены вязкоупругим материалом Кельвина—Фойгта, то все компоненты тензора d(t) полагаются равными нулю, а компоненты тензора коэффициентов вязкости b определяются следующим образом:
2
btjkh = ^з5tj5kh + H3(8tk8jh + bthbjk), = \ - -^
где и — коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости соответственно.
Если слои Q2e заполнены вязкоупругим материалом с долговременной памятью, то все компоненты тензора b равны нулю, а компоненты тензора регулярных частей ядер релаксации d(t) имеют вид
dm(t) = -{Oi(t) - 3G(t)) btjbkh - 1 G(t)(8tk8jh + 5^),
где G(t) и Gx(t) — регулярные части ядер сдвиговой и объемной релаксации соответственно, причем Gx(t) = r1G(t), где rx = 0 или rx = const > 1/3 (см. [11], [23]). При этом предполагается, что
N
N
G(t) = £ vK exp(-ynt), £ v < k,
j = i
Yn
где уп, у„ е п = 1, ..., N у! Ф уу- при IФу, К = 2ц2 при г1 = 0 и К = ш1п{3^2/(3г1 — 1), 2ц2} при г1 > 1/3 (см. [11]).
Уравнения движения упругих и вязкоупругих слоев в области О записываются в виде
Р
^2 Б /••> 5Б
^ = ^ + f (x, t), x ,П!Б,
дг2 дх
где /¡(х, 1) — компоненты вектора объемной силы, рж — плотность среды в ж = 1, 2.
(2.1)
x
3
0
n
Кроме того, на границе 5., разделяющей упругую и вязкоупругую части гетерогенной среды, выполняются условия идеального контакта
[ иЕ к = 0, [ст— = 0, (2.2)
где п — компоненты единичного вектора нормали к поверхности Se; ст^- = ст- в квадратные скобки обозначают скачок заключенной в них величины при переходе через Sí..
Усредненная модель слоистой гетерогенной среды, соответствующая исходной модели (2.1), (2.2) и построенная при б —»- 0, имеет вид
Ро д-Ц = 7Г+ &х> , х , (2.3)
дг2 дх-
и описывает поведение однородного вязкоупругого материала с плотностью р0 = рх(1 — ^ + р2^ и определяющими соотношениями
СТ- = атекн(и) + Р-укА^д) + г) * екн(и), х (2.4)
где компоненты тензоров а, р и g(t) находятся с помощью решений вспомогательных периодических задач (см. [11], [12]). В частности, если область заполнена вязкоупругим материалом с долговременной памятью, то все компоненты тензора р равны нулю.
Используя усреднен
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.