научная статья по теме ОТРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ МОДЫ ОТ ОБРЫВА ПЛОСКОГО ВОЛНОВОДА ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛА Электроника. Радиотехника

Текст научной статьи на тему «ОТРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ МОДЫ ОТ ОБРЫВА ПЛОСКОГО ВОЛНОВОДА ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛА»

РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2013, том 58, № 12, с. 1197-1205

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН

УДК 537.874;537.876;621.372

ОТРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ МОДЫ ОТ ОБРЫВА ПЛОСКОГО ВОЛНОВОДА ИЗ МЕТАМАТЕРИАЛА

© 2013 г. А. Б. Маненков

Институт физических проблем им. П.Л. Капицы РАН, Российская Федерация, 119334, Москва, ул. Косыгина, 2 E-mail: manenkov@kapitza.ras.ru Поступила в редакцию 31.05.2013 г.

Вариационным методом исследована задача об отражении поверхностных мод от обрыва плоского диэлектрического волновода, изготовленного из метаматериала. Теория проиллюстрирована на примерах задач об обрыве трехслойных симметричных волноводов с кусочно-постоянными профилями проницаемостей.

DOI: 10.7868/S0033849413120140

ВВЕДЕНИЕ

Проблемы рассеяния мод на нерегулярностях диэлектрических волноводов часто возникают при анализе различных СВЧ и оптических систем. Подобные проблемы достаточно подробно рассмотрены для структур, изготовленных из "обычных" сред (см., например, [1—3]). В настоящее время интенсивно исследуются системы, изготовленные из метаматериалов. Такие материа-

1

лы также называют левыми материалами или средами с отрицательными коэффициентами преломления. Их диэлектрические 8 и магнитные ц проницаемости могут быть одновременно отрицательными [4, 5]. Как правило, метамате-риалы являются искусственными магнитоди-электриками (композитами). Они имеют ряд уникальных свойств (например, отрицательную рефракцию), в них возможен "обратный" эффект Черенкова.

Моды регулярных планарных волноводов из метаматериалов описаны в работах [6—9]. В то же время задачи рассеяния для таких структур слабо изучены. В данной работе рассматриваем задачу об отражении поверхностной моды от обрыва планарного диэлектрического волновода (ПДВ), центральный слой которого изготовлен из среды с отрицательными значениями проницаемостей 8 и ц (рис. 1). Задача решена вариационным методом [10—12]. Заметим, что ранее подобную проблему рассматривали в работе [12], где, однако, рассчитывали отражения мод дру-

1 В англоязычной литературе для обозначения таких сред обычно используют термины "left handed medium" (LHM).

гого типа, так называемых осциллирующих мод волноводов.

К классу метаматериалов иногда относят также фотонные кристаллы [13] и различные слоистые диэлектрические структуры. Некоторые свойства указанных систем отличаются от свойств большинства композитов, тем не менее многие явления во всех подобных средах весьма похожи. Ниже ограничимся анализом только того класса структур (композитов), которые можно в данном диапазоне частот считать однородными средами, т.е. предполагаем, что размеры всех включений в средах, которые используют для изготовления метаматериалов, существенно меньше длины волны. Анализ этого предположения будет дан ниже.

м У

еь Ц1 ....

й

..................................../ V/

^ V :::::::::::: ^_^

:::::::::::::::::: о *

-d

. . . .

Рис. 1. Геометрия задачи.

1. ПОВЕРХНОСТНЫЕ МОДЫ

Геометрия задачи и система координат изображены на рис. 1; толщина центрального слоя ПДВ обозначена через 2й. Предполагаем, что структура симметрична, т.е. функции е(у) и ц(у) являются четными функциями поперечной координаты у. Ниже считаем, что профили проницаемостей кусочно-постоянны: в подложке и в покрытии (при |у| > й) они равны е1 и ц1, а внутри центрального слоя (при |у| < й) равны соответственно е2 и ц2. Первая пара проницаемостей положительная, а вторая — отрицательная. Заметим, что методика с небольшими изменениями применима и к ПДВ, у которых проницаемости являются кусочно-непрерывными функциями координаты у. Как обычно, временной множитель, который имеет вид ехр(-;'юг), где ю = ке, к — волновое число, с — скорость света в вакууме, будем часто опускать. Далее считаем, что диэлектрические и магнитные потери малы, поэтому ими можно пренебречь. В то же время для выделения единственного решения будем предполагать, что волновое число к имеет малую мнимую часть 1т к ^ + 0. Ниже исследуем ТЕ-случай, когда все волны имеют только одну отличную от нуля компоненту Ех.

Прежде чем решать задачу отражения, опишем кратко характеристики собственных мод рассматриваемого ПДВ. Множество собственных мод содержит моды дискретного спектра (направляемые) и моды непрерывного спектра (радиационные). Достаточно подробный анализ свойств направляемых мод разного типа представлен в работах [7—9]; здесь приведем только те результаты, которые будут необходимы при решении задачи дифракции. В дальнейшем предполагаем, что выполнены условия

А21 = 62|Д2 - S1H1 < 0, 1^1 > |i-

(1)

При таких условиях в системе могут распространяться поверхностные моды (ПМ). Электрическое поле всех мод имеет вид

Ex = Ф(у)ехр[/фz - ю0].

(2)

Функция Ф(у) описывает распределение поля в поперечной плоскости г = const; она является решением уравнения [14]

dy

_L d®

_|(y) dy _

+ [k26(y)|i(y) -р2]Ф = 0.

(3)

Это уравнение может быть выведено из уравнений Максвелла, если искать их решение в виде (2). Для мод дискретного спектра, в том числе и для ПМ, должно быть выполнено условие на бесконечности: Ф(+») = 0.

Далее будем рассматривать симметричную моду низшего типа, которую обозначим через ТЕ/. Смысл индекса "/" объяснен ниже. Из приведенных соотношений следует, что для симметричных ПМ поле равно

ф о(у) =

г A ch(p2 У) при |y| < d,

exp[-pi(y - d)] при \y > d,

(4)

где А и В — амплитудные множители. Волновые числа ПМ связаны соотношением

в2 = k 262^ 2 + Pi = k 26i^i + Pi2,

(5)

где р1 — внешнее поперечное волновое число.

Вывод дисперсионного уравнения (ДУ) для рассматриваемой ПМ, распространяющейся в такой структуре, проводится по стандартной схеме с учетом граничных условий на плоскостях у = ±й. В частности, условия при у = й имеют вид

E — E

xld+0 — xld-0 '

1 dEx

Hi dy

1 dEx

d+0

H 2 dy

(6)

d-0

Заметим, что условия на бесконечности уже учтены в (4). Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательное ДУ:

Pid = -—(p2d)th(p2d). ^2

(7)

При решении (7) следует учитывать соотношение между волновыми числами (5), которое можно

записать в виде р2 = р22 + к 2д 21.

Для иллюстрации приведем типичные дисперсионные кривые и структуру полей для ПМ типа ТЕ/ в таком волноводе. На рис. 2 изображена зависимость р1/к от безразмерной толщины центрального (волноведущего) слоя 2й/X (x — длина волны). Кривая 1 построена для ПДВ с параметрами е1 = 10, = 1, 6 2 = -4 и ц 2 = - 2.

Отметим, что указанные параметры удовлетворяют неравенствам (2), причем в этом случае А21 = -2. Смысл кривой 2 будет пояснен ниже.

Важно отметить, что при условиях (2) мода низшего типа ТЕ/ является прямой [15, 16]; дополнительный нижний индекс "/" указывает на это свойство моды. Для такой моды знаки Яе в и 1тв одинаковы, при этом фазовая и групповая скорости направлены в одну сторону. При этих параметрах она не имеет отсечки, т.е. существует при сколь угодно низких частотах. Поведение кривой 1 на рис. 2 нетрудно понять, если анализировать решения ДУ стандартным графическим методом, как это делается для обычного ПДВ [16].

Р1/к

5

0.5

1.0

1.5

2.0

2й/Х

^X 1.0

3

у/й

Рис. 2. Зависимость безразмерного поперечного волнового числа мод ТЕо/ и ТЕоь от толщины волноведу-щего слоя.

Рис. 3. Распределения электрических полей для мод ТЕо/ и ТЕ(

оь.

При условии кй < 1 из (7) нетрудно получить приближенные выражения для поперечных волновых чисел моды ТЕ/

Р1 = - (Ц1/Ц2)к2й |А2!, Р2 = к^А

21 .

(8)

Заметим, что при малой толщине ПДВ рассматриваемая мода является слабозамедленной, т.е.

в « кпъ где п1 = л/81Ц1 — показатель преломления подложки и покрытия. В другом предельном случае, когда кй > 1, имеем

Р1 = - (Ц^Ц2)Р2, Р2 = к^|д2^[1 - (Ц1/Ц2)2]|.

(9)

Исследуемая мода ТЕо/ является поверхностной; ее направляют границы раздела сред, к которым "прижаты" поля. Поэтому ясно, что при большой толщине волновода 2й указанные значения р1 и р2 будут близки к значениями поперечных чисел мод, направляемых отдельно каждой из границ раздела левой и правой сред [6].

На рис. 3 изображено распределение электрического поля Ех (у/й) исследуемой моды для рассматриваемого волновода (кривая 1). Смысл кривой 2 будет пояснен ниже. Параметры волновода те же, что и для рис. 2, а его толщина удовлетворяла соотношению 2й/ X = 1. На рисунке вертикальная штриховая линия показывает расположение границы раздела сред. Согласно (4) внутри центрального слоя электрическое поле пропорционально гиперболическому косинусу, а снаружи спадает по экспоненциальному закону.

Для анализа задачи отражения используем также радиационные моды (РМ) волновода и правого полупространства. Эти моды можно построить при помощи общего подхода, описанного в работах [17, 18]. Отметим, что для волновода с кусочно-постоянными параметрами поля РМ можно представить в виде сумм экспоненциальных функций. Коэффициенты при этих функциях определяются из условий непрерывности на границах у = ±й и из условий на бесконечности, которые выведены при помощи метода S-опера-тора [18]. Для планарной геометрии РМ попарно вырождены и введение этого оператора позволяет разделить множество РМ (т.е. идентифицировать 2

каждую моду) . Поля РМ волновода можно представить в виде

Ех = итк(У) ехР Р(Рк* - Ю01

(1о)

2 2 1/2

где к и вк = (к в1Ц1 - к ) — поперечное и продольное волновые числа РМ (непрерывные параметры), т — дискретный индекс. Для симметричного ПДВ индексом т отмечена четность моды: т = 0 для четных мод и т = 1 для нечетных. Для прямых РМ в выражении для в к выбирают ту ветвь корня, у которой ^вк > 0 при !ш к > 0.

2

Указанный подход во многом схож с хорошо известным и

изученным подходом, который используется в квантовой

механике для построения волновых функций непрерывно-

го спектра [19].

4

1

1

о

Система функций Ф0 и итк является ортогональной системой с весом 1/ ц(у). Условия ортогональности имеют вид

(Ф о |Ф о/МОО) = Nо,

| Vты!МбО) = ^тк8тт'8(К - К'Х

(11)

где N0 — скалярная норма ПМ, Бтк — нормирующий множитель РМ волновода, 8 тт — единичный тензор, 5(к - к') — дельта-функция. Здесь и ниже используется следующее обозначение для интеграла в плос

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком