АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 6, с. 587-595
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 51-73
ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНЫ ОТ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ,
СОСТАВЛЕННОЙ ИЗ ПОГЛОЩАЮЩИХ ЭКРАНОВ. ОПИСАНИЕ В РАМКАХ МЕТОДА ВИНЕРА-ХОПФА-ФОКА © 2014 г. А. В. Шанин, А. И. Корольков
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Физический факультет 119991ГСП-1, Москва, Ленинские горы E-mail: korolkov@physics.msu.ru Поступила в редакцию 08.04.2014 г.
Рассматривается двумерная задача отражения волны от дифракционной решетки при скользящем падении. Длина волны предполагается малой. Дифракционная решетка имеет ячейку периодичности, состоящую из двух полубесконечных поглощающих экранов, перпендикулярных краю решетки. Известно, что в случае решетки с ячейкой из одного экрана коэффициент отражения стремится к —1 при стремлении угла падения к нулю. Показано, что этот же результат остается верным и для периода из двух экранов. Рассмотрение проводится в рамках метода Винера—Хопфа—Фока. Ставится матричная задача факторизации, решение которой неизвестно и в данной работе не строится. Для исследования предельного коэффициента отражения без построения решения используется прием, предложенный Л.А. Вайнштейном.
Ключевые слова: дифракция на решетках, метод Винера—Хопфа—Фока, параболическое уравнение теории дифракции, задача Вайнштейна, биллиардные моды.
DOI: 10.7868/S0320791914060173
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается двумерная задача о рассеянии акустической волны на периодической структуре, показанной на рис. 1. Структура представляет собой дифракционную решетку с ячейкой периодичности, состоящей из двух идеально поглощающих экранов, расположенных вдоль оси у. Период решетки (вдоль оси х) равен а + Ь. Экраны занимают полупрямые {х = (а + Ь)п, у < 0} и {х = а + (а + Ь)п,у < с}, п е ^.
Рассматривается волновой процесс с узким угловым спектром, сосредоточенным вблизи направления оси х. Такой процесс описывается параболическим уравнением теории дифракции [1]:
2ikd + K '
u = 0,
(1)
р(х, у) = в1кхи(х, у). Предполагается, что к(а + Ь) > 1.
Хорошо известно, что для уравнения Гельм гольца идеально поглощающих граничных усло
(2)
вий быть не может, однако в параболическом приближении такие граничные условия могут быть легко сформулированы для экранов, перпендикулярных оси х, — достаточно потребовать, чтобы поле было равно нулю справа от каждого из экранов. Отраженные волны параболическим уравнением не описываются.
Формальная постановка задачи для параболического уравнения должна включать краевые условия на вершинах экранов, означающие, что в этих вершинах нет источников. Достаточно потребо-
дх ду ,
предполагающим описание дифракционного процесса в приближении Френеля. Здесь к — параметр (волновое число), и — полевая переменная параболического уравнения, связанная с физической полевой переменной (например, акустическим давлением р) обычным соотношением [1]
0*
Рис. 1. Геометрия задачи.
u
y
c
х
вать, чтобы поле u вблизи вершин было ограниченным.
Из верхней полуплоскости (y > 0) на дифракционную решетку падает плоская волна
uin = exp{-ik(x02J 2 + y0in)}, (3)
где 0 in — (малый) угол падения, отсчитываемый от оси х. Заметим, что преобразование (2) и приближения sin 0in ~ 0in, cos 0in ~ 1 - 0Ín/2 переводят (3) в обычную плоскую волну.
Необходимо найти рассеянную волну usc, убывающую или распространяющуюся в направлении больших |y|. Заметим, что падающая волна обладает свойством
u ln(x + a + b, y) = exp{-ik(a + b) 02n/ 2}u ln(x, y). В соответствии с принципом Флоке для периодических структур аналогичным свойством должно обладать и рассеянное поле usc. Очевидно, в верхней полуплоскости (точнее, при y > c) рассеянное поле можно записать в виде суммы по дифракционным порядкам:
W =
¿ R„ exp{-ikxQ2„/2 + /ky0B},
+ ■
4nn
(4)
(5)
к(а + Ь)
Ветвь квадратного корня выбирается таким образом, чтобы значения были положительными действительными или положительными мнимыми, что соответствует уходящим или убывающим волнам. Очевидно, 0О = 0¡п. Коэффициенты Яп рассеяния в дифракционные порядки представляют основной интерес исследования.
Известно решение этой задачи при а = Ь, с = 0, т.е. в случае периода, состоящего из одного экрана. Это классическая задача Вайнштейна [2, 3]. Задача решена (скалярным) методом Винера—Хопфа— Фока. Наиболее интересным для нас свойством решения является то, что при малых 0 ¡п все коэффициенты, кроме нулевого, малы, а нулевой коэффициент ведет себя как
Я = -1 - Ьд ?(1/2)л/ка01п, (6)
л/Тс
т.е. при 0;п ^ 0 коэффициент зеркального отражения стремится к—1 (здесь с; — функция Римана). Это представляется удивительным, поскольку экраны являются идеально поглощающими, а коэффициент отражения —1 соответствует идеально отражающей (акустически мягкой) границе. Более точно, зависимость (6) позволяет приписать границе у = 0, рассматриваемой со стороны верхнего полупространства, некоторый эффективный импеданс (см. ниже).
Нашей целью является исследование коэффициента Я0 для поставленной задачи с периодом из
двух экранов. Данная задача сводится к матричной задаче факторизации, решение которой неизвестно. В работах [4, 5] в рамках метода Винера—Хопфа рассматривалась задача, сходная с нашей в случае а = Ь, с >0 и в случае выбора уравнения Гельмголь-ца вместо (1). Матричная задача была сведена авторами к скалярному уравнению Фредгольма второго рода. В настоящей работе мы не будем пытаться построить решение задачи факторизации. Вместо этого мы обобщим на случай матричной задачи метод, развитый Л.А. Вайнштейном в работе [2]. Данный метод позволяет проанализировать коэффициент Я0 при 0;п ^ 0 без построения решения.
Последние исследования [6] показывают, что результат Я0 ^ -1 является общим для достаточно широкого класса задач, связанных с отражением от торца волновода при стремлении частоты падающей моды к частоте отсечки (классическая задача Л.А. Вайнштейна является переформулировкой именно этой задачи).
Отметим, что авторами предложена альтернатива методу Винера—Хопфа—Фока для задач типа Вайнштейна. Метод сводится к построению так называемого ОЕ-уравнения и его численному или асимптотическому решению [7—9]. В приложении к данной работе мы обсуждаем связь задачи факторизации и ОЕ-уравнения.
Остановимся на мотивации данной работы с точки зрения физики. Как показано в работах Л.А. Вайнштейна, применение метода отражений к плоскому волноводу с идеально отражающими стенками превращает задачу дифракции на торце волновода в задачу дифракции на решетке с идеально поглощающими экранами. В нашем случае это соответствует решеткам с а = Ь. При этом экраны соответствуют не стенкам волновода, а переходам с листа на лист некоторой многолист-ной поверхности, к которой приводит метод отражений. Случай с > 0 соответствует плоскому волноводу с несимметричным торцом. Такая задача рассматривалась в [3] для моделирования резонатора Фабри—Перо с зеркалами, сдвинутыми друг относительно друга (исследовался вопрос о том, как сдвиг зеркал влияет на добротность резонатора). Эта же задача возникает при анализе эффективности работы плоского излучателя вблизи твердой стеки конечных размеров. Наконец, в недавних работах по авиационной акустике задача об излучении из плоского волновода со сдвинутыми стенками использовалась для моделирования усиления шума двигателя на кромке крыла самолета.
Более общее семейство дифракционных задач (задачи типа Вайнштейна) было введено в работе [10]. Рассматривались высокочастотные моды двумерных открытых резонаторов, представляющих собой прямоугольные "комнаты" с открыты-
ми "окнами". Было показано (в том числе прямым численным моделированием), что наиболее добротные моды имеют биллиардный характер, т.е. представляют собой пучки с узким угловым спектром, распространяющиеся от стены к стене по замкнутым траекториям. Основной механизм потерь энергии в таких модах — дифракция на краях окон. Имеются свидетельства [11] об экспериментальном наблюдении таких мод.
Для рассмотрения биллиардных мод в [10] был применен метод отражений. Предполагалось, что стенки резонатора идеально жесткие, а окна представляют собой идеально поглощающие поверхности. В результате биллиардная мода преобразуется в волновой пучок, распространяющийся между двух дифракционных решеток, состоящих из поглощающих экранов. Добротность резонатора можно определить, если известны коэффициенты отражения от таких решеток. Как показано в [10], разная геометрия резонаторов приводит к разным типам дифракционных решеток. Один из таких типов исследуется в данной работе. Резонатор, приводящий к дифракционной решетке, исследуемой здесь, показан на рис. 2. Это квадратный резонатор со стороной d и угловым окном. Стороны, подходящие к окну, имеют длины к1 и Н2. Рассматривается биллиардная мода, идущая вдоль диагонали. Применяя метод отражений, получаем, что пучок, соответствующий этой моде, ограничивается решеткой, показанной на рис. 1, с параметрами а = й42 - (н1 + н2)/л12 , ь = ё42 + (н1 + л2)/Т2,
С = (Й1 - Й2)А/2.
Сделаем еще два замечания. Во-первых, представление об окнах резонатора как об идеально поглощающих экранах может показаться весьма грубым и даже некорректным в рамках описания с помощью уравнения Гельмгольца. Корректное, но значительно менее наглядное описание получается, если применить метод отражений к акустически жесткой границе, показанной на рис. 2 (бесконечно тонкая граница в виде 4-звенной ломаной). В этом случае волны уходят во внешнее пространство (на бесконечность). В результате применения метода отражений окажется, что волновой пучок, соответствующий биллиардной моде, распространяется по очень сложной разветвленной поверхности. Роль краев идеально поглощающих экранов будут играть точки ветвления.
Во-вторых, необходимо прокомментировать использование параболического уравнения для описания волнового процесса. Известно, что параболическое уравнение хорошо описывает дифракцию Френеля и неадекватно описывает рассеяние на краях экранов под большими углами. Использование параболического уравнения в данном случае объясняется
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.