МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <1 • 2008
УДК 532.582.2
© 2008 г. М. В. НОРКИН
ОТРЫВНОЙ УДАР ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА, ПЛАВАЮЩЕГО НА ПОВЕРХНОСТИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ
При помощи метода нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна проведен численный анализ задачи об отрывном ударе эллиптического цилиндра, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины. Изучено влияние дна, а также кинематических параметров и геометрических размеров на зону отрыва частиц жидкости от поверхности цилиндра.
Ключевые слова: идеальная жидкость, эллиптический цилиндр, конечная глубина, удар с отрывом, зона отрыва.
Задача о гидродинамическом ударе с отрывом была поставлена Л.И. Седовым в [1], где развиты эффективные методы решения плоских задач гидродинамики, основанные на использовании теории функций комплексного переменного. Первым конкретным результатом по удару с отрывом была решенная Л.И. Седовым задача о горизонтальном ударе пластины [1]. Позже с помощью методов, изложенных в [1], в ряде частных случаев были получены аналитические решения [2-4]. Численный анализ плоской задачи об отрывном ударе плавающих тел проведен в [5]. Во всех указанных исследованиях жидкость предполагалась идеальной несжимаемой, однородной и неограниченной. Общая теория удара в неоднородной жидкости была построена в [6]. Важным результатом [6] было доказательство теоремы существования и единственности решения задачи об ударе с отрывом.
Плоские задачи об ударе с отрывом в случае ограниченной области рассматривались в [7], где были предложены различные подходы к решению задачи об отрывном ударе пластины. Это, во-первых, прямой асимптотический метод, основанный на предположении о том, что стенки бассейна удалены от плавающего тела на большие расстояния и, во-вторых, метод, базирующийся на использовании техники конформных отображений с последующим применением математического аппарата парных интегральных уравнений. Следует отметить, что во втором подходе для определения неизвестной области контакта впервые в смешанных задачах гидродинамического удара был применен вариационный принцип Огазо. В качестве конкретных примеров изучены случаи, когда область, занятая жидкостью, представляет собой слой и усеченную круговую луночку.
В настоящей работе задача об ударе с отрывом эллиптического цилиндра, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости конечной глубины, сводится к одному нелинейному интегральному уравнению типа Гаммерштейна, для решения которого применяется метод М.А. Красносельского [8]. Отметим, что такой подход позволяет одновременно определить потенциал скоростей и неизвестную заранее зону отрыва частиц жидкости.
Метод граничных интегральных уравнений типа Гаммерштейна был предложен в [9, 10] для решения статических контактных задач теории упругости с неизвестными заранее областями контакта; контактные задачи, для решения которых применялся такой подход, приведены в [11].
Фиг. 1. Постановка задачи; возможные зоны отрыва расположены между точками С1, С2 и С3, (-а, 0), ю < 0
1. Постановка задачи. Рассматривается плоская задача об отрывном ударе эллиптического цилиндра, полупогруженного в идеальную несжимаемую жидкость, наполняющую ограниченный бассейн. Пусть до удара плавающее тело и жидкость покоились. Тогда движение жидкости после удара будет потенциальным, причем потенциал скоростей Ф, приобретенных частицами жидкости в результате удара, определяется решением смешанной краевой задачи теории потенциала с неизвестными априори областями контакта [1]
ДФ = 0, г е В
дФ
дп
^ = Vn, Ф< 0, r е S11 (1.1)
дФ > У„, Ф = 0, г е ^ (1.2)
Ф = 0, г е S2,
дФ п с
— = 0, г е S3,
дп
Ф^ 0, г ^^ (1.3)
Уп = ихпх + иупу + ю(Упх - хпу)
Здесь В - область, занятая жидкостью; 51 = 511 и S12 - погруженная в жидкость половина эллипса, причем S11 - часть границы на которой не происходит отрыв частиц жидкости, а S12 - зона отрыва; S2 - свободная поверхность жидкости; S3 - неподвижная твердая граница бассейна; г = (х, у); Уп - нормальная компонента скоростей точек границы твердого тела; их, иу, ю - поступательные вдоль осей х и у и угловая скорости, приобретенные эллипсом в момент удара; пх, пу - проекции вектора внешней нормали на оси х и у. Декартовы координаты х, у введены таким образом, что ось х расположена вдоль линии свободной поверхности, ось у направлена вертикально вниз в глубь жидкости (фиг. 1). Условие (1.3) добавляется в случае неограниченной жидкости.
Объясним физический смысл неравенств в (1.1) и (1.2). Первое условие означает, что импульсивное давление Р1 = -рФ, где р - плотность жидкости, должно быть направлено в сторону жидкости, должно сжимать, но не растягивать жидкость. Второе неравенство требует, чтобы в каждой точке смоченной границы твердого тела жидкая частица не входила внутрь твердого тела, хотя ей разрешается отрываться от этой границы. В тех точках границы S1, в которых Ф < 0, выполняется равенство дФ/дп = Уп, где дФ/дп > Уп,
справедливо Ф = 0. Вместе с тем в некоторых точках границы могут одновременно выполняться равенства Ф = 0 и дФ/дп = Уп. Это, например, происходит в точках раздела зоны отрыва 512 и зоны безотрывного удара 5П. Отметим, что в настоящей статье рассматривается модель удара с отрывом, предложенная Л.И. Седовым, а другие возможные модели не рассматриваются.
Кроме перечисленных условий нужно еще поставить условие регулярности вблизи точек раздела свободной границы с твердыми поверхностями, где граница области О теряет гладкость. Если особые точки имеются на границах и 53, то в них также ставится условие регулярности. В [6] доказано, что поставленная задача с односторонними неравенствами на границе имеет единственное решение при дополнительном условии конечности кинетической энергии течения после удара
|(УФ)2йО <с~ (1.4)
О
Для полной постановки задачи необходимо также учесть уравнения изменения импульса и момента импульса плавающего тела при ударе. С их помощью устанавливается связь между внешним ударным импульсом и точкой его приложения, с одной стороны, и векторами поступательной и угловой скорости, приобретенными телом в результате удара - с другой. Покомпонентная запись этих уравнений в случае однородного эллипса приводит к соотношениям
у8их = р\Фп^ + Рх, у8иу = р\Фп^ + Ру (1.5)
1а = р|ф(упх - хпу)йз + у^^Рх - х0Ру (1.6)
где S = nab - площадь эллипса, I = уab(a + b ) - его момент инерции, a, b - горизонтальная и вертикальная полуоси эллипса, у - плотность тела, Px, Py - компоненты внешнего ударного импульса, приложенного к телу в точке с координатами x0, у0.
Если известны внешний ударный импульс и точка его приложения, то скорости vx, vy, ю однозначно определяются на основании решения системы нелинейных уравнений (1.5), (1.6). С другой стороны, не любое движение плавающего тела может быть вызвано действием на него точечного ударного импульса. Однако если такая ситуация возникает, то можно считать, что данное движение вызвано действием на плавающее тело нескольких ударных импульсов или, например, точечного ударного импульса и импульсивного крутящего момента (в этих случаях в правые части уравнений (1.5), (1.6) добавляются соответствующие величины). Вообще причины, вызывающие удар, могут быть самыми различными.
В дальнейшем, задавая произвольные движения эллипса, будем интересоваться неизвестными заранее областями отрыва частиц жидкости.
Особенностью поставленной задачи является то, что область контакта тела с жидкостью (равно как и зона отрыва) заранее не известна и подлежит определению вместе с течением жидкости, т.е. вместе с потенциалом скоростей Ф. Вследствие этого данная задача нелинейная и относится к классу задач со свободными границами. Отметим также, что в задачах об ударе с отрывом зона отрыва S12 может представлять собой многосвязное множество.
"Свободные границы" не означают, что область, в которой ищется решение, не известна. Она известна, но разбиение ее границы на области контакта и области отрыва следует определить вместе с течением жидкости после удара.
S
2. Сведение задачи к нелинейному интегральному уравнению. Рассмотрим линейную смешанную краевую задачу в области В
AW =0, r е D,
cW'
. д п.
= f, [ W]s2 = 0, Si 2
dW'
. дп _
0 (2.1)
Пусть К: ^ - линейный оператор, ставящий в соответствие нормальной
производной функции Ж на S1 решение задачи (2.1) на S1
К (/) = Ж (2.2)
С учетом соотношений (1.1), (1.2) и (2.2) нормальная производная потенциала Ф на границе S1 будет определяться в результате решения системы неравенств
д-Ф = у кГдФ'
дп Уп К 1дп,
= Vn, ]<0, rе Su
ЭФ !ЭФ
> V KI — дп~Уп K 1Эп
> Vn, 1 = 0, r е Si2
Полученные неравенства приводят к односторонним ограничениям для новой функции и, определенной на S1
и = дт уп (23)
-К(и)> К(Уп), и = 0, г е S11 (2.4)
-К(и) = К(Уп), и > 0, г е S12 (2.5)
Естественно предположить, что существует область S0 = {М: К(Уп) > 0}, К(Уп) < 0 при М е S0 - подобласть S1). Отметим, что условие К(Уп) < 0 на всей границе S1 соответствует задаче о безотрывном ударе плавающего тела. Далее, следуя [9], введем нелинейные операторы гГ, и+
и- = и-(М) = М{и(М), 0}, и+ = и+(М) = 8цр{и(М), 0}
_ (2.6)
и(М) = и (М) + и+(М) и рассмотрим относительно неизвестной функции и нелинейное операторное уравнение Ти =0, Ти = К(и+) - К(Уп) (2.7)
где параметр ц > 0 может принимать произвольные значения. Справедливо следующее утверждение.
Если и* - решение уравнения (2.7), то (и = и*+, ^12 = {М: и* > 0}) - решение системы (2.4), (2.5), причем S12 Ф 0 при So Ф 0; обратно, если (и, S12) - решение системы (2.4), (2.5), то функция
и* = ц-1 К(Уп) + и + ц-1 К(и), М е S1
есть решение уравнения (2.7). Область отрыва S12 может быть многосвязной.
Доказательство этого утверждения, а также существование единственного решения уравнения (2.7) в пространстве при любом ц > 0 проводятся в полной аналогии с
[9]. Так же объясняется произвольность параметра ц. Если и** и и** - решения уравнения (2.7), соответствующие значениям ц = ц1 и ц = ц2, ц1 Ф ц2, то и*+ = и*+ .
S
Таким образом, для решения системы (2.4)-(2.5) до
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.