Автоматика и телемеханика, № 8, 2015
Робастные и адаптивные системы
© 2015 г. А.А. ПЫРКИН, канд. техн. наук (a.pyrkin@gmail.com)
(Ханчжоу Дяньцзы Университет, 310018, Ханчжоу, Китай, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики), А.А. БОБЦОВ, д-р. техн. наук (bobtsov@mail.ru) (Ханчжоу Дяньцзы Университет, 310018, Ханчжоу, Китай, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики), А.А. ВЕДЯКОВ (vedyakov@gmail.com) (Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики), С.А. КОЛЮБИН, канд. техн. наук (s.kolyubin@gmail.com) (Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики)
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА1
Предложен новый алгоритм оценивания всех параметров полигармонического сигнала: частот, амплитуд, фаз и смещения. Показана экспоненциальная сходимость к нулю ошибок оценивания искомых параметров. Алгоритм обладает свойством помехоустойчивости по отношению к аддитивным шумам в канале измерения. Динамическая размерность алгоритма оценивания составляет 3к, где к - число гармоник.
1. Введение
Статья посвящена методу построения адаптивного наблюдателя для оценивания параметров полигармонического сигнала, включая смещение, частоту и амплитуду каждой гармоники. Такая проблема возникает при решении задачи компенсации параметрически не определенного возмущения [1—7], имеющего определенную детерминированную полигармоническую структуру. Известны также подходы, когда количество гармоник в спектре сигнала заранее не известно [8-10].
Наибольший интерес представляют задачи, где частота или частоты полигармонического сигнала не известны. Однако в большинстве работ, посвященных синтезу алгоритмов идентификации частоты в непрерывном времени, не обсуждается или отсутствует теоретическое обоснование увеличения быстродействия параметрической сходимости, что, в свою очередь, также можно
1 Работа выполнена при государственной финансовой поддержке ведущих университетов Российской Федерации (госзадание 2014/190 (проект 2118), субсидия 074-И01, проект 14.Z50.31.0031).
отнести к нерешенным задачам идентификации частот периодических сигналов. Предлагаемый в статье алгоритм оценивания имеет динамический порядок, равный 3к, где к - число гармоник, что улучшает наиболее известные результаты, опубликованные в [6, 7, 9-13].
Наиболее близкий аналог [13] также обладает динамической размерностью 3к для случая полигармонического сигнала, состоящего только из к гармоник. Но если в сигнале присутствует постоянное смещение, то в общем виде его можно расценивать как дополнительную (к + 1) гармонику с нулевой частотой, и размерность алгоритма [13] будет больше, чем 3к. В подходе, предлагаемом в этой статье, размерность 3к гарантируется для смещенного полигармонического сигнала. В случае нулевого смещения динамическая размерность предлагаемого подхода будет 3к — 1. Однако нулевое смещение является существенной идеализацией, так как полигармонические сигналы, исследуемые в практических задачах, не могут не иметь смещения в силу своей природы или ошибок калибровки измерительных устройств. Рассмотрение полигармонических сигналов с ненулевым смещением, по мнению авторов, является более актуальной и содержательной задачей.
Предложенный в этой работе алгоритм идентификации обеспечивает экспоненциальную сходимость к нулю ошибок оценивания всех параметров смещенного полигармонического сигнала. Алгоритм обладает адаптивными свойствами по отношению к изменению параметров сигнала и свойством помехоустойчивости по отношению к ограниченным по амплитуде аддитивным нерегулярным составляющим.
2. Постановка задачи
Рассматривается измеряемый сигнал вида
к
(2.1) y(t) = а + ^ ßi sin(wji + ф),
i= 1
являющийся суммой k гармоник (с частотами Wi, амплитудами ßi и начальными фазами ф^ и постоянного смещения а. Константы а, Wi, ßi и фi являются неизвестными. Здесь и далее символ i означает номер гармоники. Допущение 1. Количество гармоник k известно.
Допущение 2. Все ненулевые частоты гармоник сигнала y(t) не меньше некоторого известного числа шо, т,.е. Шг>Шо, г = 1, к.
Допущение 3. Расстояние между соседними частотами сигнала y(t) не меньше некоторого известного числа ö0, т.е. |wi — Wj| > ö0, vi = j, i,j = = l7k.
Сформулируем цель как решение задачи синтеза устройства оценки, обеспечивающего для любых а, фi, ßi и Wi > 0 выполнения условий
lim |wi — Wi(t)| = 0, lim |а — a(t)| = 0,
t—y^o t—y^o
lim |ßi — ßi(t)| = 0, lim фi — фi(t) = 0,
где (^.¿(Ь) - текущая оценка частоты шг, ст(Ь) - текущая оценка смещения а, - текущая оценка амплитуды фг(Ь) - текущая оценка фазового сдвига фг.
3. Алгоритм идентификации частот смещенного полигармонического сигнала
Введем в рассмотрение фильтр
(3.1)
Л0к
где Ло > 0, 7(3) = з2к + 72к-^2к-1 + ■ ■ ■ + 7^ + 7о - гурвицев полином степени 2к, где 70 = Л0к, а все корни полинома 7(5) прямо пропорциональны параметру Л0.
Лемма 1. Для фильтра (3.1) и входного сигнала (2.1) будет выполнено соотношение
(3.2)
£(2к+1)С0 = ОтС0ё + е^),
где от(Ь) = [{(2к 1)(t) ... £(1)(Ь)] - регрессор, составленный из функ-
ций {^(Ь), являющихся производными выходной переменной фильтра (3.1)
\ 2к ^
7 (з)
и ёт = \в1 ... вк-1 дк] - вектор параметров, зависящий от частот
(3.3)
(?1 = д1 + д2 +••• + дк,
д2 = —д1д2 — д1д3----- дк—1дк 5
^ дк = (-1)к+1д1д2--- дк,
где дг = — ш2, функция |е(t)| < р0е и ее производные ограничены и экспоненциально стремятся к нулю, р0 > 0, Л > 0.
Доказательство. Хорошо известно, что сигнал (2.1) является решением дифференциального уравнения
(3.4)
р2к+1у(^ = д1р2к—1... +
2к-1
где р = й/йЬ - оператор дифференцирования.
Выполняя преобразование Лапласа в (3.4), найдем
(3.5) з2к+1у(з) = ё182к—1у(з) + ... + дк зу(з) + ф),
где полином й(з) обозначает начальные условия.
\2к
Умножая (3.5) на ^у с учетом (3.1), получим
\2 k
(3.6) s2k+las) = 9is2k~4(s) + • • • + hstts) + d(s).
После обратного преобразования Лапласа в (3.6) найдем искомое уравнение (3.2), где t (t) = | A°7(t)a'> | • В силу структуры полинома j(s) функция e(i) может быть представлена как сумма затухающих экспонент, причем показатель экспоненты Л в соотношении |e(t)| < poe-Ai зависит от выбора собственных чисел полинома Y(p). Производные этих функций также экспоненциально стремятся к нулю. При этом Л прямо пропорционально настраиваемому параметру Л0:
(3.7) Л = Ло Co,
где C0 > 0 - некоторая константа.
Замечание 1. Так как 9i является корнем полинома q2k + 0iq2k-2 +■ ■ ■ + + ^k-1q2 + 9k, где q - некоторая алгебраическая переменная, то можно рассчитать значения 9i на основе 9i.
Алгоритм оценивания частот представлен в следующей теореме. Теорема 1. Алгоритм настройки
для |9i(t)| > Wo,
(3.8) ад
иначе
где - известная нижняя граница частот шг, оценки 9г рассчитаны на основе 9г, являющихся элементами вектора 0:
(3.9) © = Т(*) + К
(3.10) Т (*) = —К 0(*)0т(*)©(*) — К (*),
где К = > 0, г = 1 ,к}, обеспечивает экспоненциальную сходимость
ошибок оценивания = — шг к нулю:
(3.11) |адг(£)| < Р1в-в1*, р1 > 0, в1 > 0, v* > 0.
Доказательство. Используя результат леммы 1, вычислим производную ошибки оценивания © = © — О:
(3.12) в(*) = © — ©>(*) = —т(*) — к 11(*)е(2к) — к о(*)е(2к+1) =
= К П(*)От(*)©(*) + К П(*)£(2*>(*) — К — КО(*)£(2к+1) =
= КП(*)От(*)©(*) — КП(*) (Ът(*)О + = = —К 0(*)0т(*)§(*) — К П(*)г(*).
4 Автоматика и телемеханика, № 8
97
С использованием функции Ляпунова V(Ь) = ОтК 1©/2 нетрудно видеть из (3.12), что производная У(Ь) является неположительной. Исходя из этого, можно показать лишь то, что ошибка <Э стремится к некоторому вектору констант и необязательно к нулю.
Временно предположим, что е = 0. Хорошо известно, что если регрес-сор 0(Ь) удовлетворяет условию предельной интегральной невырожденности
или неисчезающего возбуждения, то О как решение уравнения
§(ь) = —К 0(ь)0т(ь)°(ь)
экспоненциально стремится к нулю (см. теорему 4.3.2 в [14]).
Так как |е^)| < рое-- экспоненциально затухающая функция времени, то можно показать, что с учетом принципа сравнения [15] для любой экспоненциально затухающей функции е ошибка оценивания © экспоненциально сходится к нулю в системе (3.12)
^ < Р2е—Р2 > 0, в2 > 0, уЬ > 0.
Доказательство этих утверждений приведены в Приложении. Согласно замечанию 1 зафиксируем, что вектор оценок дг является доступным для системы управления на основе ©г . Так как вычисление дг на основе дг может быть рассмотрено как алгебраическая задача, то ошибки оценивания дг = дг — дг также сходятся к нулю и ограничены экспоненциально затухающими функциями времени.
Частоты полигармонического сигнала могут быть вычислены по формуле (3.8). Покажем, что ошибки оценивания частот Шг = Шг — Шг для (3.8) экспоненциально сходятся к нулю (3.11).
(3.13) й>м = \/\ш+Ш - \f\m\ < \/\Ш1
(3.14) = \вг-Ш\ > ~\/\Ш\-
(3.15) \Ш\<\/\Ш<Р1е-1}1\ где р1 и в1 зависят от р2 и в2.
4. Алгоритм идентификации смещения, амплитуд и фаз гармоник
В этом разделе будет представлен алгоритм идентификации общего смещения, амплитуд и фаз всех гармоник полигармонического сигнала на основе оценки частот шДЬ). Сигнал (2.1) является суммой постоянного смещения а и синусоидальных функций уДЬ) = вш^Ь + фг).
С учетом того, что сигнал у(Ь) поступает на устойчивый линейный фильтр (3.1), выходная переменная фильтра будет представлять собой сумму постоянной составляющей, синусоидальных гармоник с теми же частотами Шг
и экспоненциально затухающей функции времени, описывающей переходный процесс:
(4.1) -(4) =
7 (Р)
а
+Е
г=1
= Ш + (*),
г=1
где -о, ^ и е^ - это соответственно постоянная, синусоидальные и экспоненциальная составляющие.
Для постоянной и синусоидальных членов нетрудно получить следующие соотношения:
(4.2)
(4.3)
где
тО'^)
ш=0
Ш = а,
Ш = ЦгУг и + ^ \
= 1 - положительный передаточный коэффициент для посто-
янного входного сигнала, Ь^
Аб*
тС?^
^ = агё
А2к
положи-
тельный передаточный ко
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.