№ 4
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 536.2.01. 536.24
ОЦЕНКА НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО РЕЖИМА
В ПОЛОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕЙ СБОРКЕ ПРИ НЕСИММЕТРИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ОХЛАЖДЕНИЯ
© 2014 г. ЛОГИНОВ В.С., СИМОНОВА О.С.
Томский политехнический университет Россия, г. Томск E-mail: ossimonova@mail.ru
Получены точное для стационарного и приближенное для нестационарного режимов аналитические решения для полого цилиндрического активного элемента (твэл) при несимметричных условиях охлаждения. Они могут быть использованы для оценки теплового состояния этого элемента при изменении тепловыделения по радиусу.
Ключевые слова: теплопроводность, нестационарный тепловой режим, плотность теплового потока, тепловыделения.
EVALUATION OF UNSTEADY TEMPERATURE IN THE HOLLOW CYLINDRICAL FUEL ASSEMBLY UNDER ASYMMETRIC COOLING CONDITIONS
Loginov V.S., Simonova O.S.
Tomsk Polytechnic University, Tomsk
An exact analytical solution is obtained for the steady state for a hollow cylindrical active element under asymmetric cooling conditions. An approximate analytical solution for the unsteady regime for hollow cylindrical active element under asymmetric cooling conditions. Solutions can be used to evaluate the thermal state of the element when the heat radially.
Key words: thermal conductivity, transient thermal conditions, fluency thermal density of heat generation.
Пуск, аварийная остановка энергетического оборудования (трубопроводы тепловых сетей, нефтегазопроводы, ядерные реакторы, ускорители заряженных частиц и т.д.) при эксплуатации происходит при нестационарных условиях. Например, при остановке воды, движущейся в трубопроводе со скоростью ~3 м/с с плотностью р ~ 1000 кг/м3, происходит резкое уменьшение количества движения. Это приводит к росту давления до 30 ати в месте остановки [1], образованию волны повышенного давления и возможному разрыву стенок трубопровода. При пуске в зимнее время (в условиях Крайнего Севера) сразу на номинальную электрическую нагрузку силовых трансформаторов из-за короткого замыкания в обмотках происходили пожары [2].
В [3] операционным методом Лапласа решены задачи теплопроводности для начальной стадии теплового процесса (Fo > 0,01), представленные в виде сумм рядов из специальных функций ошибок Гаусса. Такие решения сложны для практического ана-
лиза для неспециалистов, поэтому в [4] показан приближенный метод оценки на начальной стадии развития теплового состояния в тепловыделяющих элементах классической формы (пластина, цилиндр, шар).
В статье рассматривается оценка нестационарного температурного режима полой цилиндрической сборки при несимметричных условиях охлаждения в широком диапазоне чисел Фурье.
Система уравнений, описывающая процесс теплопроводности в такой сборке имеет вид:
-д6 = IА(я 56) + Ро(Я, Бо), Бо > 0, 1 < Я < Я0; (1)
дБо ЯдЯ\ дЯ) У ;
9(Я, 0) = -1; (2)
- В1ДО, Бо) = 0; (3)
дЯ
д9(Я0: р0) + В12(0(Яо, Бо) + 0 ж) = 0. (4) дЯ
Здесь 9(Я, Бо) = Т(—, Т)—— безразмерная температура; Ро(Я, Бо) = —
Тж1 - Т0 МТж1 - Т0)
Т 1 — Т п аэффГ аэФФ2Г2
безразмерная функция Померанцева; 9ж = —-—; В11 =———, В12 =——— —
Тж1 — Т0 ^ ^
числа Био; Я = —, Я0 = — — безразмерные радиусы; Бо = 'Щ — число Фурье.
Г2 —2 —2
Стационарный температурный режим = 0)
Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид
бстац(Я) = ф(Я) + Ах 1п(Я) + Л2, где А1, А2 — постоянные интегрирования;
у(Я) = - |Ро(Я)Я^Я, Ф(Я) = |у(Я) Я (5)
После нахождения из граничных условий (3), (4) и подстановки в общее решение запишем окончательное решение задачи (1), (3), (4):
9стац(Я) = РЯ) -<Р(Я0) + 4
1п(Я/Я0) - 1
В12Я0.
-0ж, (6)
В12Я0 ж' ';
где 4 = -
+ ф(Я))-Ф(1) + # + ^
'[1п(Я0) + 1/В11 + 1/(В12Я0)].
В11 В12Я0 _
Решение (6) строго удовлетворяет всем условиям задачи (1), (3), (4). Пример 1. Пусть тепловыделение подчиняется зависимости Ро(Я) = Ро0[1 + В Я ]. При этом ди0 = 5,19 • 105 Вт/м3, г2 = 0,0105 м, г0 = 0,02 м, г3 = 0,029 м, г = 0,0275; Тж1 = = 573,15 К, Т0 = Тж2 = 293,15 К; коэффициенты теплообмена а = 4 • 104, а2 = 10 Вт/(м2 К), В1^ = 28, В12 = 7 • 10-3; Ро0 = 0,014, Ь = 1,5/ —2 = 3,75 • 103, В = Ьг\ = 0,413; Я = г/г2 = = 2,619, Я0 = г3/г2 = 2,762 и А! = 0,115.
Найти распределение температур по радиусу в первом случае тепловыделение Ро(Я) = 0,052, а во втором оно постоянно Ро = Ро0 = 0,014.
t, с
Рис. 1. Изменение максимальной температуры в полом цилиндрическом твэле: 7 — при тепловыделении Ро (Д = 2,619); Т2 — при постоянном тепловыделении Ро0
Согласно выражениям (5), (6), имеем
¥(Я) =-Роо Я
\ + вЯ22) = -0,113, фЯ) = - РоЯ2
\ + в— I = -0,04;
0ж = 1; ф(Я0) = -0,134, ф(1) = -3,758 • 10 3, у(1) = -8,22 • 10 3,
¥(^о) = -0,134; 0сТац = 0,078, Т(Я) = + 0стацТж1 - 7>) = 595,02 К.
На рис. 1 показано распределение Т(Я) для двух случаев. Отметим, что при максимальном перепаде тепловыделения по радиусу в три раза, изменение температуры не превышает 3,4% по сравнению с температурами постоянного тепловыделения.
Нестационарный режим
Решение задачи (1) будем искать в виде 9(Я,Ро) = 0стац -ф(Я,Ро), где функция ф(.Я, Ро) подчиняется условиям:
айМо* = иЛ**), ро > 0, 1 < я < *0;
дРо Я дЯ\ дЯ)
Ф(Я, Ро = 0) = 1 + 9сТац(Я);
дф1-Ро - В11ф(1, Ро) = 0; (7)
дЯ
дф(Я0,Ро) + В12ф(Я0, Ро) = 0.
Я
Задачу (7) решим приближенным методом конечных интегральных преобразований. Считаем, что ядро конечного интегрального преобразования — решение стационарной задачи теплопроводности для полого цилиндрического твэла с тепловыделением равным единице. Тогда его выбор подчиняется следующим условиям:
1А [яйК\ = -1.
ЯйЯ\ йЯ) ' йК(1)
ВцК(1) = 0; (8)
йЯ
йКЯ0) + В12К (Я0) = 0. йЯ
Решение задачи (8) запишем
К(Я) =1 {~(Яо - Я2) + Я0/В12 + 2А11[1п(Я/Я0) - 1/(В12Я0)]} - приближенное ядро конечного интегрального преобразования;
4, =
2т „
(Я02 -1)1 + 1/В11 + Я0/В12
т0 = 1п(Я0) + 1/В11 + 1/(В12Я0).
В дальнейшем будем использовать следующие определенные интегралы: Я
(2 + В^^ад) + (В11 - 2)К(1) -1 (Я4 -1) 4 _ 4
0
Кш = | К (Я)Я^Я = 4
К2Ш 1
1
- К (1) Г1 К _2
Я0
1К(Я0) - Я11 + Я В12
.2 3 I 3 2
1( В11
3\ 3
-1
+ ¿( Я5 -1).
45
1 КЯ)МЯ Я0 Я
--собственное число; | ф(Я, ¥о)ЯйЯ = р1 | ф(Я, ¥о)К(Я)ЯйЯ. (9)
21
р = я-
IК 2(Я)Я^Я
1
Введем функцию _ Я
ф(Бо) = | ф(Я, Бо)К (Я)ЯёЯ.
1
Далее следуя [3, 5-7], получим
¿ф(Бо) ¿Бо
= -р ф(Бо), Бо > 0;
Я
ф(0) = | (1 + 6сТац(Я))К(Я)Я^Я.
1
Решение обыкновенного дифференциального уравнения с начальным условием имеет вид
ф(Бо) = ф(0)ехр(-р2Ро). Здесь ф(0) =
I К(К)ЯйЯ + | 9стац(Я)К(Я)Я^Я.
1 1
Переход от изображения ф(Бо) к оригиналу дает выражение:
ф(Я, Бо) =
ф(Бо)К (Я)
К
2Ш
При этом, исходя из определения собственного числар2, находим, что
Я
R
Рис. 2. Изменение корректирующей функции от безразмерного радиуса
-"О -"О
J еСтац(лда)ллк = -1 J e^RR.
Окончательное решение задачи (1)—(4) следующее: 9 (R, Fo) = 9стац(^) -<KR Fo),
_ __Fo Ro
где T(Fo) = TH exp(-p2Fo) + exp(-p2Fo) J exp(p2Fo')dFo' J Po(R, Fo)K(R)RdR,
o 1
n(R) — корректирующая функция, зависящая от радиуса.
Ro0
(10)
TH = - J K(R)RdR;
1
Ro
J K (R)RdR = 1
(2 + Bi2Ro)Ro2K(Ro) + (Bii - 2)K(1) - i(< -1)
4
Tint = (Ro - 1)
"-Poo Ro3 f1 + Ro B B - (1 + 1B )j
2 _ o f3 ю у \3 1o )_
+ 4 [Ro (ln(Ro) -1)]-
^ + 4 ( + -Л-.] + + Эж
Пример 2. Определить изменение максимальной температуры во времени в полом цилиндрическом твэле, если известны исходные данные (пример 1).
Чи(г) = 000(1 + Ьг2).
Решение. Находим вспомогательные величины, согласно (9): А11 = 3,77; Х(В) = 2,282; Х(К0) = 2,29; К(1) = 0,117;
Кы = 6,0;
^ = 7,029; p2 = 0,854; Ф(0) = Хш + Тш = 5,864,
где Тш = (Я -1)
Г-ро0 яЗ (л Я 2 ^ 1 + Я0 В
_ 2 I3 10 J
-|1 +1В 3 10
Ф(Яо) + 4|1п(Я0) +
1
+ « + 9 ж
+ ^[Я1п(Яо) -1] -= -0,137.
В12Я) В12Я
Для выполнения начального условия (2) введем корректирующую функцию, которая зависит от текущего радиуса. Она находится методом последовательных приближений и для данного примера приведена на рис. 2.
Тогда
ф(Я,Ее) = ф(0)ехр(-р2Рс)КЯ)[п(Я)Я- Я0].
К2Ш ЧП
При Ее = 0,0 r = г/г2 = 0,0275/0,0105 = 2,619; и(2,619) = 1,438; ф(Я = 2,619, Бе) = = 1,079; 9стац(Я = 2,619) = 0,078.
9(Я = 2, 619, Ее = 0, 0) = 9стац(2, 619)-ф(2, 619, Ее = 0, 0) « -1, 0;
Т(Я, Ее) = Тж1 + 9(Я, Ее) (Тж1 - Т0) = 293,03 К.
Если принять продолжительность нагревания в точке = 300 с, т.е. Ее = 10,421, то температура достигнет 9(Я = 2,619,Ее) = 0,078, Т(Я,Ее) = 595 К = 321°С. Наступил стационарный режим.
Выводы
1. При стационарном тепловом режиме и максимальном перепаде тепловыделения по радиусу в три раза изменение температуры не превышает 3,3% по сравнению с температурами постоянного тепловыделения.
2. Введение корректирующей функции, зависящей от радиуса полого цилиндра, позволяет удовлетворить начальному условию задачи и получить ее приближенное решение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лурье М.В. Трубопроводный транспорт нефти, нефтепродуктов и газа для неспециалистов. М.: Центр Лит Нефте Газ, 2012. 150 с.
2. Шамраев Н.Г. Исследование особенностей работы силовых трансформаторов с естественным масляным охлаждением в условиях низких температур. Автореферат дис. на соиск. учен. степени канд. техн. наук. Томск: Томский политехнический институт, 1970. 29 с.
3. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
4. Логинов В.С., Симонова О.С., Симонов Д.А. Приближенная оценка теплового состояния активных элементов при малых числах Фурье (Ее < 0,01) // Изв. РАН. Энергетика. 2014. № 1. С. 112-117.
5. Касьянов В.А., Логинов В.С., Симонов Д.А. Нестационарный температурный режим полого цилиндрического тепловыделяющего элемента // Изв. вузов. Электромеханика. 2013. № 5. С. 14-17.
6. Карташов Э.М. Метод интегральных преобразований в аналитической теории теплопроводности твердых тел // Изв. РАН. Энергетика. 1993. № 2. С. 99-127.
7. Карташов Э.М. Расчеты температурных полей в твердых телах на основе улучшенной сходимости рядов Фурье-Ханкеля (Ч. II) // Изв. РАН. Энергетика. 1993. № 3. С. 106-125.
Поступила в редакцию: 26.XII.2013
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.